上分专题04 等差数列与等比数列的综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

1.2解析：由+1几+2可得，1=号·”+ 299 antl an 2+1a122an2’ 令)=2及，则+1)-1)-1).又f)-1 2"a 1-0-104-8是 2a 会@宁安号品0-g湘宁 1 1 11 1.2(12) 22++22= 2=12°2， 8=22w2别 ”299 12.解：(1)在数列{an}中，公差d=2,S1=a1,S2=2a1+d= 2a1+2,S4=4a1+6d=4a1+12,因为S1,S2,S4成等比数列， 所以S=S1S4,即(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以 an=2n-1. (2)因为6.=(-2，所以6，是=(2n-1)×(2）广，所 30x(号）广+(2-0x(广，2=x()°+ 3x(2+5x(2)广+…+(2m-3)×(2）广+(2n ×()”,两武相减得2=+2[（号）尸 (2)广++(2)广]-(2m-0x(2)"=+2x 1a--广言(2 3)()"所以x=号（告+号）()” 13.A解析：因为a1=1,anta1=3,所以S2s=a1+(a2+a3)+ (a,ta,)++(ao4ta2s)=1+3x2025-1=3037. 2 14.D解析：设数列1a的公差为d,则2a,t6=a+3+7,解得 (a1+9d=19, {0l所以a.=2n-1设6，=a,cos,所以61+b,= (d=2, a cos T+azcos 2T=a2-a=2,b3+ba=a3 cos 3T+acos 4T= a4-a3=2,…,所以数列{a,cos nT}的前2025项和为(b1+ b)+(6,+6,)++(6+bhga)+bs=2x2024+(2x 2 2025-1)c0s2025m=-2025. 15.480解析：由题意得S.=2(1+a,)=2(a+a,）a=1 8=5(antas) 2 50=15,m,=3,公差d=49=1, 3-1 .an=n,bn=[log2an]=[log2n],当n=1时，log2n=log21= 0,∴.b1=0;当2≤n≤3时，log22≤log2n≤log23,即1≤ log2n≤log23<log24=2,.bn=1;当4≤n≤7时，log24≤ 1og2n≤log27,即2≤log2n≤log27<log28=3,∴bn=2;当8≤ n≤15时，log28≤log2n≤log215,即3≤log2n≤log215< log216=4,∴.b.=3;当16≤n≤31时，l1og216≤log2n≤ log231,即4≤log2n≤log231<log232=5,.bn=4;当32≤n≤ 参考答案 63时，log232≤1og2n≤log263,即5≤log2n≤1og263<log264= 6,∴.bn=5;当64≤n≤100时，log64≤log2n≤lg2100,即 6≤1ogn≤1og2100<log2128=7,bn=6,数列{bn}的前 100项和为0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37=480. 16.362解析：因为x=2为f(,)=3si血(mx+p)的零点，则 f(2）=3sin(T+p）3cs9=0因为oe(0,m),所以 p=受，所以x)=3sn(a+受）=3as,所以)+ f(1-x)=3c0s Tx+3cos(T-Tx)=3c0s Tx-3COs Tx=0, a寸（分）12-51=3m2712-51,所以a=4,+a+ 2年+1+3c0821 …+a=3cs27+3+3cs +2353+n-(3o3） 3ws27419g437-3r4+61=362 2 17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d,则b1=a1-4,b2= 2a2=2a1+2d,b3=a3-4=a1+2d-4,则 S4如t344a,+6d26,解得43.a2所以a (T3=b1+b2+b3=4a1+4d-8=12, a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1,所以数列{an}的通项公式 是an=3n-1. 《到由)知山=为整当为岛数时，不- (b1+b3+b3+…+bn-1)+(b2+b4+b6+…+bn)=(-2+4+10+…+ 2(-2+3m-8) 3n-8)+(10+22+34+…+6n-2)= 2 206229当1为奇数明，7 2 9(n+1)2-2(n+1)-6n-4-9n-8n-9所以当n为偶数时， 4 4 工2，当n为奇数时，9 4 上分专题04等差数列与等比数列的综合 1.B解析：因为等差数列{an}的公差为2，所以an=a1+2(n 1),因为a1,a2,a4成等比数列，所以(a1+2)2=a1(a1+6),解 得a,=2,所以a3=6. 2.ABD解析：由am=am-1-2可知等差数列a1,a2,…,am的公 差为-2，首项为16，则a,=-2+18,1≤n≤m;由82=1可 dm+1 2 知等比数列a8,a的公比为分，首项为号，则 6号x(兮)）m1≤n≤2m:若m=,则=4，由 aa+2m=a.得a1g=a1o=a2=14,故A正确；因为等比数列中任 意一项均不为0，则0必属于等差数列中的项，又，=0，故 a29=ag42(keN'),其中m≥9，解得m=10,故B正确；10 为等差数列的第4项，故a2m4=a4+2m（k∈N”),故 (2024=4+2km则m=1010,可知当m=11时，k不是正整 (m≥4， 黑白题57 数，故C错误；依题意，S22sm=1013·[16m-m(m-1)]+ 1012× ，1 <1013x8x9+4048<74287,故D正确. 3 12 3.AC解析：对于A,当数列{an}为等差数列时，不妨令an= a所以其前a项和为8=，又因为a(a+)必为锅 数，所以1必为整数，所以存在正整数m,使得s.=a, 2 故A正确；对于B,若数列{a.}为等比数列，设其公比为q, 则当q=1时，显然不满足要求；当q≠1时，由题意可 得S+1=am1S2+2=am2,即1+q+q+…+g=q11,1+q+q+ …+g2a1=(1+q+g2+…+g)(1+g1)=g21,两式相除得1+ g*1=g2m1.若1g1>1,则当n为奇数时，g+1>0,所以 q2m1≥1q2,所以1=g2m1-q*1≥1g*2-g1-1g1+1· (1q1-1).当n足够大时，显然不成立；若1q1<1,则 ge(0.1glu[+)因为1gl<1行所以当 1 n足够大时，可以使得1+ge(lgl,g),故不成立，故B 不正确；对于C,取n=2,则a1+a2=am,所以a1=am-a2;当 n≥2时，a,=S。-S1=a1am2,故C正确；对于D,取数列 an=n,显然不存在m,使得Sn=a2=2,故D不正确. 4.384解析：正项数列{an}成等比数列的后7项的首项为 4,设公比为g,则g=2=16,而g>0,解得g=2,于是a= as 1a5=3,a2=a5g=48,显然a2=2=2,所以a1+a2+a3+…+目 2 0,=1+2+3(1-2)=384. 1-2 1 1 a1-5·3m13'-2a,5·31 5.（1)证明：因为 = 1 5·3” a53” 23-2a =-2,又a≠号所以a,号40，所以数列 {智}是首项为a子公比为-2的等比数列 3 (2)解，存在因为4=子，所以数列{a習}的首项是 3-9 39 9 a-亏=0所以a.-亏=10·(-2)，则a,=10 (-2)+}若口.中存在连续三项成等差数列，则必 有a-a*a期2[写+名(-2小]-+品 （-21+329 5+10·(-2),整理为-4x3”=81x(-2) 5 10 解得n=4,所以a4,a5,a6成等差数列. 6（①证明令n=1,则4=8-”2=0，由又=a2 2 _m0①.又S1 即Sn=2 （n+1)a1②，②-①，得(n-1)· 2 a1=na。③，于是na2=(n+1)an1④，③+④，得 2nant1=nan+naa+2,所以2an+1=an+an+2,即an+2-a1=ant1- 选择性必修第二册·BS an,所以数列{an}是等差数列.又a1=0,a2=1,所以公差d= 1,所以{an}的通项公式为an=n-1. (2)解：存在.由(1)知bn=103“,假设存在正整数数组(P,9) (1sp<g),使得64,4，成等比数列，则(10)°=10时· 于等日是所以g售）).当-2 时，9=3”.1 9=32,解得g=3.所以(p,9)=(2,3)是方程 (*)的一组解，当p≥3且peN时，因为2(*+1_29= 31 部0，即多}术演滋减所以号号0此时 方程(*)无正整数解.综上，满足题设的数对(P,9)有且只 有一个，为(2,3). 上分专题05数列与函数、不等式的综合应用 1.C解析：因为a1=10,a-an=2n,所以an=(an-an-1)+ (am-1-am-2)+…+(a2-a1)+a1=2(n-1)+2(n-2)+…+4+2+ 10=n-1)[242(n-1)1+10=m2-n+10,则%-2-n+10=nt 2 nn 10-1(neN).因为函数f()=x+10-1在(0，V0)上单 调谁诚，在(0，+)止单调递抛3)=白4)=， 故当A=3时，受的最小值为的 2.C解析：当ne{1,2,3,4,5,6}时，a1-a.=3(n+1)2- 2t(n+1)+2-3n2+2tn-2=6n+3-2t>0恒成立，所以2t<6n+3 对ne1,23,4,5,6恒成立，故24<9→t<)又当n>7, n∈N·时，an=4n+94为单调递增的数列，故要使对任意 n∈N,都有a1>a.,则a8>a1,即4×8+94>3×7-14t+2,解 得会综上可得4e(保号) 3.ACD解析：对于A,因为p(4)=2,p(6)=2,p(8)=4,所以 p(4)·p(6)=p(8),故A正确；对于B,由于p(9)=6≠8， 故B错误；对于C,因为小于2”的所有正奇数与2“均互质， 且小于2的所有正奇数有2-1个，所以p(2)=2-1,因此 数列{P(2)}为等比数列，故C正确；对于D,同理小于3 的所有3的倍数与3”均不互质，共有3-1个，因此小于3” 的所有与3”互质的数共有(2×3)个，即p(3)=2×3-1, 则Sn=a1+a2+…+a.= 31 <号放D正确 3 4. 6解析：由a1=40,-3整理得a1-1=4(a,-1),即 214又a-1=4,放数列0，-1是以4为首项，4为公 an+1-1 比的等比数列，可得an-1=4,不等式k(an-1)≥2n-5,可 化为2令)=2当15a≤2时)0：当 n≥3时fm>0,fn+1）=fm)=2n3-2n5=-647<0, 4*14" 白题58上分专题04 等差数列与等比数列的综合 是课 命题密钥 这一内容在高考中以选择题和填空题为主，难度简单到中等.在解答题中出现时难度会 上升至中等偏上的水平.等差数列和等比数列的基本量的计算以及性质应用是高考的热，点， 还会结合其他知识点，考查综合运用能力.基本概念、公式和性质的考查占据主要部分，但题 目设计更加灵活，注重知识点的综合应用，也可能会结合现实生活中的情境. 2025年全国二卷的第7题、第9题，2024年全国甲卷文科卷的第17题，2023年新课标一 卷的第20题，就考查了等差数列与等比数列的相关知识与计算.解决这类问题的关键在于既 要会基本量计算，也要会通过数列的性质来简化计算，有时还需要利用特殊值法代入数值进 行计算 考点觉醒 ●等差数列与等比数列的基本知识 基本量计算 a,an,d,n,Sn,知三求二， 用a,和d两个基本量 表示已知量和未知量并进行运算 等差数列 通项性质和前 利用角标和等性质简化运算 n项和性质 a1,a,n,9,Sn,知三求二，计算中还会利用整 基本量计算 体代换， 如将，品，看作一个整体 等比数列 通项性质和前 利用角标和等性质简化运算，需注意g=1或 n项和性质 -1等特殊情况 ●应用举例与易错提示 等差数列中有an,an 将三项都化成a,+(n-1)d的形式 a,三项成等比数列 利用等比中项性质，即a-ana,进行计算 将三项都化成a,=a,g-的形式 等比数列中有an,an a,三项成等差数列 利用等差中项性质，即2a=am+a进行计算 忽略数列中的变量大多需要满足是正整数 易错提示 未使用性质或特殊值法来简化计算，导致计算过 程复杂易错 黑白题·上分秘籍09 实战演练 1.*★(2025·江苏连云港高二期末)已知等 (4)证明：{a.5} 是等比数列： 差数列{an}的公差为2，若a1,a2,a4成等比 数列，则a3= ( (2)若4=2，a,}中是否存在连续三项成 A.-6 B.6 C.4 D.-4 等差数列？若存在，写出这三项；若不存 2.整（多选）(2025·广东广州高二月考)若无 在，请说明理由， 穷数列{a,}存在m(m≥3)满足：①a1,2,…,am 为等差数列；②ant1,am+2,…,a2m为等比数 列；③对任意正整数n,aa+2m=an恒成立，则 称数列{an}为“m项等差-等比过渡循环数 列”.已知前n项和为Sn的数列{an}为 “m项等差-等比过渡循环数列”，且an= 2 02,02=241F16,a17则( A.若m=4,则a18=14 B.若a29=0,则m=10 C.若a24=10,则m的值可以为11 6.#(2025·江苏苏州高二月考)已知数列 D.不存在m,使得S22sm≥74287 {an}中，a2=1,前n项和为Sn,且Sn= 3.禁（多选）(2025·安徽合肥高二月考)设 n(a-a1) 数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的正整 2 数n,总存在正整数m,使得Sn=an,下列命 (1)证明：数列{an}是等差数列，并写出其 题正确的是 ) 通项公式 A.{an}可能为等差数列 (2)设bn=10°(n∈N*),试问是否存在正 B.{an}可能为等比数列 整数p,9(其中1<p<q),使得b1,b,b, C.a:(i≥2)均能写成{an}的两项之差 成等比数列？若存在，求出所有满足条 D.对任意neN,n≥1，总存在m∈N,m≥1， 件的数对(p,9);若不存在，请说明理由。 使得an=Sm 4.*(2025·四川绵阳高二月考)正项数列 {an}共有9项，前3项成等差，后7项成等 比，a1=1,a5=12,a,=192.前n项和为Sn, 则S。的值为 5.(2025·四川成都高二月考)设数列 a.的首项a,为常数(a,≠)，且a 3"-2an(neN*). 10■数学1选择性必修第二册·BS