第2章 专题探究4 含参函数单调性分类讨论-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈(5,10]时，g'(x)<0, g(x)单调递减故当x=5时，g(x)取得最大值，也即当利润 最大时，每年需种植莲藕5万千克 3.B解析：设A,B在抛物线上，若A(x,6x-x2),x∈(0,3)，则 点B的坐标为(6-x,6x-x2),所以矩形ABCD的面积可表示 为S(x)=(6-2x)（6x-x2),x∈(0,3)，则S'(x)=-2(6x- x2)+(6-2x)2=6x2-36x+36,令S'(x)=0,解得x=3-√3或 x=3+3(舍去)，可得S(x)在(0,3-√3)上单调递增，在 (3-√3,3)上单调递减，所以矩形的最大面积为S(3-√3)= 23×6=123. 4.B解析：如图，连接OE,OP4,OP,与DE交于点M.设OE=a, 则DE=a,0M= 2,P,M=23-3 a.设正六棱锥P-ABCDEF 的病为A周=vPr-0m-(25-(月) √2-6a(0<a<2),所以正六棱锥P-ABCDEF的体积V= 6xk=1-327令a)加2a 1 2 a5,求导得f'(a)=8a3-5a,由f'(a)=0,得a= 5,当ae (o,弩)时o)>0,当ae(；2时fa)<0,则当 a=时@)取得极大值，也是最大值，此时V的最大值为 364 2*25×/12-6 8_192w5 5125 P P 5.② 解析：设OC=x,修建CB的单位长度费用为a,修建总 费用为y,则y=a(10-x)+3a√1+x2=a(10-x+3√1+x2), 令x)=10-x+3V+(0<<10),则f'(x)=-1+3x /1+x -1+ 3 所以当0<时(<0，当<10时。 1 f'(x)>0,所以当x= 时)取得最小值，则y取程取 小值. 6.4+7 解析：由题知，以A为原点，建立平面直角坐标系，如 图，则M(0,1),N(3,4),设曲线MN所在抛物线的方程为 6商低年为寸u请线y所在起 l9a+b=4. b=1, 物线的方程为y=+1.令矩形B0PR面积为S,当A0≥3 时，S≤1×4=4，当0<AQ<3时，设AQ=x(0<x<3),则Px, 号小.所以s=(40(兮1)写+字-4。 参考答案 3<t 在 4-74+7 3’3 上单调递增，令s”<0,则<4-7 3 或4+7 ,$在 叉0<x<3,s(0)=4,84+7=344+147 81 ->4,所以当AQ的 长为4+7时，该矩形面积最大 3 ty B 压轴挑战 3520π4解析：设原来定海神针长为acm,1秒时神针体积 为V(t),则V(t)=π(12-t)2·(a+20),0≤t≤8，则V'(t)= [2(t-12)·(a+20r)+20(12-t)2].当底面半径为10cm时 其体积最大，∴.10=12-t,解得t=2,此时V"(2)=0,解得a=60, ∴.V(t)=m(12-t)2·(60+20),0≤t≤8，(t)=60m(12-t)· (2-t),当t∈(0,2)时，V'(t)>0,当t∈(2,8)时，V'(t)<0 .V(t)在(0,2)上单调递增，在(2,8)上单调递减.V(0)= 8640m,V(8)=3520m,.当t=8时，V(t)有最小值，最小值为 3520m,此时金箍棒的底面半径为4cm.故答案为3520m;4. 专题探究4含参函数单调性分类讨论 黑题 专题强化 1.解：(1)直线x-y+1=0的斜率为1，故切线斜率为-1， f'(x)=2ae*+l,.f'(0)=2a+1=-1,.a=-1. (2)f'(x)=2ae+1,当a≥0时f'(x)>0,f代x)在R上为 增福数当0时，(e=0-h(）,>0, 得h(分）：令0<0.得oh(左）)在 (,()）上为暗函数在((a)+） 上为减函数 2解：)当a=1时0=-7+20所以W( 3x-7+2-3-7x+2-3-l(x-2）.由f'()>0→ {80-2>00<写或o2:r'e)<0-}2 x>0 所以函数)在(0，兮)和(2，+)上单调递增，在 (兮2）)上单调递减所以当x=号时，函数取得极大值，且 f(）=-23：当x=2时，数取得极小值，且 f(2)=-8+2ln2. 3 (2)当a>0时，fx)=2a2-(6a+1)x+2hx,x>0,所以 f'(x)=3a-(6a+1）+2=3ar2-(6a+1)x+2 (3ax-1)(x-2）.当0<a<时，由f'(x)>0→0<x<2或x> 6 黑白题45 动()<02<名所以函数在(0,2)和（品 1 +)上单调运增，在(2，名)上单洞递减当。=石时。 '(-2)'≥0在(0.+0)上恒成立，所以雨数在 2x 0,+∞)上单调递增.当a>。时，由f'()>0→0<K3 o2:/(0→<2所以函数到在(0，)和 1 (2,+)止单润递塔，在（品2上单润递诚 3.解：(1)函数fx)=-aln(x+1)的定义域为[0，+o),当 a时w)恤(+)，则产e20归 1+ln2,f'(1)=1,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程 为y-(1+ln2)=x-1,即y=x+ln2. (2)函数f代x)的定义域为[0，+∞)，f'(x)= I a 2Rx+1 x-2aE+1_(c-a）-a2+1 2x+1)22(+1),>0.①当a≤1时，因为x>0. 所以f'(x)≥0，所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增.②当 a>1时，令f'(x)=0,则x=(a±√a2-1).当x> (a+√a2-1)或0<x<(a-√a2-1)时，f'(x)>0.当 (a-√a2-I)<x<(a+√a2-1)时，f'(x)<0.所以函数 f(x)在[0，(a-√a2-1))和((a+√a2-1),+o)上单调递 增，在((a-√a2-1),(a+√a2-1))上单调递减. 综上所述，当a≤1时，函数f(x)在[0，+∞)上单调递增；当 a>1时，函数f(x)在[0，(a-a2-1))和(a+√a-1), +o)上单调递增，在(a-√a2-1),(a+√a2-1))上单调 递减. 4.解：(1)求导得/'(x)=(2a-2)nx+-2-a+2=2(ax 1)lnx.由题意得f'(e)=2(ae-1)=-2,所以a=0. (2)f(x)的定义域为(0，+∞). 当a≤0时，令f'(x)>0,解得0<x<1,此时f(x)在(0,1)上单 调递增，令f'(x)<0,解得x>1,此时f(x)在(1，+∞)上单调 递减. 当a>0时，令f'(x)=0,解得x=1或1 ①当0<二<1，即a>1时，令f'(x)>0,解得0<x<一或x>1, 令f"()<0,解得<1，此时)在(0，)和(1，+) a 上单调递指，在（仁1）上单调通减： ②当=1，即a=1时”()≥0在(0，+0)上恒成立，所 以f(x)在(0，+∞)上单调递增： 1 ③当1>1，即0<a<1时，令f'(x)>0,解得0<<1或x> 令'(x)<0,解得1<<，此时f)在(0,1)和（日，+s） 上单调递增，在(1，)上单调递诚 综上，当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单 调道减：当0<1时)在(0,1)和(，+）上单测通 选择性必修第二册·BS 增，在(1，。)上单调递减；当a=1时x)在(0，+)上单 调递增：当a心1时)在(0，)和(1，+)上单调递增。 在（日，1）上单调递诚 专题探究5导数与不等式、零点的综合应用 黑题 专题强化 1.(1)解：f(-x)=-x(e+1)-e+1=-e(x+1)+1-x= t)+1-x)e-二[x(e+1）-e+=-,因此 f-x)+ef(x)=0. (2)证明：f'(x)=e+1+xe-e=1+xe,当x>0时，f'(x)>0. 即f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0,又e 1>0,所以(e-1)f(x)>0,当x=0时，fx)=0,故(e*-1)· f(x)=0,当x<0时，则-x>0,所以f(-x)>0,由(1)， f(-x)=-efx)>0,所以f(x)<0,又此时e-1<0,所以(e 1)fx)>0.综上，(e-1)fx)≥0. 2.(1)解：易知函数f代x)= n的定义域为(0.1)U(1, +∞)，且f'(x)=n=4,令f'(x)=0 (In x)6 可得x=e3.可知当x∈(0,1)时f'(x)<0,即fx)在(0,1)上 单调递减；当xe(1,e3)时，f'(x)<0,即fx)在(1，e3)上单 调递减；当x∈(e3,+o)时，∫'(x)>0,即f(x)在(e3,+o)上 单调递增，故f(x)在x=e3处取得极小值，极小值为f(e3)= 27,无极大值 (2)证明：当x∈(0,1)时，有27e4>0>(lnx)3恒成立.当x> 1时，构造函数g(x)=e-1-x,则g'(x)=e-1>0,故g(x) 在(1，+o)上单调递增，于是g(x)>g(1)=0,即e1>x, ,由1)可知h≥分数马≥h 则27e427 e 27 故27e-4>(lnx)3.综上所述，当x∈(0,1)U(1,+o) 时，27e4>(lnx)3 3.解：(1)函数x)=e+3f'(1)+1,则/"()=e+ 号(1()=1+号)，解得f'()-3,所以y f(x)的解析式为f(x)=e-l+x2+1. (2)F(x)=f(x)-(x2+x+m)=e-1-x+1-m,-1≤x≤2，则 F'(x)=e-1,由F'(x)<0,得-1≤x<1:由F(x)>0,得1< x≤2，故函数f(x)在[-1,1)上单调递减，在(1,2]上单调递 增，当x=1时，f代x)取得最小值，要使F(x)在[-1,2]内有两 (F(-1)≥0，(e2+1+1-m≥0， 个零点，当且仅当{F(1)<0,即1-1+1-m<0,解得 F(2)≥0. (e-2+1-m≥0. 1<m≤e-1,所以实数m的取值范围为(1，e-1]. 4.()解：当a-1时x)=-n(x+1)-+,则(x) 1,故r0=分1*1=分又1)=h2 1=-山2+故y=)在点(1心1)处的切线方程为， (x-10-n2+分即y=7h2*1 (2)证明)的定义域为(a,+)f"()=品。+1 a-2+ax+x-a-x(x-a-）,由于-1<a<0,故0<a+1<1,当 x-a x-a 黑白题46专题探究4含参函数单调性分类讨论 电子错题本 黑题 专题强化 限时：50min 1.*(2025·福建泉州高二月考)已知函数2.*(2025·安徽合肥高二月考)已知函数 f(x)=2ae'+x(a∈R) fx)=3ae2-(6a+1)x+2nx(a∈R)为 (1)若函数f(x)的图象在(0，f(0))处的切线 与直线x-y+1=0垂直，求a的值； (1)当a=1时，求函数f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)的单调性 (2)当a>0时，讨论函数f(x)的单调性. 、视频讲 第二章黑白题69 3.装(2025·江苏南京高二期中)已知函数4.(2025·江西南昌高二期末)已知函数 f(x)=Jx-aln(x+1). 1 Rx)-(ax'-2x)Inx-a+2x,aER. (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在x=1处的 切线方程； (1)若曲线f(x)在点(e,f(e)处的切线斜率 (2)讨论f(x)的单调性， 为-2，求a; (2)讨论f(x)的单调性. 视频讲 选择性必修第二册·BS黑白题70