江西省上高二中2027届物理方向高三重点班数学练习卷20261016

江西省上高二中2027届物理方向高三重点班数学练习卷20261016 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．若函数，且，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．3 2．函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 3．函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的范围是（    ）. A． B． C． D． 6．已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（   ）A． B． C． D． 8．已知，函数，若对，恒有，则的范围是（ ）A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，下列说法正确的有（     ） A．若，则 B．若，则 C． D． 10．已知函数，以下结论错误的是（ ） A．在区间上是增函数 B． C．若方程恰有个实根，则 D．若函数在上有6个零点，则 11．已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数有两个零点，，则的范围是______． 13．已知函数，若存在互不相等的实数，且满足，则的取值范围是 ． 14．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在中，角、、所对的边分别为、、，且． (1)当，时，求角；（6分） (2)若，且的面积，求和的值（7分） 16．如图，长方体中，底面是正方形，，，分别为，的中点． (1)证明：平面；（6分） (2)若三棱锥的体积为，求点到直线的距离．（9分） 17．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． (1)证明：数列为等比数列；(7分) (2)求的通项公式．(8分) 18．部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中. (1)若，分别求出该考生报考两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；（7分） (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入大学的面试环节，求的范围.（10分） 19．已知函数． (1)讨论的极值点的个数；（6分） (2)当时，若有两个零点， （ⅰ）求a的取值范围；（4分） （ⅱ）证明：（7分） 江西省上高二中2027届物理方向高三重点班数学练习卷20261016答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A B B A A C D AC ABC ABD 1．B【详解】令（或），，，，.故选；B 2．A【详解】解：函数的定义域为，因为， 所以为偶函数，图像关于轴对称，所以排除B， 设，所以当时， 所以， 所以在上单调递增，所以排除B，D，故选：A 3．B【详解】关于点对称， 故将的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，图像关于原点对称， （事实上为奇函数），故选：B. 4．B【详解】方程的两根都大于2，则二次函数的图象与轴的两个交点都在x=2的右侧，根据图象得：方程的判别式；当时函数值；函数对称轴．即，解得，所以正确选项为B. 5．A【详解】因为，所以， 设切点为，则切线方程， 而过，将代入方程得到，令，， 令，，此时单调递减， 令，，此时单调递增， 故有极小值，有极大值， 则得到，故A正确.故选：A. 6．A【详解】画出函数的大致图象，如下图所示： 函数恰好有5个不同的零点，方程有5个根，设，则方程化为，易知此方程有两个不等的实根，，结合的图象可知，，，令，则由二次函数的根的分布情况得：，解得：.故选：A 7. 8. 9．AC【详解】设，，， 对于选项A，若，则，，A正确； 对于选项B，取，则，此时，B错误， 对于选项C，因为，， 所以，. 则 所以，即，C正确， 对于选项D，取，则， 此时，D错误. 10．ABC 11．ABD【详解】当时，，当时，，当时，， 由图像可知，，此时，解得，故A对； 因为关于对称，所以，又， ，故B对； 由，得 ，由，得 ， 由，得 ，故C错；，故D对.故选：ABD 12【解析】由函数有两个零点，， 所以与的两个交点横坐标分别为，， 结合图象知，，， ，则， 所以，则， 令，则，，又在区间上单调递减，所以，所以 13．【详解】作出函数的图象如图， 若存在互不相等的实数，且满足， 则，又，令，得，则，. 则，即.故答案为：. 14．【详解】当时，的最小值是由知 当时，的最小值是 当时，的最小值是 要使，则，解得：或 故答案为： 15．(1)(2) 【详解】（1）当，时，由得，由余弦定理得 ，又，得． （2）由得， 化简得，又， 代入上式得， 由正弦定理得，由得，， 又的面积，由. 16．(1)由题可知:长方体中，平面，平面， 所以，，四边形是长方形，为的中点， ，是等腰直角三角形， 同理，，是等腰直角三角形， 所以，所以，即， 结合，，平面，可得平面. （2）如图，设，， 则三棱锥的体积为， 结合三棱锥的体积为，有，所以， 延长交于，连接，因为为中点，所以为中点， 计算得：，，， 所以是等边三角形，过向作垂线交于， 则点到直线的距离即为，计算得. 17.【详解】（1）由题意证明如下，，当时，，解得， 当时，因为①，则②， 由得，整理得， 所以，∴数列是首项为，公比为2的等比数列． 2）由题意及（1）得，，在等比数列中，首项为，公比为2， ，则， 当时，， 当时，， ∴的通项公式为. 18．(1)报考大学恰好有一门笔试科目优秀概率为；报考大学恰好有一门笔试科目优秀概率为(2) 【详解】（1）设该考生报考大学恰好有一门笔试科目优秀为事件， 则；该考生报考大学恰好有一门笔试科目优秀为事件， 则. （2）该考生报考大学达到优秀科目的个数设为，则，； 该考生报考大学达到优秀科目的个数设为，则所有可能的取值为， ； ； ；； 随机变量的分布列： ； 该考生更有希望进入大学的面试环节，，即， 解得：，的范围为. 19．【详解】（1）由题意知的定义域为， ． ①当时，令，解得；，解得， 的单调递减区间为，单调递增区间为， 有一个极小值点2，无极大值点． ②当时，令，解得；令，解得或， 的单调递减区间为，单调递增区间为， 在处取得极大值，在处取得极小值，所以有两个极值点． ③当时，恒成立，在单调递增，无极值点． ④当时，令，解得；令，解得或， 的单调递减区间为，单调递增区间为， 在处取得极大值，在处取得极小值，所以有两个极值点． 综上所述：当时，有一个极值点；当或时，有两个极值点；当时，无极值点． （2）（i）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，；当时，；要使有两个零点，则， 即，故的取值范围为． （ii）不妨设，由（ⅰ）知，当时，不等式恒成立． 当时，要证，即证，此时． 又在上单调递减，只需证， 又，故只需证在上恒成立． 设， 则． ，所以在上单调递减． 又，所以在上恒成立，即，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $