上分专题05 数列与函数、不等式的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

数，故C错误；依题意，S22sm=1013·[16m-m(m-1)]+ 1012× ，1 <1013x8x9+4048<74287,故D正确. 3 12 3.AC解析：对于A,当数列{an}为等差数列时，不妨令an= a所以其前a项和为8=，又因为a(a+)必为锅 数，所以1必为整数，所以存在正整数m,使得s.=a, 2 故A正确；对于B,若数列{a.}为等比数列，设其公比为q, 则当q=1时，显然不满足要求；当q≠1时，由题意可 得S+1=am1S2+2=am2,即1+q+q+…+g=q11,1+q+q+ …+g2a1=(1+q+g2+…+g)(1+g1)=g21,两式相除得1+ g*1=g2m1.若1g1>1,则当n为奇数时，g+1>0,所以 q2m1≥1q2,所以1=g2m1-q*1≥1g*2-g1-1g1+1· (1q1-1).当n足够大时，显然不成立；若1q1<1,则 ge(0.1glu[+)因为1gl<1行所以当 1 n足够大时，可以使得1+ge(lgl,g),故不成立，故B 不正确；对于C,取n=2,则a1+a2=am,所以a1=am-a2;当 n≥2时，a,=S。-S1=a1am2,故C正确；对于D,取数列 an=n,显然不存在m,使得Sn=a2=2,故D不正确. 4.384解析：正项数列{an}成等比数列的后7项的首项为 4,设公比为g,则g=2=16,而g>0,解得g=2,于是a= as 1a5=3,a2=a5g=48,显然a2=2=2,所以a1+a2+a3+…+目 2 0,=1+2+3(1-2)=384. 1-2 1 1 a1-5·3m13'-2a,5·31 5.（1)证明：因为 = 1 5·3” a53” 23-2a =-2,又a≠号所以a,号40，所以数列 {智}是首项为a子公比为-2的等比数列 3 (2)解，存在因为4=子，所以数列{a習}的首项是 3-9 39 9 a-亏=0所以a.-亏=10·(-2)，则a,=10 (-2)+}若口.中存在连续三项成等差数列，则必 有a-a*a期2[写+名(-2小]-+品 （-21+329 5+10·(-2),整理为-4x3”=81x(-2) 5 10 解得n=4,所以a4,a5,a6成等差数列. 6（①证明令n=1,则4=8-”2=0，由又=a2 2 _m0①.又S1 即Sn=2 （n+1)a1②，②-①，得(n-1)· 2 a1=na。③，于是na2=(n+1)an1④，③+④，得 2nant1=nan+naa+2,所以2an+1=an+an+2,即an+2-a1=ant1- 选择性必修第二册·BS an,所以数列{an}是等差数列.又a1=0,a2=1,所以公差d= 1,所以{an}的通项公式为an=n-1. (2)解：存在.由(1)知bn=103“,假设存在正整数数组(P,9) (1sp<g),使得64,4，成等比数列，则(10)°=10时· 于等日是所以g售）).当-2 时，9=3”.1 9=32,解得g=3.所以(p,9)=(2,3)是方程 (*)的一组解，当p≥3且peN时，因为2(*+1_29= 31 部0，即多}术演滋减所以号号0此时 方程(*)无正整数解.综上，满足题设的数对(P,9)有且只 有一个，为(2,3). 上分专题05数列与函数、不等式的综合应用 1.C解析：因为a1=10,a-an=2n,所以an=(an-an-1)+ (am-1-am-2)+…+(a2-a1)+a1=2(n-1)+2(n-2)+…+4+2+ 10=n-1)[242(n-1)1+10=m2-n+10,则%-2-n+10=nt 2 nn 10-1(neN).因为函数f()=x+10-1在(0，V0)上单 调谁诚，在(0，+)止单调递抛3)=白4)=， 故当A=3时，受的最小值为的 2.C解析：当ne{1,2,3,4,5,6}时，a1-a.=3(n+1)2- 2t(n+1)+2-3n2+2tn-2=6n+3-2t>0恒成立，所以2t<6n+3 对ne1,23,4,5,6恒成立，故24<9→t<)又当n>7, n∈N·时，an=4n+94为单调递增的数列，故要使对任意 n∈N,都有a1>a.,则a8>a1,即4×8+94>3×7-14t+2,解 得会综上可得4e(保号) 3.ACD解析：对于A,因为p(4)=2,p(6)=2,p(8)=4,所以 p(4)·p(6)=p(8),故A正确；对于B,由于p(9)=6≠8， 故B错误；对于C,因为小于2”的所有正奇数与2“均互质， 且小于2的所有正奇数有2-1个，所以p(2)=2-1,因此 数列{P(2)}为等比数列，故C正确；对于D,同理小于3 的所有3的倍数与3”均不互质，共有3-1个，因此小于3” 的所有与3”互质的数共有(2×3)个，即p(3)=2×3-1, 则Sn=a1+a2+…+a.= 31 <号放D正确 3 4. 6解析：由a1=40,-3整理得a1-1=4(a,-1),即 214又a-1=4,放数列0，-1是以4为首项，4为公 an+1-1 比的等比数列，可得an-1=4,不等式k(an-1)≥2n-5,可 化为2令)=2当15a≤2时)0：当 n≥3时fm>0,fn+1）=fm)=2n3-2n5=-647<0, 4*14" 白题58 故当3时m)单调递减，放)≤3)=4，综上， )≤所以≥故k最小值为 6折直246路。 2n 2an=2n-1①，当n=1时，4a2+2a1=1,因为a1=1,则 】 得2*a+1-2-an-1=2,设cn=2”an,则有c1-cn-1=2.当n 为奇数时，数列{cn}为首项是2a,=2,公差为2的等差数 列，放c=2+(空2=+1：当a为偶数时，数列1c} 为首项是4，=-1，公差为2的等差数列，故c,=-1+(分 1×2=n-3.即c,= ln-3,n是偶数， 20,n是奇数， n+1 n- 当n为奇数时，(a,+b.)(a1+b1)= 2,n是偶数 ()(品）=(+)(c名)ko,解 根据指数函数的单调性可得<子，当n 得、1 为偶数时，(a,+6,)(a+)=(23+4-)(2+ n-3, (n+2, 出)=(2)+2只)<0，解得女< 3 2*t< ,根据指数 函数的单调性可得g<子综上所述，可得实数：的取位 范围为（子】 6汉 antl an a 1{日}为等差数列，其首项为1，公差为1，。 11 。+ an al (n-1)×1=1+n-1=n,∴.an= n (2解：由（）厂”≤a=(分)广得2<6≤2r(ae N”),2-(2-1+1)+1=2-1,满足不等式的正整数k的 622-221121 1-2 .Sn=(n-1)·2+1. (3)解：由已知可得cn= (-1)" n·2"+1-Sn +1=1+(-1)n· (分）广，当n为奇数时，6=1-（分）厂八<1数列1c为递 增数列当n=1时，取最小值G=7,此时2≤c,<1; 当n为偶数时，c=1+(分)广>1：数列c为递诚数列， :当n=2时，6取最大值=子，此时1<c,≤子 参考答案 1 ≤c.≤且c.≠1 .2 2-3解得 5 子因此， λ74’ 实数入的取值范围为(4,4月 /57) 1(解因为8，=+，当n≥2时， 1 1 2(n-1)2+ 3(a-10=+号-2，则，=8-4=n+2n≥2，又 5 a1=S,=3,符合上式，所以an=n+2,neN*. (2)证明：①令6=(）广=()广>0，则 学学 a1,则a-1,则a·[1- n 2-1 (n+1)2」n+1(n+1)3 所以数列 (停：)}为通增数列 ②西数列{（②一）广}为递增数列，则当≥2时， 广-（八>'-2.则n(）八>h2即 n n h(）).即（宁+）h2(ar1).则1+号 1 1,1 +.1 (n+1) ln22,n≥2. 8.(1)解：因为an=(-1)(2"-7)(1≤n≤5)，所以a1=5,a2= -3,a3=-1,a4=9,a=-25,所以数列{an}的“低注点”为2 和5. (蜗：作恩意，8=6-1).因为致列 {}存在低注点，所以存在a≥2)，使得8+日 4安所以2-12+分即4g-2 ,单调递减，所以当n≥2 时，的大值为号所以价写又因为么>0所以0< 骨当0号时，有8写所以数列小日}存 1 在“低准点~，所以6的取值范围为0，令)】 (3)证明：①若cn≥c1(n≥2)，则数列{cn}不存在“低洼点”， 即s=0,由cm-c1≥0，得c1-cm≤0，所以c1-cn≤s; ②若存在c.,使得cn<c1,下面证数列{cn}有“低注点” 若c2<c1,则2是数列{cn}的“低洼点”，若c2≥c1,因为存 在cn,使得cn<c1,所以设数列{cn}中第1个小于c1的项 为c1,则c<c,≤c(2≤i≤n1-l),所以n是数列c,}的第 1个“低洼点”，综上，数列{cn}存在“低洼点”.不妨设数列 c,}的“低洼点”由小到大依次为n,n2,…,n,则c 白题59 是cn,Cn+1,cn2,…,c11,cn1中第1个小于cn,的项， 故c4,c1≤c11cr因为c.≥c-1-1(2≤n≤m),所 以c-1-c.≤1，所以c11-c1≤1，故cn,-C1≤1，所 以c1-cn≤c1-cn,=(c1-cn)+(ca,-c)++(c1c,)≤ （cm11-Cm1）+(cn2-cn2)++(cn-1-Cn)≤1+1+1+…+1(s个 1),故c1-Cm≤5. 上分专题06利用导数运算法则巧构函数解题 1.B解析：令g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-2x>0,所以 g(x)在R上单调递增.又f(2)=5,所以g(2)=f2)-2-1, 不等式f(x)>x2+1,即f(x)-x2>1,即g(x)>g(2),所以x>2, 即不等式f代(x)>x2+1的解集为(2，+∞) 2.AC解析：因为当>0时()+>0，令g()=) 是，可得g()-f'()+宁>0，所以g()在(0，+)上单调 递增.因为f(1)=1,可得g(1)=f(1)-1=0.对于A,因为 g()在(0，+0)上单调递增，所以g(兮)<g(),即 (兮)（行）0，化简可得f(兮）<3，故A正确： 对于B,因为()在(0，+)上单调递增，所以s(日）人 8),即8（日）/（日）片<0，化简可得f(日）km,故 B错误；对于C,因为g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以 g(log,e)>g(1),即g(log,e)=f(1oge）-1og2e >0，化简可得 f(log2e)>ln2,故C正确；对于D,因为g(x)在(0，+∞)上单 调递增，所以g(血3)>g(1),即g(血3)=fh3)n30,化 简可得f(ln3)>loge,故D错误. 3.(3,+0)解析：设g(x)=代x)-x,则g(x)=∫'(x)-1>0恒 成立，故函数在R上单调递增.f(1+x)+f(1-x)=0,则f(2)+ f0)=0,即f2)=2,故g(2)=f(2)-2=0.f(x-1)>x-1,即 g(x-1)>0,即g(x-1)>g(2),故x-1>2,解得x>3. 4.B解析：根据题意知f(x)f'(x),即f'(x)-f(x)>0,构造函 数g()-八日，可得g()f'().因为"()> 0,所以g(x)>0,所以g(x)在R上单调递增，则2024) e2024 f2025）,两边同乘e2,即2024)<f2025), e2025 五B解折：令6()型则g(幻=2④，因为在 (0,+∞)上，x对f'(x)-2x)>0恒成立，可知g(x)在(0，+∞) 当2时，即八1，可得g)g(兮)因为8()在 (0,+0)上单调递增，所以0<<2 6.D解析：因为(x2f(x))'=2xf(x)+x2∫'(x)=x(2f(x)+ xf'(x)),又xf'(x)+2f(x)=e,所以(x2f(x))'=xe,所以 选择性必修第二册·BS 当x>0时，(x2f(x))'=xe>0,所以函数x2f(x)在(0，+∞) 上年调递增因为2<3，所以机2)<973)，所以g 41 B错误：因为2<，所以机2)<e),所以29，D正 确；因为(x2fx)'=[(x-1)e]',故x2fx)=(x-1)e+C, 又e(0,+),所以)=e+c,所以x)= x2 -1)e+c,故[k]'=e-(1)e-C,所以 x2 [x]=-t1e-C,当c=0时，[]>0，所以 x2 函数xfx)在(0，+o)上单调递增.又e<e2,所以 0),所以巴g,所以A不一定正跪，因为 =-e+c,所以.-ec所以[风9] t? [a-9c+c]--2e-4C,设g(x)=(-2e-40, 则g'(x)=(x2-2x)e,所以当x>2时，g'(x)>0,函数g(x)= (x-2)2e*-4C在(2，+∞)上单调递增，所以若2<x≤3，则 g(x)≤g(3)=e3-4C,取C=10,可得当2<x≤3时，g(x)<0, 所以当c=10,2x≤3时，9] <0,函数在(2,3] x2 上单调速减所以巴g,所以C不一定正跪 四方法总结 构造法求解f代x)与∫'(x)共存问题的求解策略： 对于不给出具体函数的解析式，只给出函数f代x)和∫'(x)满足 的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构 造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：f'(x)g(x)± f(x)g'(x)型；xf'(x)+nf(x)型；入f八x)f(x)(入为常数)型. 7.(1,+∞)解析：VxeR,2f(x)+f'(x)<0,构造F(x)= fx)·e2-2,所以F'(x)=∫'(x)·e22+f(x)·2e2r2= e2-2·[f'(x)+2f(x)]<0,所以F(x)在R上单调递减，且 F)e=3,不等式四是可化为)· e22<3,即F(x)<F(1),所以x>1,所以原不等式的解集为 （1,+∞). 解析：由题意，函数f(x)满足f'(x)cosx+ 代)in￥<0，令F(x)=,则F'(x)= cos' 儿em血<0，函数F(=是定义坡 cos'x (号，受)内的单调递减函数，由于cs>0,则关于x的 不等8<()s:可化为（后】 即 T F()，所以-<号且石解得a号所 以不等式)<3（石）=的解集为（石，受）】 9.[e,+∞)解析：因为f(2-lnt)-2≥f(nt)-2lnt,所以 2-n)-(2-n)≥fn)-n,即f(2-ln)-2(2- 黑白题60上分专题05 数列与函数、不等式的综合应用 题课堂 命题密钥 近几年高考中，数列常与其他知识结合考查，特别是数列与函数、不等式结合来考查数列 求和、求最值、范围以及恒成立与存在性问题，其难度较大，在选择题、填空题、解答题中都有 出现.在2025年天津卷中，第19题就是数列与不等式的结合 数列与函数、不等式的综合应用要抓住一个中心一函数，因为数列是一类特殊的函数， 其定义域是正整数集，在求数列最值或不等关系时要特别重视.解题时还需要关注数列和函 数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基 础，同时需要注意到方程、不等式与函数的联系. 解决这类问题时要特别注意这三，点，第一点是数列的定义域是正整数集，在求数列最值 或不等关系时要特别重视；第二点是解题时需要准确构造函数，利用函数性质时注意定义域 的限制条件；第三点是在一些复杂的问题中，不等关系的证明需要适当地放缩 考点觉醒 ·题型分类与易错提示 数列是定义域为正整数集的函数 利用函数关系建立递推关系 数列与函 常见题型 与函数结合求解基本量 数的结合 利用函数性质求解数列的范围与最值 易错提示 忽略n为正整数 在n是正整数的前提下进行不等式计算或证明 作差作商比较大小 判断数列不等式是否成立或由数列不等式求的范围 数列与不等 常见题型 根据不等式恒成立或能成立求参数范围 式的结合 证明与通项有关的不等式 利用放缩法证明与前项和有关的不等式 易错提示 忽略最值的取等条件 黑白题·上分秘籍11 实战演练 1.**(2025·四川广元高二月考)已知数列6.禁(2025·辽宁沈阳高二期中)已知数列 {a}满足a1=10,a+1-a,=2n,则的最小值 a.}满足a1=a(neN),a4=1. a,+1 为 (1)证明：数列（日}为等差数列，并求数列 A.2/10-1 R号 {an}的通项公式； e. 02 (2)若记6.为满足不等式（分厂≤a:< 2.#(2025·福建莆田高二月考)已知数列 (分)'(a∈N)的正整数k的个数，求 {an} 的通项公式为a,= 3m-2m+2,n≤7'若对任意neN,都有 数列{}的前n项和s. 4n+94,n>7, an+1>an,则实数t的取值范围是 ( (3)在(2)的条件下，c.=.（-1) 一+1，若 n·2"+1-S A.t∈[3，+o) B.te 239 114'2 不等式2入-3<cn<入对Hn∈N都成立， 求实数入的取值范围. C.t∈ 3.整（多选）(2025·广东广州高二月考)欧 拉函数p(n)(n∈N)的函数值等于所有不 超过正整数n,且与n互质的正整数的个数 (公约数只有1的两个正整数称为互质整 数)，例如：p(3)=2,p(4)=2,则 () A.p(4)·p(6)=p(8) B.当n为奇数时，p(n)=n-1 C.数列{p(2)}为等比数列 D.数列/(2"） p(3n) 的前n项和小于 2 4.禁(2025·四川泸州高二期中)在数列 {an}中，a1=5,a+1=4an-3,若对任意的 n∈N,k(an-1)≥2n-5恒成立，则实数k 的最小值为 5.禁(2025·湖南长沙高二月考)已知数列 {a}中，a1=1,且2a1ta.= 若存在正整数n,使得(an+b)(an+1+bn+1)<0 成立，则实数t的取值范围为 12 数学|选择性必修第二册·BS 7.整(2025·广西桂林高二期末)已知数列8.热(2025·浙江宁波高二期中)设有穷数 a的ma项和为3，且=0 列{an}的项数m(m≥2)，若正整数k(2≤ k≤m)满足Hn<k,an>ak则称k为数列{an} (1)求{an}的通项公式 的“低洼点”. (2)伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布· (1)若an=(-1)"(2”-7)(1≤n≤5)，求数列 伯努利提出的，是分析不等式中最常见 {an}的“低洼点”； 的一种不等式.伯努利不等式的一般形 (2)已知有穷等比数列{bn}的公比为2，前 式为：若x>-1且n为正整数时，（1+ x)"≥1+nx,当且仅当n=1或x=0时等 项和为3，若数列{S+}存在“低注 号成立 点”，求正数b的取值范围； ①证明：数列{（色）广}为递增数列， (3)若cn≥cn-1-1(2≤n≤m),数列{cn}的 “低洼点”的个数为s,证明：c1-cm≤s. ②证明：≥2时，1++写++ In(n+1) In 2 黑白题·上分秘籍13