第2章 专题探究1 平面向量的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

专题探究1平面 黑题 专题强化 题组1平面向量基本定理的应用 1.*(2025·江西宜春高一期中)如图，在 △ABC中，D,E分别是CB,CA的中点，点F 在AB上，且3AF=FB,M是△AFE(不含边 界)内的动点，满足D=】DB+kD正，则k的取 值范围为 c ( 2.**（多选)(2025·浙江杭州高一月考)在平 行四边形ABCD中，P是边BC上一点（不含端 点)，AP=aAB+bAD,AQ=bAB+aAD,AR= (a-0.1亦+6d,不=（+A0),则( A.Q落在CD上 B.S落在AC上 C.R落在△ABC内 D.△ACP的面积等于△ACQ的面积 题组2平面向量的数量积问题 3.*(2025·江苏镇江高一期中)已知△ABC 中，(BA+BC)·AC=0. AB AC =3, IABI IACI 则此三角形为 A.等边三角形 B.等腰非等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 第二章 向量的综合应用 电子错题本 限时：60min 4.*如图，在四边形ABCD中，IAB1+IBD1+ 1DC1=4,AB·BD=BD·D元=0,1AB1· 1BD1+1BD1·1D元1=4，则(AB+DC)·AC的 值为 ) A.2 B.22 C.4 D.42 0 (第4题) (第5题) 5.整(2025·黑龙江哈尔滨高一期中)“圆幂 定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理， 它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆 内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长 的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是 圆O内的定点，且OP=√2，弦AC,BD均过点 P,则下列说法错误的是 A.PA·PC为定值 B.当AC⊥BD时，AB·CD为定值 视频讲解 C.0A·OC的取值范围是[-4,0] D.IAC1·IBD1的最大值为12 6.(2025·山东师大附中高一月考)如图， 在△ABC中，AB=2,AC=1,E,D分别是直 线AB,AC上的点，A正=2BE,CD=4AC,且 BD·CE=-2,则∠BAC= ,若P是线 段DE上的一个动点，则BP·CP的最小值 为 黑白题061 题组3向量与解三角形问题 7.#(2025·江西景德镇一中高一期中)如 图，在△ABC中，D为AB中点，P为CD上一 点，且满足AP=A衣+A (1)求t的值； 33 (2)若∠AC=3,△ABC的面积为33，求 1API的最小值 (3)若∠ACB=霄，CD=3,求△ABC面积的最 大值 视频讲解 题组4用向量法研究三角形的性质 8.**(多选)(2025·江西吉安高一月考)在等 腰△ABC中，已知AB=4,CA=CB=8,若H,W, G,I分别为△ABC的垂心、外心、重心和内心， 则下列四种说法正确的有 ( A.AH.BC=0 B.AW.BC=24 C.AG.BC=16 D.A7.BC=12 必修第二册·BS 9.(多选)(2025·江西景德镇 中高一期中)在三角形ABC所在平 视频讲解 面内，点P满足P=A(柜 AC ,其中 mlABI nlACI 入∈(0，+∞)，m,n∈R,m≠0，n≠0，则下列说 法正确的是 ( A.当mIABI=n|AC1时，直线AP一定经过三 角形ABC的重心 B.当m=n=1时，直线AP一定经过三角 形ABC的外心 C.当m=cosB,n=cosC时，直线AP一定经过 三角形ABC的垂心 D.当m=sinB,n=sinC时，直线AP一定经过 三角形ABC的内心 题组5向量与其他模块知识的综合 10.*(2025·辽宁沈阳高一月考)函数y= m(好)的部分图象如图所示，则(0i+ T 0B)·AB= A.-6B.14 C.3 D.6 11.*如图，单位圆M与数轴相切于原点O, 把数轴看成一个“皮尺”，对于任意一个正数 a,它对应正半轴上的点A,把线段OA按逆时 针方向缠绕到圆M上，点A对应单位圆上 点A',这样就得到一个以点M为顶点，以MO 为始边，经过逆时针旋转以MA'为终边的圆 心角a&,该角的弧度数为a.若扇形OMA'的面 积为石则0,0 2T 0 3456 黑白题062√AC+cD-2aC:C0cs120-18+95-3(5+6(km. 由正孩定理得，n2D0,即n∠C0-G0012心-号 CD AD AD 21 又0°<LCAD<60°，.LCAD=45°，于是从A到D的方位角的大小为 50°+30°+45°=125°. （2)由(1)知AD=35,km,:从A到D的距离为 2 3(反+w6km 2 黑题应用提优 1.C解析：因为∠CBD=45°，所以∠ACB=45°-15°=30°，在△ABC 中，由正孩定理可得5-0，解得BC=06-O,在 100 △BCD中，由正弦定理可得50(6-2)。50 sin /BDCsin45o,解得sinLBDC= √3-1，即sin(0+90)=√3-1，所以cos0=√3-1. 2.B解析：设竹竿与地面所成的角为a,影子长为xm由正弦定理得 60sin(120°-Q解得x= 2 3sin(120°-a). 又易知0°≤a≤90°，可得30°≤120°-a≤120°，即可知当120°-α= 90°，即a=30时，x有最大值为，2.即竹竿与地面所成的角是30°的 影子最长故选B. 3.A解折：连接，，在△S86中，S6=E1=R又∠E8,=号则 △S,5是正三角形，，6=R,由乙S弧，M=∠SE,M=得 ∠E,M=子，∠B,5M:径在△ME,B中，∠B,ME=,由正孩 3 定理得EM.Eo5,则EM= R6 ,在△SME1中，由余弦定理 2 sin- 2 5 /4.2R≈205R则最接近的是21R 4.3解析：在△ACD中，∠ACD=45°，∠ADC=67.5°，CD=23, .∠CAD=67.5°，则AC=CD=23. 在△BCE中，∠BEC=60°，∠BCE=75°，CE=√2，则∠CBE=45°.由正 i血45osim00,可得BC=CBsn60: 弦定理得CE BC 2x3 2 sin 450 -=3.在 ② 2 △ABC中，AC=2W3,BC=√3，∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°，由 余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos60°=9，因此AB=3千米. 5.解：(1)由题意作图如图①，则∠APC=∠PAC=45°，∠CBP=60°， PC PC ∠BAC=45°-15°=30°，AC=am∠PAC-30m,BC=tanZCBP AC BC 100√3m.由正弦定理 in∠ABC=sin∠BAG得sin LABC=3 ,∴.∠ABC=60°或120°，当∠ABC=60时，∠ACB=90°，猎豹与羚羊之 间的距离为AB=W√AC2+BC2=2003m,当∠ABC=120°时，∠ACB= 必修第二册·BS 30°=∠BAC,猎豹与羚羊之间的距离为AB=BC=100W5m. ① ⊙ (2)由题意作图如图②，设捕猎成功所需的最短时间为ts,在△ABQ 中，BQ=30,AQ=40t,AB=200V5m,LABQ=120°.由余弦定理得 1602=9002+(200)2-2x30×20×(-）整理得7- 603t-1200=0. 305 设f)=7-603t-120,显然0)<0f(7)<0,:猎豹能坚持 奔跑的最长时间为80=20(8)，且/(20)=2800-120w3-1200= 40 400(4-35)<0,∴.猎豹不能捕猎成功. 62平面向量在几何、物理中的应用举例 白题 基础过关 1.D解析：在△AC中，点D在BC边上且Bm=号C,则励： 应兮成-号花+号应，又=1，成1=2，∠4C=60,则 -√（兮号√g4号+。花.- 2 √41号1号用0的长度为3 2. 解析：如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则B(1,0), 14 c(3)设o成(3)，成=(5) 由c10知成成威.成×经（停）0，解 得t=35,即D(0,35),.Bi=(-1,33), 35x3 Bt.B励2+2 ..cos∠CBD= √2 Bt1.1Bi5.√28 一=14 文30 B (第2题) (第4题) 3.证明：因为AB=2AD=2CD,且四边形ABCD为直角梯形，所以E= 成：号破因为M为C中点，所以成：子（成+成=子（感 应)=2成，所以D成，英线，即D,M,B三点共线 4.C解析：如图所示，由题意知Ad1=1l=50m/s,所以AB1=21= 1005m/s故选C cos30°= 3 黑白题034 四重难点拨 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而 运动的叠加也用到向量的合成. (1)向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解 决向量问题，最后再获得物理结果. (2)用向量解决速度、加速度和位移等问题，用的知识主要是向量 的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解 5.C解析：因为A(-1,-2),B(1,1),所以AB=(2,3).又F=(4,3),故 力F对冰球所做的功W=1F1|AB1cos〈F,AB)=F·AB=2×4+3×3= 17.故选C. 6.D解析：由题意可得质点P位移为A=A店+B武+C,所以！A1= √/(AB+BC+CD)2= √ABi2+1BC2+1Ci2+2AB.B元+2B元.Ci+2AB.C 因为AB∥CD,AB=4,BC=2,CD=3,A店.B元=-2，所以A店.Ci=12. 设A店，BC的夹角为0，所以A店.B武=1A11BC1cos0=-2→cos0= 4因为AB/c0,所以成.市=成动i=0=2x3x(） 子所以=6 7.AC解析：设水的阻力为∫，绳索的拉力为F,F与水平方向的夹角 为8,0e(0,号)，则1P1ms0=f1,所以1P1=g因为0增 cos 0' 大，cos0减小，所以1F1增大，所以1F1sin0增大.因为1F1sin0加上 浮力等于船的重力，所以船的浮力减小.故选AC. 解析：依题意，10A1=10B1=4,1OA+01=7,则10i12+20i· 成+102=49，即16+20.成+16=9，解得0.应-7所以 0i.0i_17 coS∠AOB= 0A11032 黑题应用提优 1.C解析：5秒后点P的坐标为(-10,10)+(4×5，-3×5)=(10，-5). 2.C解析：设A京=AAB,AD⊥CF,.AD.C市=0.又D是CB边的中 点…市=子（花+…子（花+·(-）=0，（花 A)·(A-A心=0，.(A-1)A店.A花+A1A12-1A花12=0.AC= BC=1,∠ACB=90°，.AB=√+1下=V2,且LBAC=45°，.1AC12= 1,前=2，应.花=1，(A-1)+2-1=0,解得A=子亦- 3.D解析：设AC与BD交于点0，以0为坐标原点，AC,BD所在的直 线分别为x,y轴建立平面直角坐标系如图所示，则点A(√2,0)， 8o,)(号子)成(，子)威=（停）则 coS∠AEB= 成._25 1EA11E1253 4.AC解析：如图，因为1F,I=|F2I,所以平行四边形ABCD为菱形，故 R1o=号宁G,即R1=G。放A正确 2c02 根据向量加法的平行四边形法则得8越小越省力，0越大越费力，故 参考答案 B错误； 当=号时，LABD=子又AB=AD,所以△ABD为等边三角形，即 1FI=1G引，故C正确； 若0=T,则F,+F2=0,与F1+F2=G矛盾，所以0≠π，故D错误 G 5.25e1000J解析：因为1F1=50N,且F与小车的位移方向的夹角 为60°，所以F在小车位移上的投影向量为1F1·cos60°e=25e.又因 为力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移，所以力F做的 功W=P·5=1F1.1s1·c0s60°=50×40x)=10(J).故答案 2 为25e:1000J. 6.45解析：如图所示，以CD的中点O为坐标原点，AB所在的直线 为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，不 妨设C(-a,0),D(a,0),B(a+b,0),A(-a-b,0),P(x,y),因为 ∠CPD=90°，所以P元.Pi=(-a-x)(a-x)+(0-y)(0-y)=0,所以 x2+y2=a2.又由PA2+PB2=8,所以(-a-b-x)2+(0-y)2+(a+b-x)2+ (0-y)2=8,整理得(a+b)2+a2=4.又由1AB1+1C1=2(a+b)+2a= 2[(a+b)+a]≤2×2/ a+b+d=42,当且仅当a+b=a,即6=0 2 时取等号，所以1A1+1C1的最大值为42，即AB+CD的最大值 为42. 7解：根据题意易知0亦-o=l6+e,1·,e:(e1+e),d- 00。=l3e1+22l·3e,+2e2 3e1+2e2 =t(3e1+2e2),两式相减得Pd-PoQ。= t(2e1+e2).由PoQ=(-1,-3),e1=(1,0),e2=(0,1),得P币=PoQ+ t(2e1+e2)=(-1+2t,-3+t).因为P1PoQ,所以P0·PoQ=-1× (-1+2)-3x(-3+t)=0,解得t=28故当P⊥PoQ时，所需的时间t 为28. 压轴挑战 D解析：如图，设E,F分别为AC,BD的中点，则B武=E式-E,A店=花+ E克=E元+E克，所以B武2=1E式12+1E克12-2E元.E克，1A店12=1E元2+ 1E12+2E武.E克，两式相加得1B武12+1A店12=21E武12+21E店12= 212+分d①， 同理可得12+112=21动2+A2②， 由①+②得1A店12+1B武12+1Ci12+1A心12=2(1E克12+1E2)+ 1At12③， 因为F为BD的中点，所以2E市=E弦+E励，则41E12=1E克12+1E动12+ 2E成.Ei④， 而B励=E-E成，则1Bi12=1E12+1E12-2E动.E成⑤， 由④+⑤得1Bi12+41E12=2(1E第12+1E12)⑥， 由③⑥可得1AB12+1B元12+1C12+1Ad12=1B励12+1A乙12+41E12,即 黑白题035 AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4 EF2 又因为AB2+BC2+CD2+DA=AC2+BD2,所以EF=0,所以E,F两点重 合，所以AC,BD互相平分，所以四边形ABCD为平行四边形，则AC= AB+AD. 故1A心12=1A2+1A12+2A店.A市，即36=9+16+2A店.A,所以 2Ai.Ai=11. 因为励=市-成，所以1B12=14市12+1A店12-2A市.A店=16+9-11= 14,所以1B1=14,即BD=√14. 专题探究1平面向量的综合应用 黑题专题强化 1.D解析：如图，分别取BD,AE的中点G,N,连接GW交EF于H, D,E分别是CB,CA的中点，.DE∥AB∥GN :D成=成+kD成=D心+kD成kD成=D成-D心=成，则M在线 段HN(不含端点)上 ·GW=DE+AB.3 2 F=1 =4 AB,HN=1 8 AB,.CH=GN-HN=5 侧耐诚d动：诚+成成+成同理成成 ()月 、h D A/ （第1题) (第2题) 2.ABD解析：如图，因为P是边BC上一点（不含端点），A市=aAB+ bA,所以a=1,0<b<1.由A0=bAB+aA得，Q落在CD上，故A 选项正确； 衣子(+=(+动-生花，其中子”<1，所以 落在AC上，故B选项正确； A=0.9A+bA,当0.9<b<1时，显然R会落在△ACD内，故C 选项错误； 因为1C1=(1-b)1B元1,1C1=(1-b)1C1,设平行四边形ABCD中 BC边上的高为h1,DC边上的高为h,所以SaAc=2(1-b)· 成x动，SAe=之(1-6)1市1x又因为11x=11× h2=SGABCD,所以S△APc=S△AOc,故D选项正确. 3A解折：若D是4C的中点，则励（团+威，放（威+配）· A元=2B励.A元=0，所以BD⊥AC,显然△ABC为等腰三角形，即BA= BC.由 可得csA=子又0<A<m,故A=号，故△ABC为等边三角形， 4.C解析：由 庙++威=4。绿路威：-2因 (1A1+D元1)·B励1=4， 18i=2. 必修第二册·BS 为A市.B励=B励·D元=0，所以A应⊥励，B励⊥D元结合图象可得A与 D心方向相同，所以1A1+1D心1=1A店+D心1，所以（店+D心）·A花= IAB+DCI IACI COsL CAB=IAB+DC12=4. 5.D解析：如图，过0，P作直径EF,依题意，Pi.P心=-1P11P心1= -PP21=-(10凉1+101)(10成1-101)=-(10凉2- 1012)=-2,为定值，A正确； 若AC1BD,则P.C=A.Pi=0,则A店.C=(A+P市)·(C+ p)=A市.C亦+pi.C+市.Pi+P鹂.P币，又Pi.P元=-2，则. C=-2,同理可得P.P币=-2，故A店.C=-4,B正确 若M为AC中点，连接OM,则Oi·O元= (oM+M·(0成城+M心)=07+0成i.(Mi+ M元)+i.M元=0-(4-0办)=20办-4， 0 由题意0≤07≤0=2，则0i.0心∈[-4， 0],C正确； 因为1AC1≤4,1BD1≤4，则有1A心·1B励≤ 16,D错误. 6号头解折正2底，市：4花店2应访5花 :B币.C应=-2，(A市-A)·(A应-A心)=(5A花-A)·(2A应 A花)=11A.A花-5A花-2A=11×2×1×cos LBAC-5×1-2× 4=2m∠BMC-13=-2,解得m∠BAC=分∠BACe0,). ∠BMC= 设成=A励，Ae[0,1,驴.本=（眩+）·(C+D)= [应应商]·[导1-感动]-（仔） (1-+(a写)迹+(002)市.应=16（号 小1-A+25(A-写）+(0Ab22）k5x4as号-2a2 12以+7=21（员）广+头当A=时，励.亦有最小值。 为 四易错提醒 转化为函数问题后，要先写出函数的定义域，再讨论取值范围，否则 容易出错。 7.解：(1)在△ABC中，D为AB中点，则C,P,D三点共线，设D币= mD元，.A-A市=m(A花-A市)， 故=m花+(1-m)市=m花之(1-m应，又市-花+}应，故 行1m-子解得m子分 (m=t, (2)由(1)知本}花号店-应=（兮花+兮应） 号（恋++2花.）=号（花2+前2+2花1· LBAC)≥g(21A花1·M1+21A.Mcos∠BAC),当且仅 当A心1=A1时取等号. 又5ac则宁花庙m∠ac=9即宁成1 m号-5d=6,做(2x62x 6m号)-21≥万，即1亦的最小值为2，当且仅当 黑白题036