上分专题01 数列在数学文化和实际生活中的应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

上分专题01数列在数学文化和实际生活中的应用 命题密钥 古代数学家对数列概念的认识很早，如我国古代的《九章算术》、《孙子算经》、《算法统 宗》等书中，都记载有许多数列问题，从内容上看，都是与生产、生活息息相关的知识和内容 以此为背景的试题一是传承了数学文化，二是考查了学生的应用意识与模型思想，引导学生 通过了解数学文化，体会数学知识与方法在认识现实世界中的重要作用.这体现了高中课程 改革的要求，是课程标准要求学生必须具备的技能.这些试题强化了数学建模能力和数学应 用意识的培养，有利于考生进一步理解数学知识在生活实际中的应用. 这一内容多以选择题或者填空题的形式，以等差数列、等比数列等内容为核心考查相关 知识，意在考查读题、分析问题和逻辑推理能力 2023年北京卷第14题以“环权”为背景考查了数列的应用.解决这类问题的关键在于能 否从题干中获取必需的条件并加以准确的运算， 考点觉醒 ●解题步骤 读懂题意 抛开数学文化或实际应用的背景，读懂题意 又 构建模型 由题意，构建等差数列、等比数列或递推关系的模型 及 利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通 求解模型 项公式或前n项和的公式 又 检验结果 将所求结果还原到实际问题中 ·常见题型 借助背景材料考查数列的规律问题 主要考查数列的周期性等相关性质 借助背景材料考查递推数列 主要考查通过递推关系求解数列的通项及前 n项和 主要考查等差数列、等比数列的综合运算 借助背景材料考查等差数列与等比数列 及性质 主要考查求解数列的通项及前项和中的 借助背景材料考查数列中的恒成立问题 最值 黑白题·上分秘籍01 实战演练 1.*(2025·四川眉山高二期中)《九章算 面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组 术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作， 成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列 书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上 为an},有a1=a2=1,an+2=an+an1,前n项 造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少， 和为S,则下列对“斐波那契数列”的描述正 以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不 确的是 更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人 A.a2+S2023=a2025 共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱 B.该数列的前2025项中能被3整除的有 数是递增的等差数列，这5个人各出多少 506项 钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士 C.a2+a4+…+a2024=a2025 出钱数为 D.a1+a2+…+a2024=a2024a2025 A.31 B.32 C.33 D.34 5.鞋(2025·江西南昌高二期中)小琴3月 2.*★(2025·湖北武汉华师一附中高二期末) 8日用分期付款的方式购买一件商品，商品 “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可 价格为2200元，购买当天支付200元，当年 见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算 4月开始算分期付款的第一个月，月利率为 经》卷下第二十六题，叫作“物不知数”.原文 0.5%,25个月还清.已知从当年4月开始，后 如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五 面每月的8日都还款本金80元，并加付欠 数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有 款利息，若全部欠款付清后，则购买这件商 一个相关的问题：被3除余1且被4除余2 品实际付款 元；若从当年4月开 的正整数，按照从小到大的顺序排成一列， 始，后面每月的8日还款一次，每次还款数 构成数列{an},则a22s的值为 额相同，按复利计息，则每月还款金额为 A.24294B.24296C.24298D.24300 元.（最后结果保留4位有效数字， 3.(2025·广东韶关高二期末)今年某企 参考数据：(1+0.5%)25≈1.133) 业投产高新设备，合格品全部销售完毕，预 6.禁(2025·湖北武汉高二月考)甲方和乙 设第n个月将实现销量倍增的目标.已知 方分别作为买家和卖家就某商品进行价格 每月产量在前一个月的基础上提高10%，第 谈判.第一轮，甲方出价100万元，乙方要价 1个月产品合格率为90%，前9个月合格率 300万元.以后每一轮谈判中，双方根据上一 每月增加1%，之后合格率保持不变.则n的 轮的情况调整自己的报价，其中甲方新报价 值为(n∈N*且n≤12，参考数据：1.7<1.16< 为上一轮自己报价的？加上乙方上一轮报 1.8,1.9<1.1<2) ( A.7 B.8 C.9 D.10 价的？，乙方新报价为上一轮甲方报价的 4.#(多选)(2025·四川绵阳南山中学高 二月考)意大利著名数学家斐波那契在研究 加上自已上一轮报价的 .当双方报价的近 兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1， 似值（四舍五入到万元）相等时，以该近似值 1,2,3,5,8,13,….该数列的特点是前两个数 为成交价结束谈判，则成交价为 万 都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前 元，共进行了 轮报价。 02 数学I选择性必修第二册·BS上分秘籍 上分专题01数列在数学文化 和实际生活中的应用 1.D解析：设等差数列的公差为d(d>0),则5人出钱数依次 为27-3d,27-2d,27-d,27,27+d.依题意，27-3d+27- 2d+27-d+27+27+d=100,解得d=7,所以公士出钱数为27+ d=27+7=34. 2.C解析：被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大 的顺序排成一列，构成首项为10，公差为3×4=12的等差数列， 所以an=10+12(n-1)=121-2,则a2ms=12×2025-2=24298. 3.B解析：设第n个月的产量和合格率分别构成数列{an、 {bn},不妨设a,=1,则数列{an}是首项为1，公比为1.1的 等比数列，故an=1×1.1-1=1.1-,{bn}的前9项构成以0.9 ! 为首项，公差为0.01的等差数列，故当1≤n≤9时，bn=0.9+ 0.01×(n-1)=0.01n+0.89.由题意可知当n≥10时，bn=b。= 0.98,则该公司第n个月的销量为anbn,当1≤n≤9时， abn=(0.01n+0.89)×1.1-1,当1≤n≤9时，an1>an>0,bnt1> bn>0,则a,bn<ant1bn+1,故数列anbn}(1≤n≤9)为递增数 列，且a1b1=0.9,因为a,b,=0.96×1.16<0.96×1.8=1.728< 1.8,asb8=0.97×1.17>0.97×1.9=1.843>1.8,当10≤n≤12 时，anbn=0.98×1.1-1,此时数列{abn}(10≤n≤12)单调递 增，此时anbn>asbg>l.8,故n=8. 4.ABD解析：对于A:因为a+2=an+aa1,即an=a2-a1,所 以S2m3=a,+a,t…+a2m=(a3-a2）+(a4-a3)+…+(a2ms a2m4)=a22s-a2,即a2+S23=a25,所以A正确；对于B:因 为“斐波那契数列”的前若干项依次为1,1,2,3,5,8,13,21， 34,55,89,144,…,它们除以3所得的余数为1,1,2,0,2,2 1,0,1,1,2,0,…,可以发现余数是以1,1,2,0,2,2,1,0为周 期循环出现，在一个周期内有两个能被3整除的数.又 2025÷8=253…1,所以该数列的前2025项中能被3整除 的有253×2=506（项），故B正确；对于C:a2+a4++a224= a1+a2+a4+.+a224-a1=a3ta4+a6+…+a2024-a1=a20s-a1 a2s5-1,故C不正确；对于D:因为a204a22s=a204(a22+ a20m4）=a20m4+a20m3a204=a20m4+a202(a20m+a20m3）=am4+ a2023+a20ma2m3=aim4+a20m+a20m（a20m1+a20m）=a5m4+ am3+a2+a20m1a202=…=a24+a202s+…+a2+a1a2,因为 a,=a2=1,所以a2m4a2s=a2m4+a+…+a2+a.故D正确. 5.233085.19解析：设第n个月付款am元，则an=80+ [2200-200-80(n-1)]×0.5%=90.4-0.4n,所以购买这件 商品实际付款S.=24,=90.4×25-04×25×(25+1) 2130(元)，所以购买这件商品实际付款200+2130=2330（元）. 设每期还款x元，按复利计算2200-200=2000（元）贷款， 经过25期连本带息增值为[2000×(1+0.5%)25]元，则 x(1+0.5%)24+x(1+0.5%)3+…+x=2000(1+0.5%)25,可 得1-(1+0.56)]-200x1+0.5%)5,整理可得x= 1-(1+0.5%) 2000(1+0.5%)5×0.5%2000×1.133×0.5% (1+0.5%)25-1 ≈85.19，所以 1.133-1 每月还款金额为85.19元. 6.2006解析：设甲方第n(n∈N*)轮报价为a.万元，乙方 第n(n∈N)轮报价为b,万元，则a,=100,b,=300,当 2 a=30.-1+3b.1 n≥2时，由题意可得 上述两个等式相 1 .2 b=30-1+3b-1 选择性必修第二册·BS 参考答案 加得an+bn=an-1+b-1,即数列{an+bn是常数列，故an+bn= a,+b,=400,即a+b,=400①.由上可得a,-b,=3(a-1 1 b-),且a1-b,=-200,即数列{a。-bn}是首项为-200，公比 为分的等比数别，所以a,6=-2m·(兮）广②.由 ①2可得a-204=20南1ah1-9≤1 可得3-≥200，由于neN°，且3<200<35，n-1≥5，即n≥ 6故n的最小值为6，且0，=200-100-200,6.=200+10- 35 35 200,因此成交价为200万元，共经过了6轮报价. 上分专题02数列通项公式的求解 1.A解析：依题意，在数列{an}中，a1=3,a1=an+lg1+ 日)即a4a.=k片-g(a+1D-k所以en-a+e a1)+(a3-a2)+…+(ao-ag)=3+lg2-lg1+lg3-lg2+…t 1lg10-lg9=3-lg1+lg10=3+1=4. 2B解析：因为a1=1 所以2则2 a13'a2 2=3,=,。=n+,累乘可得 405’a46,…,2 a a2 ...0 -× a3 d4 0-13456x 、a1 又，=1.所以aaD经检验，-1时. 1×2 2 n(n+1) 、也成立，所以a,n(+ 2 3.A解析：b,=a1+a2+a3=0+1+1=2,数列{bn是公比为2的 等比数列，则bn=2,即a+3-an=aa1+an+2+aa3-(a.+a++ a2)=bn1-b=21-2”=2",a2025=(420s-a2m）+(a2m a209)+(a2019-a2016)+…+(a6-a3)+a3=2202+22019+22016+ +241=21-2)]1-2- 1-8 7 1 1 4. 64解析：因为a=l,a,=16a,a2=4,所以a,≠0，所 4会闪能数到会}是苗爽为。 a a16,公比为 4的等比数列.所以。64=4当≥2时，a .0=..92.4=4×45×x42x1=4 0a-1an-2a1 因为n=1时，4=1=4，所以4.=4= ()号，因此当n=3度=4时，4取得最小值，为 1 4364 5.2解析：因为a,=2,a1=a.(a,+1),所以a>0,因此有 a>0.根据a1=a(a+1)可得-，一=，，故S。=b,+ a az a2 a3 an datl a1 antl an+l 黑白题54