上分专题03 数列求和-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

(n-1)bn-1-3(n≥2)①，当n≥3时，由①可得(n-3)· bn-1=(n-2)bn-2-3②，①-②可得b.+bn-2=2bn-1,即b. bn1=bn1-bn2对任意的n≥3都成立，故数列{bn}是等差数 列，首项是b1=3,公差是d=b2-b1=4,从而bn=b1+ (n-1)·d=4n-1,所以数列{bn}的通项公式为bn=4n-1, nEN'. 上分专题03数列求和 1.B解析：设等差数列{an}的公差为d,则S-S3=a5+a4= a2+3d+a2+2d=2a2+5d=6+5d=16,解得d=2,故a4= 4+21=3+2x2=7,因此5，=7(aa）=7a4=7x7=49. 2 2.B解析：设{an}的公比为g(9≠1)，因为a3S3=3,a6S6= a393·S,(1+q)=3q3(1+g3)=6,解得93=-2或q3=1(舍 去)，所以agS,=a39·S3(1+q3+q)=3×(-2)2×(1-2+ 4)=36. 月 3c得折合5ataa的兴…的贺s 8+96+8+6,两式相加得2S= ag+ant+a+a1=97t95t叶 (的器+0器)+（贺+）(（的 )+(货)++（贺芳）+(9当)8x2, .S=98. 4.C解析：由等差数列a,满足ao=分，则对于p,geN, 当p+g=2×1013时，0，+a,=2a10s=1,则，1。+1 4p+24g+2 4p+4“g+4 4p+4g+41 4+2:4+24+44+24+2.49t42,设5 11 1 1 4+24+2…+4+2则58，w4s+244+2 +…+ 中7两式相加可得2s=20心5×号解得8a-2g空 4 5.44.5解析：sin(90°-a)=cosa,∴.sin2a+sin2(90°-a)= sin2a+cos2a=1.S3g=sin21°+sin22°+…+sin289°，又Sg9= sin289+sin288°+…+sin21°，两式相加得2Ssg=(sin21°+ sin289)+(sin22°+sin288)+…+(sin289°+sin21)=1× 89=89,因此S0=89- =44.5. 1 A= 6.B解析：设S.=A2+Bm,则4A+2B2,解得 4’ 所 (36A+6B=12, B=- 。2， 以8质以发=2（日）所以元 2(-写)（合）（兮）（任石）*… P (号号)(g0川2（号90）9 7.C解析：当n=1时，S1+a1=2,解得a1=1;当n≥2时， 由S.+an=2n,得Sn1+an-1=2(n-1),两式相减得，S.-S.-1+ a-=2n-2a-.即2a,4-=2,所以6，=74+1，所 以0-2202》，所以。二a≥2，所以1a-2 是以0-2=-1为首项，号为公比的等比数列，所以a,-2= 选择性必修第二册·BS -1× 2,所以4.=2 1 2m1,b=2n= anantl 2-1 2 2)）22 1-1）,所以T=b+b+ 1 " 6,+…+6,=2 11 +…+ 1 +2(11 1 21-12 2- 21 2- 21 22 7小2(11 1 2(1-1) 11, 2 2 22222 2- 2 若T.<a恒成立，则a≥1.所以实数a的最小值为l. 8.√n+2-√2解析：当n=1时，a1=3×2-1-3=2,即a1= 2.2-a1+2-2a2+…+2an-1+an=3×2"-n-3①，当n≥2 时，22a1+2-3a2+…+an-1=3×2-1-n+1-3②，①-2x②得 an=3×2-n-3-3×2"+2n+4=n+1,所以an=n+1.当n=1时， 地活合a1容上a6”O 1 √nt1+vn+z =n+2-√n+1,Tn=c1tc2+…+cn=3-√2+ √4-√5+…+√n+2-√n+I=n+2-2. 9.(1)证明：因为+a,=1,所以+a,=1,则=a1=分，所 以Tn≠0.因为Tn=a1·a2·…·an,所以当n≥2时，Tn1= a1·a2·…·an-1,所以an= 2代入T,+a=1,得工+打 1,两边同时除以？，并整理，得，1(n≥2，所 Tn T- 以数列{}是首项为72，公常为1的等装数列，所以 11 7万+(=D×1=n+1,即工.号n中所以a,=1-7=12 n中即a 1 (2)解：由(1)得，n·2·a1=n·2”.nt-nn+1)·2 n+2 n+2 所以1 n+212(n+1)-n1 以n…2·an(n+1)·22n(n+1)=2 (21）= 1 元t1)三n2-(+1).2,所以、 1 【1×20 /11 1 Inx2-1 1 1 1 (n+1)x2]=1- (a+1)x2,即8=1a+1)x2 10.D解析：由m1=3(+1)a,可得=3(n+1少，累乘可 an n 脸之空哈 -X a1 a2 n-1’a1 所以an=3”·n,a1=3也符合该式，故a,=3”·n.所以S。= 1×3+2×32+3×33+…+n×3”①，3Sn=1×32+2×33+…+ (n-1)·3+n·31②，①-②可得-2Sn=(3+32+33+ 4)3》m3 2 因t82-D3-2(任g 白题56 1.2解析：由+1几+2可得，1=号·”+ 299 antl an 2+1a122an2’ 令)=2及，则+1)-1)-1).又f)-1 2"a 1-0-104-8是 2a 会@宁安号品0-g湘宁 1 1 11 1.2(12) 22++22= 2=12°2， 8=22w2别 ”299 12.解：(1)在数列{an}中，公差d=2,S1=a1,S2=2a1+d= 2a1+2,S4=4a1+6d=4a1+12,因为S1,S2,S4成等比数列， 所以S=S1S4,即(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以 an=2n-1. (2)因为6.=(-2，所以6，是=(2n-1)×(2）广，所 30x(号）广+(2-0x(广，2=x()°+ 3x(2+5x(2)广+…+(2m-3)×(2）广+(2n ×()”,两武相减得2=+2[（号）尸 (2)广++(2)广]-(2m-0x(2)"=+2x 1a--广言(2 3)()"所以x=号（告+号）()” 13.A解析：因为a1=1,anta1=3,所以S2s=a1+(a2+a3)+ (a,ta,)++(ao4ta2s)=1+3x2025-1=3037. 2 14.D解析：设数列1a的公差为d,则2a,t6=a+3+7,解得 (a1+9d=19, {0l所以a.=2n-1设6，=a,cos,所以61+b,= (d=2, a cos T+azcos 2T=a2-a=2,b3+ba=a3 cos 3T+acos 4T= a4-a3=2,…,所以数列{a,cos nT}的前2025项和为(b1+ b)+(6,+6,)++(6+bhga)+bs=2x2024+(2x 2 2025-1)c0s2025m=-2025. 15.480解析：由题意得S.=2(1+a,)=2(a+a,）a=1 8=5(antas) 2 50=15,m,=3,公差d=49=1, 3-1 .an=n,bn=[log2an]=[log2n],当n=1时，log2n=log21= 0,∴.b1=0;当2≤n≤3时，log22≤log2n≤log23,即1≤ log2n≤log23<log24=2,.bn=1;当4≤n≤7时，log24≤ 1og2n≤log27,即2≤log2n≤log27<log28=3,∴bn=2;当8≤ n≤15时，log28≤log2n≤log215,即3≤log2n≤log215< log216=4,∴.b.=3;当16≤n≤31时，l1og216≤log2n≤ log231,即4≤log2n≤log231<log232=5,.bn=4;当32≤n≤ 参考答案 63时，log232≤1og2n≤log263,即5≤log2n≤1og263<log264= 6,∴.bn=5;当64≤n≤100时，log64≤log2n≤lg2100,即 6≤1ogn≤1og2100<log2128=7,bn=6,数列{bn}的前 100项和为0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37=480. 16.362解析：因为x=2为f(,)=3si血(mx+p)的零点，则 f(2）=3sin(T+p）3cs9=0因为oe(0,m),所以 p=受，所以x)=3sn(a+受）=3as,所以)+ f(1-x)=3c0s Tx+3cos(T-Tx)=3c0s Tx-3COs Tx=0, a寸（分）12-51=3m2712-51,所以a=4,+a+ 2年+1+3c0821 …+a=3cs27+3+3cs +2353+n-(3o3） 3ws27419g437-3r4+61=362 2 17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d,则b1=a1-4,b2= 2a2=2a1+2d,b3=a3-4=a1+2d-4,则 S4如t344a,+6d26,解得43.a2所以a (T3=b1+b2+b3=4a1+4d-8=12, a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1,所以数列{an}的通项公式 是an=3n-1. 《到由)知山=为整当为岛数时，不- (b1+b3+b3+…+bn-1)+(b2+b4+b6+…+bn)=(-2+4+10+…+ 2(-2+3m-8) 3n-8)+(10+22+34+…+6n-2)= 2 206229当1为奇数明，7 2 9(n+1)2-2(n+1)-6n-4-9n-8n-9所以当n为偶数时， 4 4 工2，当n为奇数时，9 4 上分专题04等差数列与等比数列的综合 1.B解析：因为等差数列{an}的公差为2，所以an=a1+2(n 1),因为a1,a2,a4成等比数列，所以(a1+2)2=a1(a1+6),解 得a,=2,所以a3=6. 2.ABD解析：由am=am-1-2可知等差数列a1,a2,…,am的公 差为-2，首项为16，则a,=-2+18,1≤n≤m;由82=1可 dm+1 2 知等比数列a8,a的公比为分，首项为号，则 6号x(兮)）m1≤n≤2m:若m=,则=4，由 aa+2m=a.得a1g=a1o=a2=14,故A正确；因为等比数列中任 意一项均不为0，则0必属于等差数列中的项，又，=0，故 a29=ag42(keN'),其中m≥9，解得m=10,故B正确；10 为等差数列的第4项，故a2m4=a4+2m（k∈N”),故 (2024=4+2km则m=1010,可知当m=11时，k不是正整 (m≥4， 黑白题57课 上分专题03 数列求和 命题密钥 数列求和是高考的热点内容，命题形式多种多样，属于高考的必考内容之一.从近几年的 高考情况来看，数列求和往往以解答题的形式考查，难度中等或稍难，往往在解决数列基本问 题后考查数列求和，还有可能在求和后与不等式、函数、最值等问题综合.2025年全国一卷第 16题，将函数与数列进行综合，最后利用错位相减法求和 数列求和的方法多种多样，需要根据通项的形式，灵活选择方法求解.同时这一内容对于 计算能力的要求较高，在解题过程中可以通过代入数值的方式对答案进行检验，避免错误 考点觉醒 ●方法总结与易错提示 公式法 已知数列是等差数列或等比数列 倒序相加法 数列首末两端等“距离”的两项的和相等 裂项相消法 通项可拆分成两项之差，求和过程中相互抵消 求和方法及 适用情况 通项形式为一个等差数列和一个等比数列的 错位相减法 对应项之积 通项可拆分为多个子数列 分组（并项） 通项形式为奇偶项 求和法 相邻两项之间存在定值关系 公式法 忽略等比数列公比为1的情况 倒序相加法 对应项相加时计算错误，项数错误 易错提示 裂项相消法 裂项形式错误或系数配凑错误，抵消规律 不准确 错位相减法 首末项符号错误，中间需要利用等比数列 求和的部分项数错误 分组（并项） 项之间的合并错误 求和法 06数学1选择性必修第二册·BS 实战演练 题组1 公式法 题组3 裂项相消法 1.*(2025·浙江宁波高二期中)已知等差 6.**(2025·广东肇庆高二期末)记等差数 数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,S-S3= 列{an}的前n项和为Sn,且S2=2,S。=12,记 16,则S2= 工为{兮}的前n项和，则工 () A.36 B.49 C.58 D.64 9 116 A. B. 45 D.232 2.**(2025·江西南昌高二期末)已知公比 7.幸(2025·河南郑州高二月考)已知数列 不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,若 {an}的前n项和为Sn,且Sn+an=2n,数列 a3S3=3,a6S=6,agS= ( A.9 B.36 {bn}满足bn= 2-a,且b.的前n项和为 anan+l C.72 D.84 Tn,若Tn<a恒成立，则实数a的最小值为 题组2倒序相加法 3.**(2025·吉林长春高二月考)德国数学 B.1 C.1 D.2 家高斯在幼年时就表现出超人的数学天赋， 10岁时，他在进行1+2+3+…+100的求和运 8.**(2025·江苏苏州高二月考)已知数列 算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理 {an}满足2-1a1+2-2a2+.+2an-1+an= 基于所给数据前后对应项的和呈现一定的 3×2”-n-3,若cn= 三，则数列{cn}的 规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.已 √an+/an+l 为喷会 前n项和Tn= ,则a1+a2+…+agg= 9.整(2025·四川眉山高二期末)记Tn= a1·a2·…·an,其中T1=a1,数列{an}满足 A.96 B.97 T ta=1. C.98 D.99 (1)证明：数列{分 是等差数列，并求an; 4.(2025·黑龙江哈尔滨高二月考)若等 差数列{an}满足a1o= 1,则1+ 1 (2)求数列 的前n项和S 2 441+24+2 n·2"ant 1 十 44脑+2 A.2025 B.2025 2 C.2025 4 D.2025 5.*(2025·湖南长沙高二月考)设数列 {an}的通项公式为an=sinn°，该数列的前 n项和为Sn,则S9= 黑白题·上分秘籍07 题组4错位相减法 15.装(2025·广东深圳高二期末)已知[x] 10.**(2025·江苏淮安淮阴中学高二期末) 为不超过x的最大整数，例如[0.2]=0， 数列{an}满足na1=3(n+1)an,a1=3,数 [1.2]=1,[-0.5]=-1,设等差数列{an}的 列{an}的前n项和Sn为 () A.15n2+9n 前n项和为s,=2(1+a,)且s=15,记6. B.n·3” 2 [log2an],则数列{bn}的前100项和为 C.1+(14n-8)3m-2 D+243 11.*(2025·四川内江高二期中)设Sn为 16鞋已知=是函数✉)=3n(m+p) 数列{an}的前n项和，已知a1= 1nt1- 2'an+l (0<9<m)的-个零点，令a,=f(分)+2m +2，则Sw= 5l,（n∈N),S为数列{an}的前n项和， a, 则S21= 12.#(2025·吉林四平高二期末)已知等差 17.**(2025·湖南长沙高二月考)已知{an} 数列{an}的公差为2，前n项和为Sn, 为等差数列，bn= (an-4,n为奇数， 记Sn,Tn 且S1,S2,S4成等比数列.数列{bn}满足 (2an,n为偶数， bn=(-2)n. 分别为数列{an},{bn}的前n项和，S4=26, (1)求数列{an}的通项公式； T3=12. (2若c会求数列1的前n项和工 (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Tn 题组5分组（并项）求和法 13.*(2025·山西大同高二期末)已知数列 {an},a1=1,an+a+1=3,则S22s等于 () A.3037B.3038C.3034D.3035 14.*(2025·湖北武汉高二月考)已知等差 数列{an}中，a3+a5=a4+7,ao=19,则数列 {acos nT}的前2025项和为（) A.1012B.1013C.2025D.-2025 O8■数学1选择性必修第二册·BS