重难专题 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

重难专题　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 一、必备知识基础 1.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面 D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 2.下列说法正确的是(　　) A.圆锥的母线长等于底面圆直径 B.圆柱的母线与轴垂直 C.圆台的母线与轴平行 D.球的直径必过球心 3.已知圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为(　　) A.10 cm B.20 cm C.20 cm D.10 cm 4.在半径为13的球面上有A,B,C三点,其中AC=6,BC=8,AB=10,则球心到经过这三个点的截面的距离为　　　　　.  5.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形,且其面积是Q,则此圆柱的底面半径为　　　　　.(用Q表示)  6.已知圆柱的轴截面面积为1,则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为　　　　.  二、关键能力提升 7.如图,用一边长为2的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为(　　) A. B. C. D. 8.(2025贵州贵阳高二期末)中国被称为“制扇王国”,折扇的起源历史悠久,最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇,其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为,上板长为9 cm,若把该扇环围成一个圆台,则圆台的高为(　　) A.3 cm B.9 cm C.6 cm D.6 cm 9.(2025福建南平高一期末)已知圆锥的母线长为2,过圆锥的顶点作圆锥的截面,若截面面积的最大值为2,则该圆锥底面半径的取值范围是(　　) A.(0,] B.(1,] C.[,2) D.(0,2) 10.已知圆锥的底面半径为r,高为h,正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥,则这个正方体的棱长为　　　　　.  三、学科素养创新 11.如图所示,已知圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA上的一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A.求: (1)绳子的最短长度的平方f(x); (2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离; (3)f(x)的最大值. 参考答案 1.ACD 2.D　圆锥的母线长与底面圆的直径不一定相等,故A错误;圆柱的母线与轴平行,故B错误;圆台的母线与轴不平行,故C错误;球的直径必过球心,故D正确.故选D. 3.A　圆锥的高即为经过轴的截面截得的等腰三角形的高,设为h cm. 这个等腰三角形的腰长为20 cm,顶角的一半为30°. 故h=20cos 30°=10(cm). 4.12　由题知,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,所以其外接圆的半径r==5,所以d==12. 5.　设圆柱的底面半径为r,则母线长为2r,∴轴截面的面积为4r2=Q,解得r=,∴此圆柱的底面半径为. 6.4　设圆柱的底面半径为r,高为h, 则2rh=1,所以h=, 所以该圆柱侧面展开图的周长l=2(h+2πr)=2h+4πr=+4πr≥2=4, 当且仅当=4πr,即r=时,等号成立, 所以该圆柱侧面展开图的周长的最小值为4. 7.B　折起后的蛋巢四个小三角形顶点构成边长为1的正方形,其外接圆半径r=,球半径R=1,由球面的截面小圆性质知,球心到截面距离d=, 蛋巢四个小三角形顶点到蛋巢底的距离为边长是1的小等腰三角形的高,等于, 所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为. 8.D　设小扇形的半径为x cm,则大扇形的半径为(x+9)cm,设圆台的上、下底面半径分别为r1 cm,r2 cm,则2πr1=x,2πr2=(x+9), 所以2π(r2-r1)=×9,所以r2-r1=3, 所以圆台的高为=6(cm). 故选D. 9.C　如图,设轴截面顶角为α,两个母线的夹角为θ, 底面半径为r,且0<θ≤α<π, 由三角形面积公式得截面面积为×2×2×sin θ=2sin θ,若截面面积的最大值为2,则2sin θ=2,解得θ=, 则≤α<π,即,由轴截面的性质可得sin,即<1,解得r∈[,2).故选C. 10.　过内接正方体上、下底面的一组对角线作圆锥的轴截面,如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x,则在轴截面中,正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x. 因为△VA1C1∽△VMN,所以,即, 所以hx=2rh-2rx,即x=. 故这个正方体的棱长为. 11.解将圆锥的侧面沿SA展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧AA'的长度L就是圆O的周长, ∴L=2πr=2π, ∴∠ASM=. (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM, 其值为AM=(0≤x≤4), ∴f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4). (2)绳子最短时,在展开图中作SR⊥AM,垂足为R, 则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离, 在△SAM中,∵S△SAM=SA×SM=AM×SR, ∴SR=(0≤x≤4), 即绳子最短时,顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4). (3)∵f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数, ∴f(x)的最大值为f(4)=32. 学科网（北京）股份有限公司 $