第2章 5 从力的做功到向量的数量积-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

[0,5): ③当x∈(4,5]时，m=5-x,n=√3，所以f(x)=(5-x)2-(5-x)=x2- 9x+20∈ [4] 综上)e【45]放c正确：且)在区间[02]上单调递 减，在区间（，2]上单调道增，在区间（么.]上单调减，在区间 (}5]小上单调造增，其4个单调区间.故D错误 §5 阶段综合 黑题阶段强化 1.C解析：由题意可知n=-m,由(q-m)1(q-n)得出(9-m)⊥ (9+m),(9-m）·(9+m)=0,即g2=m2,因此，1q1=1m1= 32+02=3.故选C. 2.B解析：因为a·(a-b)=0,所以a2-a·b=0,即la12=a·b①.又 因为1a-b1=31al,所以(a-b)2=31a2,即a2-2a·b+b2=31a2, 将0代入得b1=21a1,设a与b夹角为0，所以s0=0b 1a2=.因为0°≤0≤180，所以0=609 1a1x21al-2 四重难点拨 求向量的模或利用向量的模求参数时，多采用将模平方的操作，利 用a2=1a12实现向量运算与实数运算的转化. 3.C解析：因为10i=5,10=25,且0.0的夹角为号，所以应 在成上的投影向量为：.市-（成-），成 1012 0i= 10212 10成12-0.0成.0成= 252-525三.0成=0成 10B12 (23)2 4.D解析：成=市-花=成-花成=+成=+子成=+ 子（配-=号花侧市.店=(}应-花）·(}应 子花)石+成.花号店.花-号2=石x2 子-a故运n 5.ABC解析：取BC中点为0，连接OA,以O为原点，分别以OC,OA所 在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系，如图。 y 则B(-2,0),C(2,0),P(x,y),B=(x+2,y),BC=(4,0),因为 AB=AC=22,所以两圆的半径均为2，圆心分别是(-1,1)和(1,1)， 所以-√2-1≤x≤1+2，所以B.B元=4x+8∈[4-42,12+42]，所 以B成.B元的值可能是1,4,8. 6.A解析：设a与b的夹角为0，x1·y1+x2·2+x3·y3+x4·y4有以 下3种可能： ①2a2+2b2=21a12+21b12=101a12:②4a·b=41a1×2|a1cos0= 81a12cos0:③a2+b2+2a·b=51al2+41al2cos0. 易知2最小.则81a12cs0=431a12,解得s0= 2,由0e[0,r] 得0= 参考答案 7.AC解折：对于A,a·b=0,所以a1b,所以0=牙，所以a*b= 1al川b|sin0=2×√2×1=2，故A正确： 对于B,因为sin0≤1，所以a*b=|al1 bIsin0≤1a11b1,故B错误： 对于C,若a*b=0,则sin0=0,所以0=0或0=T,所以a∥b,故 C正确： 对于D,若c=-b,则a*(b+c)=0,a*b+a*(-b)=1al1b1sin0+ lallb1sin(π-0)=2|alIb|sin0,故D错误. 8.AC解析：对于A,将0P绕原点0旋转-30°，30°，60°到0P,0P 0P的位置，则0P与0P的夹角为90°，0P·0P=0,故A正确； 对于B,因为∠POP=∠POP2,1OP1I=IOP2I,可得△POP≌ △POP2,则IPP1I=IPP2I,故B错误； 对于C,因为0,0P3》=(0P,0P)=60°，101=10P1=10P1= 10P1=√5，故由向量数量积的定义，可得0币.0P=0P.0p= 乏故C正确： 对于D,若点P1坐标为 -11+25）,则10丽1= 21 2 /17+23 ≠5=101，故D错误. 2 2 9.B解析：因为单位向量a,b所以由a-2b≤ab平方得1+ ab≤1n+2ab=r2+2a-bab-=0 1 又因为对任意的4∈R,上式关于从的一元二次不等式恒成立，则满 足4=4(a·b)2-4a·b+1≤0=(2a·b-1)2≤0. 此时只能满足a·b=?,即a·b=cs(a,b)=7,因为(a,b)e 1 [0,m],所以(a,b)=3 10.5解析：因为a=(1,2),b=(-1,0),则a+入b=(1-入，2).又a1 (a+入b),所以a·(a+λb)=1-入+4=0，解得入=5. 11.√7解析：由12a-b1=7,可得12a-b12=4a2-4a·b+b2=7,即 41a12-4a·b+1b12=7.又由1a+b1=13a-b1,可得|a+b12=13a- b12,即(a+b)2=(3a-b)2,整理得a2+2a·b+b2=9a2-6a·b+b2, 即a2-a·b=0,即1a2=a·b,联立方程组 41a2-4a·b+b12=7,可得1b12=7,所以b1=7. lal2=a·b, 12.(1)证明：由A(0,0),B(1,2),D(4,-2),则A店=(1,2)，A⑦= (4,-2).又AB.Ai=1×4+2×(-2)=0,即AB⊥Ad,则AB⊥AD. (2)解：AB⊥AD,四边形ABCD为矩形，.D元=AB. 设点C坐标为(x,).则店=(1,2)，D元=(x-4,+2){+2=2, x-4=1, 解得二5故点C坐标为(5,0). (y=0, 由于A元=(5,0)，B=(3,-4),故A元.B=15+0=15. 又1=5.励=5，设花与动的夹角为9，则s9=衣.励 IACIIBDI 153 255 13.解：(1)因为=4，-成，武=2成，则-永-应=成 }市①.成-动成-子+}店@， 由0x3+②，可得（兮）店=3萨+成，化简即得店-1+ 又由×兮②x可得（令）访成，化简即 黑白题029 得ò：+威 (2)由(1)可知，成=成4成-市+}应 侧.成+心.成=破.(}孩}动）小+成.( 号应）迹+亦+访.市=子前2+子动2+ 诚 因为∠BAD=60°，AB=AD=2,则A店·Ad=1A21IAd1c0s∠BAD=2, 则2前+子2破.市*2+×2×2 故.市成 (3)由题可知P=P序+Fi,P=P+F=P序-，则P.P=(P+ F)·(P序-F=P衣-F=1P2-1. 由图可知，当P与F重合时，P1=0,此时P·P取得最小值 为-1， 当P与C重合时，P序最大，P.P取得最大值 D G 如图，连接CF,则C求=B亦-B元，所以1CP=1B尿-B元2=B+ B-21B1·1Bd1·cos(B求，BC)=12+22-2×1×2×cos120°=7，所 以P.P的最大值为7-1=6，故P.P的取值范围为[-1,6]. 压轴挑战 ABC解析：因为AB⊥AC,∠ABC=30°，AC=1,则有AB=√3，BC=2.又 因为D是BC的中点，E是以B为圆心，BD为半径的圆上任意一点，则 得AD=BD=BE=1. 因为动子(+衣，花=+成，则市.花=(+花)·（破+ 成)=号（恋+访·成+花.应+花，应）=[3+(+)· 成=子+市成， 由题图知，当A与成同方向时，A.B成取得最大值1，当A与成反方 向时，而，成取得最小值-1，故了≤市.正≤，放符合题意的 有ABC. §6平面向量的应用 6.1余弦定理与正弦定理 第1课时余弦定理 白题 基础过关 1.BCD解析：在三角形中，已知两边及其中一边的对角，可用余弦定 理列出第三边的方程，解方程得第三边，A错误：余弦定理反映了任 意三角形中边角的关系，它适用于任意三角形，B正确：余弦定理可 以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第三边的问题，C正 确：当夹角为90°时，余弦定理就变成了勾股定理，D正确.故选BCD. 2.D解析：由余弦定理可得a2=2+c2-2 A=16+9-2x4x3×2 13,所以a=√13 3.AD解析：在△ABC中，A=30°，a=1,c=√3，由余弦定理a2= 6t-2hsA得1=+3-26x3×5,即62-36+2=0，解得6=1或 2 b=2,所以b的值可能是1或2. 4.√7解析：由题意得a+b=5,ab=6.又已知C=60°，则由余弦定理 必修第二册·BS c2=a2+62-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab 25-18=7 以c=√7. 5.C解析：由题设(a+c)2-b2=ac,则a2+c2-b2=-ac,所以cosB a2+c2-b2 2 .又0<B<180°，可得B=120 2ac 6.D解析：因为a:b:c=√2：3：2，设a=√2t,则b=√3t,c=2t,所 以csC=0+62-e2.2r2+32-46 2ab2x√2x3112 7.C解析：设三角形为△ABC,且b=2,c=3,a=x,由三角形的几何性 质c-b<a<c+b,可得1<x<5,因为三角形是锐角三角形，c>b,所以只需 b2+c2-a 要A,C为锐角，则cosA= ->0,即13-x2>0,解得0<x< 2be V13;csC=2+b2-c2 0,即x2-5>0.解得x>√5.综上可得，5<x< 2ab 13,即a的取值范围为(5,13). 四方法总结 在三角形中，由余弦定理可得，c0sA与62+c2-a2符号相同，所以可 以根据b2+c2-a2的正负情况，判断角A是锐角、直角或钝角. 8.品解析：因为△ABC的面积Sh,=了0，=he则a:6 240 5:4,b:c=6:5,故a:b:c=15:12:10,显然A为最大角，不妨 设c=10k(>0),则a=15k,b=12k,由余弦定理得csA=+2一-2 2bc 144k2+100k2-225k219 240k2 240 9.A解析：在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2 accos B=a2+c2- 0,因为6+e=a,可得6= 1 4 3a-c,代入上式，整理得a2-3c, 即a=3c,所以b=3c,所以a=b=3c,所以△ABC为等腰三角形. 10.B解析：由余弦定理得4e2+a2=b2=a2+c2-2 accos B,化简得 3c2=-2 aceos B>0,故cosB<0,从而△ABC的形状为钝角三角形. 11.直角三角形解析：由余弦定理得csA=+2-。 2c,则6=c· +e2-a,所以c2=a2+,由此知△ABC为直角三角形， 黑题 应用提优 1.B解析：由C +久=l,得e+c+a+6 =1,得a2=b2+c2-bc,由余弦 a+b a+c (a+b)(a+c) 定理得a2=b+2-2 becos A,心cosA7,A】B+C幻故选卫 2.C解桥：在△A6C中，由余弦定理得。-m整理 得cosA=cosC,而A,C∈(0，π)，函数y=cosx在(0，T)上单调递减， 因此A=C,所以△ABC是等腰三角形. 3.C解析：连接AB,根据题意A,B分别是MS,NS的中点，所以 MN=2AB,在△AOB中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA· 0B·c0∠A0B=3+4-2xV3×2x3 =1,所以AB=1,MN=2AB=2. 2 √3 4B解析：由题意得Sac=csnB=号ac=3,所以ac=4, Z+c2=12,所以b2=a2+c2-2acc0sB=12-2×4×2=8,解得b=22或 b=-22(舍去). 5.AC解析：对于A,由4+<2，可以得出sC=+2-c<0,C 2ab T )放A正确：对手B,由b2得csC=a+62c二2-)得 2ab 2ab 0<C<,故B错误：对于C,假设C≥7，则c>a,c>b,msC= a2+b2-c -≤0，∴c2≥a2+b2,即c3≥ca2+cb2>a3+b3,与a3+b3=c3矛 2ab 盾，心C<),故C正确：对于D,取a=6=c=2,满足a+h=2,此时C② 黑白题030§5阶段综合 子错题本 黑题 阶段强化 限时：45min 1.*(2024·江西抚州高一期中)已知向 BP.BC的值可能是 量m=(3,0),n=(-3,0),(q-m)⊥(q-n), 则1ql为 ( A.7 B.5 C.3 D.1 A.4 B.1 2.*(2025·江西南昌高一期中)非零向量a, C.8 D.18 b满足：la-b1=31al,a·(a-b)=0,则a与 6.**(2025·安徽芜湖高一期中)设a,b为非 b夹角的大小为 ( 零向量，1b1=2|a1,两组向量x1,x2,x3,x4和 A.30° B.60° y1y2y3y4均由2个a和2个b排列而成，若 C.90 D.120° 七1·y,+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值 3.*(2025·湖南邵阳高一期中)已知1OA1= 中的最小值为4√3Ia12,则a与b夹角的大 5,101=23,且0i,0丽的夹角为智，则店 小为 在OB上的投影向量为 B. A. B. 330丽 2T C. D.Sm 6 0.o 7.*(多选)(2025·江苏徐州高一期中)设非 零向量a,b的夹角为0，定义运算a*b= 4.*如图，△ABC中，AB=2,AC=1,D为AB |a|Ib1sin0.下列说法正确的是 的中点，BE=2EC,则CD·AE= A.若a=(1,1),b=(-1,1),则a*b=2 B.a*b≥lallb1 C.若a*b=0,则a∥b D.a*(b+c)=a*b+a*c 8.**(多选)(2025·陕西安康高一月考)已知 A.2 B.-1 向量0P=(1,2),将0P绕原点0旋转-30°， C.-2 D.0 5.*（多选)(2025·河南濮阳高一期中)对称 30°，60到0P1,0P,0P的位置，则() 性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对 A.OP,·OP3=0 称、中心对称都能给人以美感，已知△ABC是 B.IPP,I>IPP,I 以BC为斜边的等腰直角三角形，BC=4,分别 C.0p.0P=0P·0P 以AB,AC为直径作两个半圆，得到如图所示 的几何图形，P是两个半圆弧上的动点，则 D.点乃坐标为(31,123 2,2 第二章黑白题049 9.*(2025·辽宁大连高一期中)已知单位向13.整(2025·陕西西安高一期中)如图，在菱 1 量a,b,若对任意的w∈R,a-b≤a+b 形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2,AD=4AE, 恒成立，则(a,b〉= AF=Fi,G元=2DG A. (1)用EF,EG表示AB,AD: 6 6.3 (2)求AB·EF+AD·EG: c日 (3)若P是菱形ABCD内（含边界）一动点， 10.*(2025·江西上饶高一期中)若向量a= 求PA·PB的取值范围. (1,2),b=(-1,0),且a⊥(a+b),则 入= 11.**(2025·江西萍乡高一期中)已知向量 a,b满足12a-b1=√7,1a+b1=13a-b1,则 Ibl= 12.#(2025·广东揭阳高一月考)已知三个 点A(0,0),B(1,2),D(4,-2). (1)求证：AB⊥AD: (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐 标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐 角的余弦值。 压轴挑战 林（多选）(2025·江西萍乡高一期中)如图， 在△ABC中，AB⊥AC,∠ABC=30°，AC=1,D是 BC的中点，E是以B为圆心，BD为半径的圆上 任意一点，则AD·AE的值可能为 5 A. B.1 C. D.3 必修第二册·BS黑白题050