第5章 1 复数的概念及其几何意义 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§1阶段综合 黑题 阶段强化 限时：30min 1.(多选)(2025·福建福州高一期中)已知 A.第一象限 B.第二象限 复数z=5+4i,以下说法正确的是 C.第三象限 D.第四象限 A.z的虚部是4 6.(2025·江苏常州高一期中)已知z1= B.Izl=√41 -4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈ C.z=5-4i R,z1>z2,则a的值为 D.z在复平面内对应的点在第一象限 7.(2025·河南洛阳高一期中)已知复 2.*(2025·广东揭阳高一月考)已知复数z= 数z1=m+(4-m2)i(m∈R),a2=2cos0+(入+ a+(a-2)i(a∈R)的虚部是实部的3倍， 3sin0)i(入，0∈R).若z1=z2,则入的取值范围 则1z1= 是 A.4 B.√10 C.3 D.√5 8.*若复数a1=1+3i,22=3-i(其中i为虚数单 3.*（2025·湖北武汉高一月考)已知复 位)所对应的向量分别为0Z和0Z,则 数z,z在复平面内对应的点分别为A,B,则“A △0ZZ,的面积为 在第二象限”是“B在第三象限”的 ( 9.*(2025·江西九江高一期中)已知a为实 A.充要条件 数，复数名1=a-2i,2=a+3i,lz2=√21z1l,复 B.必要不充分条件 数2在复平面内所对应的点位于第一象限. C.充分不必要条件 (1)求a的值； D.既不充分也不必要条件 (2)在复平面内，复数1,2对应的向量分别 4.*(2025·江苏南通启东中学高一月考)从 是0A,0,其中0是原点，求∠A0B的 复平面的四个象限中取若干点，这些点对应 大小 的复数中，实部为正数的复数比实部为负数 的多，虚部为正数的复数比虚部为负数的少 则下列对这些点的判断一定正确的是( A.第一象限点比第二象限点多 B.第二象限点比第三象限点多 C.第一象限点比第三象限点少 D.第二象限点比第四象限点少 5.*(2025·河南驻马店高一月考)已知复 数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)，且a-2b= 5,当z取得最小值时，则z在复平面内对应 的点位于 必修第二册·BS黑白题096 §2复数的四则运算 2.1复数的加法与减法 白题 基础过关 限时：30min 题组1复数的加、减运算 6.*已知1,2∈C,求证：1川名，1-121川≤ 1.*(2025·江西萍乡高一期中)复数(4+i)- 1z1+z2|≤1z1|+|z2. (1+5i)的虚部为 A.-4 B.4 C.-4i D.4i 2.(多选)已知复数z在复平面上对应的点的 坐标为(-1,1)，则下列结论错误的是 ( A.z+1是实数 B.z+1是纯虚数 C.z+i是实数 D.z+i是纯虚数 3.*（2025·浙江杭州高一期中)已知复 数z1=a2-3ai,a2=-a+(a2+2)i,aeR,若a1+z2 为纯虚数，则实数a的值为 题组2复数加、减运算的几何意义 4.*如图所示，在复平面内，复数名1,32所对应 的点分别为A,B,则1AB1= ( 重难聚焦 题组3与复数的模有关的轨迹问题 B 7.★*(2025·湖北武汉高一期末)复数z满 足|z+1-il=|zl,若z在复平面内对应的点 A.Iz1-1z2I B.1z1+1221 为(x,y),则 () C.|z1-z21 D.1z1+z21 A.x-y+1=0 B.x-y-1=0 5.*★（多选）(2025·浙江温州高一月考)在复 C.x+y+1=0 D.x+y-1=0 平面内有一个平行四边形OABC,点O为坐标 8.*(2025·江苏连云港高一期中)已知 原点，点A对应的复数为z,=1+i,点B对应的 i为虚数单位，如果复数z满足|z+2i1+ 复数为z2=1+2i,点C对应的复数为a3,则下 1z-2il=4,那么1z-11的最小值是( 列结论正确的是 ( A.1 B.√2 A.z1-a2=-i C.2 D.√5 B.点C位于第二象限 9.*(2025·江西赣州高一月考)复数z满 C.31+z3=2 足1z|=1,则1z-2-i1的最大值为 D.Iz-31=IACI 第五章黑白题0978.解：(1)已知asin B=3 beos A,由正弦定理.a b sin A sin B 得asin B=bsin A=√3 bcos A,显然cosA≠0， 得tanA=√3，由0<A<T, 故4=子 1 (2)由(1)知c0s4=2,且c=2b+1,a=7,， 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A, 则7=B4(26+12-2x26+1)=3643+1, 解得b=1(b=-2舍去)， 第五章 §1复数的概念及其几何意义 1.1复数的概念 白题基础过关 1.C解析：易知2+i=-1+i,所以其实部为-1. 2.BD解析：由纯虚数的定义得纯虚数实部为0，虚部不为0，而A,C 实部不为0，B,D实部为0且虚部不为0，放号，(1-厅)1是纯虚数， 故B,D正确 四易错提醒 纯虚数要求实部为0，虚部不为0. 3.A解析：由复数2-i(b∈R)的实部与虚部之和为0，得2-b=0,即 b=2.故选A 4.A解析：-√5+2i的虚部为2，√5i+2i2=-2+√5i的实部为-2，所以所 求复数的实部为2，虚部为-2，复数为2-2i. 5.B解析：对于①，根据虚数的定义，正确；对于②，虚数不能比较大 小，错误；对于③，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部 等于零且虚部不等于0，错误 6.(-1,3)解析：由复数z的虚部大于0，得3+2a-a2>0,解得-1<a<3. 7.解：(1)由z为实数，得x-3=0,所以x=3. (2)由z为虚数，得x-3≠0，解得x≠3， 所以x的取值范围为(-0,3)U(3,+). (3)由z为纯虚数，得x+5=0且x-3≠0，所以x=-5. 8.C解析：因为1-2i=a+h,所以{a=1,所以a+h=-1 1b=-2, 9.2解析：由(22-3x-2)+(2-5x+6)1=0,得2-3x-2=0解得 x2-5x+6=0. x=2. 10.1解析：由集合A={0,m+(m2-1)i}(meR),B={1,-2i}, 且AnB=(1,得m+(m2-1)i=1,因此m,， m2-1=0, 所以m=1, 当m=1时，A={0,1},又B={1,-2i},故A∩B={1},符合题意 1.2复数的几何意义 白题基础过关 1.B解析：因为x=-3+i,所以对应复平面内点的坐标为(-3,1)，所以 位于第二象限. 2.C解析：复数-1+(1-a2)i在复平面内对应的点为(-1,1-a2),若其 在第二象限，则1-a2>0,解得-1<a<1. 四方法总结 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部 应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部 满足的方程（不等式）组即可. 参考答案 故c=3. 里inAsin且6=1，a=7,inA= (3)由正弦定理.。三6 2 得sinB=sinA.V2T a =4,且a>6,则B为锐角， 故casB=57 sin 2=2sin Bcos 14 12i)211 且cos2B=1-2sin2B=1-2×（14=14 枚ac4280=4m28m如29-子99 复数 3.C解析：由题意知2对应的点为(1,1)，.31对应的点为(1，-1)，名1= 1-i. 4.4解析：复数z=-3+ai(a∈R)在复平面内对应的点的坐标为(-3，a),所 以√(-3)2+a2=a+1,即a2+9=(a+1)2,解得a=4 5.C解析：正方形0ABC,且0A对应的复数为-1-3i,.OA=(-1,-3), .CB=(-1,-3),则BC=(1,3),.BC对应的复数为1+3i. 6.(4,-2)解析：因为Bi对应的复数是1+2i,即Bi=(1,2),B元对应的 复数为3-i,即B武=(3，-1)，所以A元=B武-B=(2,-3).又因为点A 对应的复数为2+i,即0A=(2,1),所以0C=0A+AC=(4,-2),所以点 C的坐标为(4，-2). 7.D解析：由题意可得实部为-2，虚部为1，所以1z12=(-2)2+12=5. 8.BC解析：1z1l=l2l,.√a2+4=V√4+I,解得a=±1.故选BC. 9.B解析：由题意可得，满足z=1的点组成的图形是以原点O为圆 心，以1为半径的圆，则其周长为2π 10.-1+√3i(答案不唯一）解析：设z=a+bi,a,beR,因为复数z在复 平面内对应的点在第二象限，所以a<0,b>0. 又因为1zl=2,所以a2+b2=4,显然当a=-1,b=√3时，符合题意 11.D解析：因为复数z=-1+2i,所以z=-1-2i,则z的共轭复数的虚 部为-2. 12.D解析：设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-i,lzl=√a2+b,因为z= 子+3，所以a-i=子8+3，所以 =解得 -b=3, (a=5,即=3-3i (b=-3, 13.1解析：复数z=a+1+(a-1)i的共轭复数z=a+1-(a-1)i,依题 意，z=z,则a-1=-(a-1),所以a=1. §1阶段综合 黑题阶段强化 1.BCD解析：由条件可知：z=5-4i,C对，所以z的虚部为-4，A 错，1z=√52+(-4)=√4，B对，云对应的点的坐标为(5,4)，在第 一象限，D对. 2.B解析：由复数z=a+(a-2)i(a∈R)的虚部是实部的3倍，得a-2= 3a,解得a=-1,所以z=-1-3i,1z=(-1)2+(-3)2=√10. 3.A解析：设z=a+bi(a,beR),则z=a-bi.若A在第二象限，则a<0, b>0,则a<0,-b<0,所以B在第三象限. 反之亦成立，所以“A在第二象限”是“B在第三象限”的充要条件. 4.D解析：设第一、二、三、四象限的点分别有a,b,c,d个.a,b,c,d均 为正数在复平面中，第一、四象限的点实部为正，第二、三象限的点 实部为负.已知实部为正数的复数比实部为负数的多，则可得α+d> b+c.在复平面中，第一、二象限的点虚部为正，第三、四象限的点虚部 黑白题059 为负.已知虚部为正数的复数比虚部为负数的少，则可得a+b<c+d.由 （Cog-ron的peo2sda6j>6e-cd03d-o b-d,所以d>b.即第二象限点比第四象限点少. 根据条件，无法判断a与b,b与c,a与c的大小关系 5.D解析：因为a-2b=5,可得1z=√a2+b=√5b2+20b+25=√5× √(b+2)2+1,所以当b=-2,a=1时，1z1取得最小值为5，可得z= 1-2i,此时z在复平面内对应的点的坐标为(1，-2)，位于第四象限. 3 2a2+3a=0, a=0或a=-2’ 6.0解析：由1>a,得a2+n=0,即a=0或a=-1,解得a=0. -4a+1>2a, 1 a<6, 1[8] 解析：由两个复数相等可得m=2s0, 即4- 4-m2=λ+3sin0, 30A430化简可得A4b0-3油0（血合号）月 6其中血9e[-1,小，当血0：令时，A取得最小值，A=6 9 9 当sin0=-1时，入取得最大值，入mx=7,所以入的取值范围是 「9 167] 8.5解析：依题意，0Z=(1,3),0Z2=(3,-1),则10Z1=√2+3= √10,10Z21=√32+(-1)2=√10，而0Z·0Z2=3×1+(-1)×3=0, 则010记，所以△02,2，的面积为子1021021=之×0× √10=5.故答案为5. 9.解：(1)由复数名1=a-2i,2=a+3i且121=√21al, 可得√a2+9=√2·√a2+4,即a2+9=2×(a2+4),解得a=±1， 又由z2在复平面内所对应的点位于第一象限，所以a>0,故有a=1. (2)由复数1,2对应的向量分别是0A,0B,可得0A=(1,-2),0= (1,3), 则0i.0=-5且10i1=√2+(-2)7=5,10成1=√2+32 =10, 因为LA0B为OA与O的夹角， 0i.0i_ 可得cos∠AOB= -52 10A1I0B15×√102 又因为LA0B∈[0，T],所以∠AOB=3 4 §2复数的四则运算 2.1复数的加法与减法 白题基础过关 1.A解析：依题意，(4+i)-(1+5i)=3-4i,其虚部为-4. 2.ACD解析：：复数z在复平面上对应的点的坐标为(-1,1)，∴.复 数z=-1+i,:z+1=-1+i+1=i是纯虚数，故A项不正确，B项正确： :z+i=-1+i+i=-1+2i不是实数，也不是纯虚数，故C,D项都不正确 3.0解析：由题意，=a2-3ai,2=-a+(a2+2)i,所以z1+2=a2- 3ai-a+(a2+2)i=a2-a+(a2-3a+2)i因为a1+a2为纯虚数，所以 (a2-a=0,解得a=0. (a2-3a+2≠0， 4.C解析：因为0i-0品=BA,名1与Oi对应，2与OB对应，所以1AB1= |BA1=121-221. 5.ACD解析：对于A,1-2=1+i-1-2i=-i,故A正确；对于B,由题意 得0(0,0)，A(1,1),B(1,2),因为四边形0ABC为平行四边形，则 0元=AB=(0,1),所以C(0,1),所以3=i,点C位于虚轴上，故B错 误；对于C,D,如图，1,2,3对应的向量分别为0i,0,0元，则0A+ 必修第二册·BS 0元=0成，0i-0元=C,即+3=2，l2-23l=1A心1.故C,D正确。 0 (第5题) (第6题) 6.证明：如图，设复平面上的点乙1，乙2是复数1，所对应的点，向量 0Z,0Z是复数1,2所对应的向量，10Z1=1al,10Z21=121, 当0Z,0Z,不共线时，平行四边形022ZZ1对角线所成向量02= 0z+0z2, ·向量0乙是复数1+2所对应的向量，∴101=lz1+2l, .在△0Z,Z中，由“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之 差小于第三边”的性质可得：1a11+121=10Z1+10Z21=10Z1+ 1Z121>1021=1z1+21,11z11-l211=110Z1-10Z11=110Z1- 1Z1Z11<10Z1=l1+a2l,.1lz1l-lz211<z1+a21<z11+l21,当且仅 当0Z,0Z共线且方向相同时，1，+21=1z11+121, 当且仅当0Z1,0Z2共线且方向相反时，1z1+z21=11z11-1z211,综上所 述，1川z11-1z211≤1z1+z2|≤1z11+|z21. 重难聚焦 7.A解析：设z在复平面内对应的点为(x,y),即z=x+yi(x,y∈R),因 为1z+1-i1=|z1,即1(x+1)+(y-1)i1=|x+yi1,可得 √(x+1)2+(y-1)7=√2+y,整理得x-y+1=0. 8.A解析：设-2i,2i,1在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因 为1z+2i1+1z-2il=4,且1Z1Z2I=4,则复数z对应的点Z的轨迹为线 段Z1Z2,如图所示 O(Z Z -2↑Z 故1z-1川的最小值问题可理解为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求 1ZZ31的最小值，故只需作Z3Z01Z1Z2,交线段Z1Z2于点Z0,则 1Z3ZI即为所求的最小值1，故|z-11的最小值是1. 9.√5+1解析：满足Iz=1的复数z所对应的点在以坐标原点为圆心， 1为半径的圆上，|z-2-i1的几何意义为z所对应的点到点P(2,1)的 距离，因为10P1=√22+1产=5，所以1：-2-il的最大值为5+1. 黑题应用提优 1.A解析：设复数z=a+bi,a,b∈R,则共轭复数元=a-bi,因为z+z= 4,=2i,列出方程组{a+61)+(a-b)2a-4,求解该方程组，得 (a+bi)-(a-bi)=2bi=2i, a=2,所以复数z=2+i b=1. 在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，所以该点在第一象限. 2.C解析：复数名1=1+2i,2=a+4i,则1z1+z21=111+121台 √/(a+1)2+36=√5+√a2+16-a+8=√5a2+80,解得a=2,所以 “a=2”是“|z1+2=lz11+z2"的充要条件. 3.A解析：因为z1=-3-i,所以点A(-3,-1)因为点A与点B关于直 线y=x对称，所以B(-1,-3),2=-1-3i,所以1a1+21=1-4-4i1= √(-4)2+(-4)2=42. 4.A解析：设x=x+yi(x,y∈R),则z-2-4i=(x-2)+(y-4)i,所 以1z-2-4i|=√(x-2)2+(y-4)2=1,即(y-4)2=1-(x-2)2,所以 黑白题060