第2章 3-5 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

§3-§5 黑题 阶段强化 1.(2025·吉林长春高二月考)一质点做直 1,3_52+4, 线运动，经过t秒后的位移为s= 2 则速度为零的时刻是 A.1秒末 B.4秒末 C.1秒与4秒末 D.0秒与4秒末 2.*(2025·辽宁辽阳高二期末)衡量曲线弯 曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义 如下：若f'(x)是f(x)的导函数，∫"(x)是 f'(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x, f(x)处的曲率K=一 If"(x)I 曲 (1+(f'(x)2) 线y=e2x-sinx在点(0，f(0)处的曲率为 ( 45 N.25 B.2 D.2 3.**(2025·山东济南高二月考)丹麦数学家 琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨 人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留 下了很多宝贵的成果，设函数f(x)在(a,b)上 的导函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导函数 为f"(x),若在(a,b)上f"(x)<0恒成立，则 称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”，以下四个 函数在(0，)上不是“凸函数”的是() A.f(x)=sin x+cos x B.f(x)=In x-2x C.f(x)=-x3+2x-1 D.f(x)=-xe* 第二章 阶段综合 电子错题本 限时：50min 4.*(2025·山东济宁高二月考)已知点P在 曲线y=43 ，日为曲线在点P处的切线的 e*+1 倾斜角，则0的取值范围是 A.(0.] B.[3) ) 5.#(多选)(2025·河北承德高二期末)已知 函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R, 且f八x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数， f'(0)=2,则 A.f(0)+f-2)=0 B.f'(-x+1)=-f'(x-3) C.f'(6)=2 D.f'(2004)=-2 6.**已知函数f(x)=（x-1)(x-2)(x-3)(x- 4),则f'(1)= 7.整(2025·北京东城1 y=f(x) fo) 区高二期中)如图，设r 是方程f(x)=0的根，选 fx） 取xo作为r初始近似 0 f 值.过点(xof(x)作曲 线y=f(x)的切线，切线方程为l1,当f'(xo)≠ 0时，称l,与x轴的交点的横坐标为r的1次 近似值；过点(x1f(x,))作曲线y=f(x)的切 线，切线方程为12，当f'(x)≠0时，称l2与x 轴的交点的横坐标为r的2次近似值：重复以 上过程，得到r的近似值序列{x,.当 f'(xn)≠0，n∈N*时，r的(n+1)次近似值 x+1与n次近似值xn的关系为x1= 若取x。=2作为r的初始近似值，根据上述方 法，√3的2次近似值为 (用分数表示) 黑白题49 8.**(2025·江苏无锡高二期中)设函数 压轴挑战∥ )=a兰，若自线y=)在点22)处 禁(2025·江西抚州高二月考)已知函数y= F(x)的定义域为I,区间[a,b]是I的子集，若 的切线方程为5x-4y-4=0. y=F(x)的图象上存在两点A(a,F(a), (1)求f(x)的解析式； B(b,F(b)),使直线AB恰好是曲线y=F(x)的 (2)求证：在曲线y=f(x)上任意一点处的切 一条切线，且A,B为切点，记直线AB的方程为 线与直线x=0和y=x所围成的三角形面 y=G(x),如果Hx∈[a,b]都有F(x)≥G(x), 积为定值，并求出此定值. 则称函数y=F(x)是“桥函数”，称A,B两点为 “桥墩” （1)若A(7,-1),B(，-1）,试说明函数 y=sinx能否是以A,B两点为“桥墩”的“桥 函数”？ (2)判断函数f(x)=1-x2与g(x)=x+sinx是 不是“桥函数”？并说明你的理由 9.#(2025·湖北恩施高二期末)已知曲线 C1:f(x)=e*+e,曲线C2:g(x)=e*-e,直线 x=a与曲线C,C2分别交于A,B两点，曲线 C,在点A处的切线为L,曲线C,在点B处的 切线为l2,设直线l与l,的交点为P (1)若∠APB为直角，求实数a的值； (2)求点P到直线x=a的距离. 选择性必修第二册·BS黑白题50黑题应用提优 1.B解析：由题意有y=12sn(子-受）=-12s子，所以 Y=12× 4sin4t=3msin44,当i=2s时，y= 3m(年x2）mm号=3 2 "(1)=3,所求切线方程 2x+1 2.A解析：f1)=0f'(x)= 为y=3x-3. 3.D解析：依题意，g(x)=e(ax2+bx+c),求导得g(x)= -e*(ax2+bx+c)+e*(2ax+b)=-e*[ax2-(2a-b)x+c-b], 察g'(x)的图象，得g'(0)=-(c-b)=0,即b=c,g'(x)的另 一个零点为20-b=2-b>1,即6<1，所以有6<1，b=心 4.C解析：因为f(x2+1)=f2(x)+f(1)+x2,且f(1)=1,令 x=1,得f(2)=f2(1)+f2(1)+1=3.对f(x2+1)=f2(x)+ f(1)+x2两边同时求导，得2xf'(x2+1)=2f'(x)f(x)+2x, 即f'(x2+1)=f'(x)f(x)+x.令x=1,得f'(2)=f'(1)· 10+11号令=2，得f(5到=2n2+2=× 32=号故()=号 5.C解析：设直线与曲线y=ln(2x)的切点为(x1,ln(2x,)且 x,>0,与曲线y=-n(-2x)的切点为(x2,-n(-2x2)且x2< 0.又=h(2)》r-[-h(-2]r=则直线 y=kx+b与曲线y=ln(2x)的切线方程为y-ln(2x,)= （x-x),即y=+ln(2x,)-1,直线y=x+b与曲线y (-2x)的切线方程为y+ln(-24,)上x-),即y归 11 1 x+1-ln(-2x2),则 〈x1x2 解得 X2 （ln(2x1)-1=1-ln(-2x2）, e x22’ 故k=1=2,b=ln(2x,)-1=0, e x e x2=-2’ 6.解：由f(x)=3x+cos2x+sin2.x, f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x, 则a时（得）3-2m子+2 2 21 由y=x3得y'=3x2. 当点P为切点时，切线的斜率k=3a2=3×12=3, 又b=a3,∴b=1,.切点P的坐标为(1,1)， 故过曲线y=x3上的点P的切线方程为y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0. 当点P不是切点时，设切点为(x0,x),此时切线的斜 率k'=3x, .切线方程为y-x=3x(x-o) P(a,b)在曲线y=x3上，且a=1,.b=1,将点P(1,1)代入 切线方程中得1-x=3x(1-x), 231=0,解得=或1（会去） “切点坐标为(2，日）又：切线的斜率为3× 参考答案 六此时的切线方程为小令(+分），即3-女+1=0即 过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程为3x-y-2=0或3x- 4y+1=0. 压轴挑战 3x-y-2=0解析：由f(x)=x22可得，f(1)=1,函数求导得， f'(x)=[(e)2]'=[e]'=eab:(2xlnx+r+2）】 则k=∫'(1)=3，故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-1= 3(x-1),即3x-y-2=0. §3-§5阶段综合 黑题 阶段强化 1,C解析：因为s?3 2t+4,所以s'=2-5+4,令2-5+ 4=0,解得t=1或t=4,所以速度为零的时刻是1秒末 与4秒末. 2.B解析：令fx)=e2-sinx,则f'(x)=2e2-cos xf"(x)= 4e2“+sinx.因为f'(0)=1,f"(0)=4,所以曲线y=e2-sinx 在点(0，(0)处的曲率为f“"(0)1 4 -=2 (1+(f'(0)2)2(1+1) 3.D解析：对于A,由f(x)=sinx+cosx,得f'(x)=cosx sinx,则f"(x)=-sinx-cosx=-(sinx+cosx),因为x∈ (0,）,所以sm>0,ms>0f(x)=-(snx+s)<0, 所以此函数是“凸函数”，故A不符合题意；对于B,由 )=n2,得f"(x)=子-2.则了()=-，因为e (0号)所以()=0.所以此函数是凸函数，放 B不符合题意：对于C,由f(x)=-x3+2x-1,得f'(x)= -32+2.则财()=-6，因为e(0,牙)），所以了r( -6x<0,所以此函数是“凸函数”，故C不符合题意；对于D, 由f(x)=-xe,得f'(x)=-e*+xe,则f"(x)=e*+ex- e=(2-)e,因为xe(0,）,所以()=(2-)e 0,所以此函数不是“凸函数” -4 4.D解析：因为y'= -43e* (e*+1)2 3,由于e+1+2≥4， 1*2 e'+ 当且仅当e=时取等号，所以y'∈[-√3,0)，根据导数的 几何意义可知，知0=[-5,0)，所以0e[,m）月 5.ACD解析：因为f(x-1)为奇函数，所以f(x-1)=-f(-x- 1),则f(0)=-f(-2),即f(0)+f(-2)=0,故A正确：f(x 1)=-f代-x-1),即f(x+1)=-f-x-3),又fx+1)为偶函数， 所以f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-3),两边求导-f'(-x+ 1)=-f'(x-3),即f'(-x+1)=f'(x-3),故B错误；又f(x+ 1)=-x-3),即f(x+4)=-f(x),则f'(x+4)=-f'(x), 即f'(x+8)=-f'(x+4)=f'(x),所以f'(6)=f'(-2),又 f'(-x+1)=f'(x-3),所以f'(0)=f'(-2)=2,即f'(6)=2, 故C正确；由f'(x+4)=-f'(x),f'(x+8)=f'(x),所以 f'(2004)=f'(4)=-f'(0)=-2,故D正确. 6.-6解析：令g(x)=(x-2)(x-3)(x-4),则fx)=(x-1)g(x), 黑白题31 所以f'(x)=g(x)+(x-1)·g'(x),所以f'(1)=g(1)+ (1-1)·g(1)=g(1)=(1-2)×(1-3)×(1-4)=-6. fx)92（或1 41 1.x'(x)56 6 ）解析：由y-f(x)=f'(x)(x- f代x,) ),令y=0,解得x=,,同理可得，=∫'(x)】 由此推理得r的n+l次近似值与r的n次近似值的关系式 f代xa) 为x1=Xmf'(xn) 设f(x)=x2-3,3是f(x)=0的正根，且f'(x)=2x,x+1= f(x) x-31 .F() 2花+2，当0=2时，x20甲 3 37 1 ,3173497 =1+ 2x0 4=4=2+2x,=24+2756 b5 f'(2)=a+ 8.(1)解：由题意得f'(x)=a+, 4=4 解得 2)=2u-2=2' a=b=1,所以f(x)=x- (2)证明：设P(x,o)为曲线上任意一点，由f'(x)=1+ 知，角线在点0处的切发方程为。=(+号） x-),当x=0时，得y-,令y=x,得y==20,所以点 P(xoy)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面 积淡s宁2212 9.解：(1)由函数f(x)=e+e和g(x)=e-e,可得 f'(x)=e-e*和g'(x)=e+e,则k,=e-e“,h,=e+e, 由∠APB是直角，则k,·k,=(e-e“)·(e+e")=-l,即 1,5-1 1+(e2-e0)=0,解得e=52,则a=2n2 (2)由(1)知k,=e-e”,k,=e+e",由e>0,知k,≠k, 所以直线l,与l2必相交，又由l,:y-(e+e)=(e“-e)· (x-a),l2:y-（e-e")=(e+e")(x-a)联立得 g-(e+e)=(e-e)(x-a）獬得x=a+1,y=2e,即 (y-(e"-e")=(e°+e")(x-a), P(a+1,2e“),故点P到直线x=a的距离为d=(a+1)-a=1. 压轴挑战 解：(1因为y=snx,所以y=asx,则y1号=as(受）月 0,=co (）=0,所以函数在A(-1）（贸-1） 处的切线均为y=-1,因此经过A(牙-1)，8(-1)两点 的直线AB:y=-1恰好为y=sinx的一条切线，又sinx≥-1对 e【受受]恒成立所以函数y=血是以4，B两点为桥 墩”的“桥函数” (2)函数f(x)=1-x2不是“桥函数”，g(x)=x+sinx是“桥函 数”，理由如下：对于函数f(x)=1-x2,则f'(x)=-2x,显然 f'(x)=-2x在定义域上单调递减，所以在函数f(x)=1-x2上 任意两点的切线的斜率均不相同，故不满足“直线AB恰好是曲 线y=f(x)的一条切线”，所以f(x)=1-x2不是“桥函数”；对 于g(x)=x+sinx,则g'(x)=1+cosx,设A(x1,x,+sinx,), 选择性必修第二册·BS B(x2,x2+sinx2)(x1≠x2),所以A,B点处的切线方程分别为y= (1+cos)x+sinxcosxy=(1+cos x2)x+sin x2-x2cos 2, 1+c0sx1=1+c0sx2, 所以{ 所以c0sx1=c0sx2,不妨 (sin 1-cos =sin x2-xcos x2, 取x2=x,+2hT,k∈Z且x1≠x2,代人(x2-x1)cosx1=sinx2- sn,可得2mcs=0→cms名=0.即名=km+受6eZ,所以 s血=1，不纺取m=-1,则A(受，行-1)，B(贺。 空1）所以 1-(1） 2 =1,又g(x)=x+sinx 2 在A,B点处的切线的斜率分别为g(）=1,g(?）=1,所 以函数)=ix在A(受e(受)），B(:()） 两点的直线AB恰好是曲线g(x)=x+sinx的一条切线，此时切 线4B的方程为)=-1，再说明当-7≤≤时，函数g() x+sinx的图象不在y=x-1的下方，即需要说明x+sinx≥x-l 对-号≤≤恒成立，因为对任意的实数，m二-1相成 立，即x+sinx≥x-1恒成立，所以g(x)=x+sinx是“桥函数”. §6用导数研究函数的性质 6.1函数的单调性 白题 基础过关 1.C解析：x∈(-3,0)时，f'(x)<0,故f(x)在(-3,0)上单调 递减，x∈(0,2)时，f'(x)>0,故f(x)在(0,2)上单调递增， 当x∈(2,4)时，∫'(x)<0,故f(x)在(2,4)上单调递减，当 x∈(4，+0)时f'(x)>0,故f(x)在(4，+0)上单调递增，显 然C正确，其他选项错误 2.D解析：由函数y=f代x)的导函数y=∫'(x)的图象可知，当 x<0时，f'(x)<0,所以y=f(x)在(-∞，0)上单调递减，可排 除AC;当0<x<2时，f'(x)>0,所以y=f(x)在(0,2)上单调 递增，可排除B;当x>2时，f'(x)<0,所以y=f(x)在(2，+∞) 上单调递减，D均符合，故D正确. 3.A解析：由已知可得函数y=f(x)在(-∞，-1]上单调递增， 在(-1,1]上单调递减，在(1,2]上单调递增，在(2，+0)上 单调递减，所以f'(-2)>0,f'(1)=0,f'(3)<0,所以 f'(-2)>f'(1)>f'(3),故选A 4.(-1,2),(4,+∞)解析：根据导函数的图象可知，函数 f(x)在(-1,2)，(4，+∞)上时，导数∫'(x)>0,所以f(x)的 单调递增区间为(-1,2)，(4，+∞). 1 1 5.A解析：因为函数f代x)=3+2,所以f'(x)=+, 令∫'(x)>0,解得x<-1或x>0,所以函数的单调递增区间为 (-0,-1),(0,+0). 四方法总结 (1)求函数单调区间的步骤： ①确定函数f(x)的定义域；②求∫'(x);③在定义域内解不 等式∫'(x)>0,得单调递增区间；④在定义域内解不等式 f'(x)<0,得单调递减区间. (2)若所求函数的单调区间不止一个，用“，”或“和”连接 6.B解析：由题意，f'(x)=e+(x-3)e=(x-2)e*,令f'(x)> 0,得x>2,故函数f(x)=(x-3)e的单调递增区间是(2，+). 黑白题32