第2章 2-4 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§2-§4 黑题 阶段强化 1.*(2025·福建莆田高一期中)如图所示， D,E为△ABC的边BC上的三等分点，且 1AB1=AC1,则下列各式中正确的是() A.AD=AE B.BD=CE C.AB+AE=AC+AD D.AB+AC=AD+AE 2.*北师教材变式已知三个力∫1=（-2，-1)， f2=(-3,2),f=(7,-3)同时作用于某物体上 一点，为使该物体保持平衡，需再加上一个 f4,则f4= A.(-2,-2) B.(2,-2) C.(-1,2) D.（-2,2) 3.*(2025·山东青岛高一月考)已知A(2, -1),B(1,4),Csin 红5,0为坐标原 2,C0s 点，则下列说法正确的是 A.AB=(1,-5) B.A,0,C三点共线 C.A,B,C三点共线 D.0A+0B=30元 4.*(2025·江苏宿迁高一月考)已知0为四 边形ABCD所在平面内的一点，且向量OA, 0B,0C,0D满足等式0A+0C=0B+0D.E为 CD的中点，B示=B元，AF与BE交于点G,若 BA=a,BC=b,则BG= ( B.12 7 70+b 7 21 12 c.5a+5 D. 5a+5b 第二章 阶段综合 电子错题本 限时：45min 5.*(多选)(2025·江苏徐州高一月考)如 图，延长正方形ABCD的边CD至点E,使得 DE=CD,动点P从点A出发，沿正方形的边按 逆时针方向运动一周后回到点A,若AP= 入AB+μAE,则下列判断正确的是 () A.满足入+=2的点P必为BC的中点 B.满足入+u=1的点P有两个 C.满足入+地=3的点P有且只有一个 3 D.满足Au=)的点P有且只有一个 6.**(2025·安徽滁州高一期末)对于数集 X={a,b,c},定义向量集Y={y=（m,n)I m,n∈X且m≠n}.若存在至少一对不等向量 1,2∈Y满足y1∥y2(即两向量平行)，则称X 具有性质L.若数集X={1,2,k}具有性质L,则 所有可能的k值个数为 () A.4 B.5 C.6 D.7 7.**已知0为△ABC的外接圆的圆心，AB= 3,AC=2,若A0=xAB+yAC,且x+2y=1(xy≠ 0),则cos∠BAC= 1 6.3 D.5 1 8.**(2025·陕西咸阳高一期中)若从同一发 射源射出的两个粒子α，B在某一时刻的位移 分别为a=(-1,3),b=(2,4),则该时刻B相 对于α的位移的坐标为 黑白题041 9.接在△ABC中，AB=3,AC=6,∠BAC=60°， 压轴挑战 D在边BC上，延长AD到E,使AE=15.若 熱(2025·四川德阳高一期末)将所有平面 Ei=1B+(EC,则BD 向量组成的集合记作R,∫是从R2到R的映 射，记作y=f(x)或(y1,y2)=f(x1,x2),其中x= 10.整(2025·河南郑州高一月考)已知在平 面直角坐标系中，点A(1,0),点B(0,1),O (,2),y=(y1,2),x1,x2,y1y2都是实数.若 为坐标原点。 存在非零向量x∈R2,及实数入使得f(x)=x, 则称入为f的一个特征值， (1)如图①，设P为线段AB的中点，OP= (1)如果f(x1,x2)=(x,+2x2,x-x2),计算f的 xOA+(1-x)OB(x∈R),求x的值； 特征值，并求相应的x; (2)如图②，设点P1,P2,…,Pk,…,Pn1是线 (2)若f(x1,x2)=(a1x1+a2x2,b1x1+b2x2),要使f 段AB的n等分点，OP=Oi+(1- 有唯一的特征值，实数a1,a2,b1,b2应满足 )0B,其中1≤k≤n-1,n,k∈N*, 什么条件？ n≥2，当n=2025时，求10A+0P+0P2+ …+0Pn-+0B1的值 ↑y 0 必修第二册·BS黑白题042由0成=号+号成=号(2,0)+号(0.)=（行号）可得 +0成=(3,3).30成-(3，号）0≠30成.D错误 (行号)又P是8c中点，可得r(行】 4.B解析：因为0i+0元=0成+0币，所以Oi-0=0-0元.即B=Ci,所 以四边形ABCD为平行四边形，如图。 设i=m成：子m号n0成，4.G,D三点共线子n+ D 子m=1,解得m=00:DN=31, G 成成=（生）(.）则n,)} B F 设成-A成.则B=A成=A(B成+C)=A武+之a+Ab, 3)把知0i-d+=成+成， 设A花=uA,所以B武=B+A花-Bi+A市=B+u(B录-B)= P是线段Bc上动点则令=：可(0≤≤） (1-+d=(1)a+5b, 0i=AC+μO币=a(O-0元)+μ(0元+C)=(a+ux)Oi+(u-λ)0元 入=1， u-A=1, 2 (入=μ-1， 所以 解得 又0元，0不共线，则有 片 所以成a+号 1→ 3 6 A+=2h2+2x μ=7 5.BC解析：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的平面 0≤x≤ 1≤x+1≤2 3 →1≤μ≤ 直角坐标系， 21 A·=(u-I)= (子）广子在ae【]小上*消递游。 u=1时，（入·)mn=0=2 时.(·)m=4 ,故入·4的取值 范是，] 则B(1,0),E(-1,1),A(0,0),A=(1,0),A正=(-1,1)，所以A= 压轴挑战 ABt=(), B解析：每次跳跃的路径对应的向量为a1=(3,4),b1=(4,3),c1= 对于A,取A=u=1,AP=(0,1),此时点P与点D重合，满足A地=2， (5,0),d1=(0,5),a2=(-3,-4),b2=(-4,-3),c2=(-5,0),d2=(0,-5), 因为求跳跃次数的最小值，所以只取a1=(3,4),b1=(4,3),c1=(5,0), 但点P不是BC的中点，故A错误； d1=(0,5),设对应的跳跃次数分别为a,b,c,d,其中a,b,c,deN,可得 对于B,当+u=1时，AP=入AB+(1-A)A应→E=入E,即B,E,P三 点共线，由图可知，BE与AD,AB各有一个交点P,故满足A+u=1的 0d=aa1+bb1+cc1+dd=(3a+46+5c,4a+3b+5d)=(33,33),则 点P有两个，故B正确： (3a+4b+5c=33. 两式相加可得7(a+b)+5(c+d)=66, 对于C,当P∈AB时，=0,0≤A≤1，则0≤A+≤1；当P∈AD时，A- l4a+3b+5d=33. 从=0,0≤μ≤1，则入=4，所以0≤入+4≤2，均不满足入+以=3：当P∈ 因为a+h,c+deN,所以+h=8或ath=3当{ath=8时，次数为 BC时，有A-u=1,则A=2,4=1,满足A+μ=3，得点P为C点：当P∈ (c+d=2 (c+d=9.(c+d=2 CD时，有μ=1，A=2,满足A+μ=3，点P为C点，所以满足A+u=3的 8+2=10,当仁=g时次数为349=12 点P有且只有一个，故C正确： 综上所述，次数的最小值为10 对于D.若A=当PeC时，有A1,放A=了以=此时 3 §2-§4阶段综合 P(,号）当PEAD时，有A放A==P(,)此时点 黑题阶段强化 P有两个，故D错误 1.D解析：D,E为边BC上的三等分点，所以C克=D,所以A正-A心= 6.D解析：若数集X={1,2,k},则对应的向量集为(1,2)，(2,1)， A-A,A症+A=A+A元，D选项正确： (1,k),(h,1),(2,k),(k,2)}, 若(1,2)，(2,1)平行，则4=1，但这不可能，所以(1,2)，(2,1)不平 若AB+正=A心+A市，则-A元=A市-A正，即C=E成，显然不成立，C 行；若(1,2)，(1，k)平行，则k=2;若(1,2)，(k,1)平行，则2h=1,解 选项错误； A,A正方向不同，不相等，A选项错误； 得=若1.2.(2.)平行，则=4：若1,2.6,2)平行。 B励，C方向相反，不相等，B选项错误 则2必=2解得6=1：若(2.1).1,6)平行.则24=1解得=子若 2.D解析：由物理知识，知物体保持平衡，则所受合力为0，所以f+ (2,1),(k,1)平行，则k=2:若(2,1)，(2，k)平行，则2k=2,解得k= f34=0,故f4=-(灯1圹2圹)=(-2,2) 1;若(2,1)，(k,2)平行，则k=4:若(1，k),(k,1)平行，则2=1，解 3.B解析：由题意A(2,-1),B(1,4),C-1,2 ,所以A店=(-1， 得k=±1：若(1，k),(2,k)平行，则2k=k,解得k=0:若(1，k),(k,2) 平行，则2=2，解得k=±2：若(k,1),(2,k)平行，则k2=2,解得k= 5),A错误： ±2；若(k,1),(k,2)平行，则2k=k,解得k=0:若(2，k),(k,2)平 因为0成-(1,2）d-(2.-1),所以0i-20元，所以0A.c三 行，则2=4，解得k=±2； 由集合X=1,2,中元素的互异性可知，k≠1，k≠2。 点共线，B正确： 又-(15)花-(3，)面-1x子-5x(-3》≠0.所以应.d 综上所述，所有可能的值为-2,1，.0，分区4，共7个 不共线，从而A,B,C三点不共线，C错误： 7.B解析：取AC的中点D,连接0D,0B,则AD=2AC=1,如图， 必修第二册·BS黑白题024 62)2+42b1=0, 所以a1,a2,b1,b2应满足的条件为(a1-b2)2+4a2b1=0. §5从力的做功到向量的数量积 5.1向量的数量积 白题 基础过关 则4元=2AD,由Ad=xAB+yA元，得Ad=xA店+2yA立.又x+2y=1,因此 B,O,D三点共线，由O为△ABC的外接圆的圆心，得OD⊥AC,即 1.A 解折：因为向量a,b的夹角为行，且101=万，1b1=2,则a: BD⊥AC,所以cs∠BC=AD1 ΓAB-3 b=1alb1oma.=x2x(）- 8.(3,1)解析：B相对于α的位移为b-a=(2,4)-(-1,3)=(3,1). ! 2.C解析：由题图可知，a,b夹角为锐角，则a·b>0,故A错误：a,d夹 9.4解析：如图，建立平面直角坐标系， 角为钝角，则a·d<0,故B错误：b,c夹角为锐角，则b·c>0,故C正 确；b,d夹角为锐角，则b·d>0,故D错误故选C 3.-4解析：由题得1Bd1=22,AB.B元=2×22×cos135°=-4. 4.D解析a在b上投影数量为1 le(a,b)=1Xcos-2 T1 5.A解析：根据题意2b2=a·b,则a在b方向上的投影向量为 a.bo=26 则A(0,0),B(3,0),C(3,33),可知AB⊥BC,设E(15cos0, 1b1201b12b=2b. 15sin0),0 [0,号]可得=(-15ms0,-15no).应=(3- 6.4解析：因为a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影向量 15cos0,-15sin0),E=(3-15cos0,33-15sin0).因为E=tE3+ 为-2e,所以1alcs120e=-2e,所以-号a=-2,所以1a=4 (庇.则3-15m0+(-t小3-15cso=-15s解 7.C解折：因为1a1=1,1b1=2,(a,b)=2,所以a·6=1×2× 3 3 2T 得os日=了，所以在△ABD中，AD= AB =-1,所以a·(a+b)=a2+a·b=1-1=0. 4 /AD2-AB2=4. 8.C解析：因为(a+2b)·(a-b)=a2-2b2+a·b=1-2+a·b=-5,所 10.解：(1)因为A币=0命-0=(x-1)0+(1-x)0成=(x-1)(Oi-0成)= 以a·b=5 1 《-1)成.而P为线段AB的中点，所以产应，则-1=解g.C解折对于A,令aLb,c不垂直，此时0=(ab)·c≠a 得x=2 1 (b·c),故A错误； 对于B,(3a+4b)·(3a-4b)=9a2-16b2=91a12-161b12,故B正确： 2影卷得d20s成成20s成0城. 对于C,因为[(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)(a·c)-(a·c)· 2025 (b·c)=0,所以[(b·c)a-(a·c)b]⊥c,故C正确； 所以0P+0币24=Oi+0成， 对于D,让b,c互为相反向量，且a⊥b,则有a·b=a·c=0,但是此 事实上，对任意正整数m,,且m+n=2025,有0m.2025-m+ 时b=c不成立，故D错误. 2025 10.12解析：依题意，A正=A店+B配=A+A心，A市=2A成，：三角形ABC 2成m-295”0i20d. 是等边三角形.A正.Ai=(A店+A元)·2A成=2A+2A元.A= 2025 所以0P+0P=0A+0品，所以10+0P+0P+…+0224+021= 8+2x2x2x号=12 101310+01,若AB中点为点P,则10i+01=1013×2101= 四方法总结 10132 用向量解决平面几何问题的一般步骤： 压轴挑战 (1)选取不共线的两个平面向量作为基： (2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题： 解：(1)f代x1,x2)=(x1+22,x1-2)=入(1，x2）, (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解： 所以+2，=1即(1-)1=-22， (4)再将向量问题的解转化为平面儿何问题的解 x1-x2=入x2, (x1=(1+入)x2, 两式相除得(1-入)(1+)=-2，解得入=±3， 黑题 应用提优 1.C解析：当“(a,b)为锐角”时，a·b=1al·1b1cos〈a,b)>0,所以 当A=3时 x1+2x2=V3x1 x1-2=3x2, “a·b>0”是“(a,b)为锐角”的必要条件： 此时方程有无数多个解，所以x=m(1+3,1),m∈R,m≠0 当a·b=1al·1b1cs〈a,b)>0时，0≤(a,)<7,所以a·b>0是 当A=-√3时，同理得x=m(1-√3,1)，meR,m≠0. “(a,b》为锐角”的不充分条件， (2)fx1,x2)=(a1x1+a2x2,b1x1+b2x2)=A(x1,x2）, 所以“a·b>0”是“(a,b)为锐角"的必要不充分条件。 所以=故a1-)xta2=0, (b1x1+b22=Ax2,政气b1x1+(b2-A)x2=0, 2B解折：由a在6上的投影向量为，得6=0，侧 1b12 可得x1(a1-A,b1)+x2(a2,b2-)=0.又因为x1,x2都不为0， 所以向量(a1-入，b1)与(a2,b2-入)平行， 2,而b是单位向量，因此a·b=2,又a是单位向量，所以a·(a中 所以存在实数A满足a2b1=(a1-入)(b2-入)， 13 所以入2-(a1+b2)A+a1b2-a2b1=0. b)=a2+a…b=1+2=2 因为要使f有唯一的特征值，所以△=(a1+b2)2-4(a,b2-a2b,)=(a1 3.D解析：如图，在△OAB中，记向量OA为题设中的向量a,向量0B为 参考答案黑白题025