第2章 2 从位移的合成到向量的加减法-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§2从位移的合 2.1向量的加法 白题 基础过关 题组1向量的加法运算 1.★（多选）(2025·江苏徐州高一月考)对于 任意一个四边形ABCD,下列式子能化简为BC 的是 A.BA+AD+DC B.BD+DA+AC C.AB+BD+D元 D.DC+BA+AD 2.*(2025·四川眉山高一月考)如图，在正六 边形ABCDEF中，若AB=1,则1AB+F2+C1= 题组2向量的减法运算 3.*(多选)(2025·山东菏泽高一月考)下列 结论恒为零向量的是 A.AB-(BC+CA) B.AB-AC+BD-CD C.0A-0D+4D D.N0+OP+M-M元 4.*★(2025·江西南昌高一期中)如图，向量 AB=a,AC=b,CD=c,则向量BD可以表示为 ( A.a+b-c B.a-b+c C.b-a+c D.b-a-c 必修第二册·BS 成到向量的加减法 ①2.2向量的减法 限时：25min 5.*(2025·河南郑州高一月考)在边长为1 的正三角形ABC中，IAB-BC1的值为() A.1 B.2 Q.3 2 D.3 题组3向量的三角不等式 6.（多选)(2025·广东佛山高一月考)已知 α，b为非零向量，则下列命题中正确的是 () A.若1a1+1b1=1a+b1,则a与b方向相同 B.若1a+1b1=Ia-b1,则a与b方向相反 C.若1al+Ib1=la-b1,则a与b有相等的模 D.若1Ia1-1b11=1a-b1,则a与b方向相同 7.*(2025·河南周口高一期中)若10A1=8, IOB1=5,则IAB1的取值范围是 题组4向量加减运算的实际应用 8.*设a表示“向东走6km”,b表示“向南走 6km”,则b-a所表示的意义为 () A.向东南走6√2kmB.向东南走3√6km C.向西南走6√2kmD.向西南走3√6km 9.*已知平面内作用于点0的三个力f,∫2， f3,且它们的合力为0，则三个力的分布图可 能是 黑白题032 黑题 应用提优 限时：30min 1.下列等式错误的是 )7.接(2024·陕西西安高一月考)已知非零向 A.a+0=0+a= 量a,b满足1a1=1b1=1a-b1,则 B.AB+BC+AC=0 la-bl C.AB+BA=0 1a+b1 D.CA+AC=MN+NP+PM 8.**在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点 2.*（2025·安徽六安高一月考)在四边 0,且1AB1=1AD1=1,0A+0C=0B+0D=0, 形ABCD中，已知AB=-CD,IAD-AB1=1AD1, os∠DMB=求1DC+C和1C+BRC. ∠ABD=60°，则四边形ABCD一定是() A.等腰梯形 B.正方形 C.矩形 D.菱形 3.*(多选)设a=(AB+CD)+(BC+DA),b是 一个非零向量，则下列结论正确的有() A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.la+bl<lal+lbl 4.*如图，中心为0的正八边形AA2…A,A8 中，a,=AA1(i=1,2,…,7),b,=0A,0=1,2,…, 8),则a2+a+b2+b5+b,= 压轴挑战 A.a6 B.b3+b6 C.bs D.bo-b3 1.整(2025·江苏南通高一月考) 5.*|人A教材变式(2025·黑龙江齐齐哈尔高 设向量a,b满足1a+b1=|a- b1=2,则以1al,1b1,Ia-b|为边长的三角形 一月考)某人在静水中游泳，速度为4√3km/h. 面积最大值为 若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的 A.1 B.2 C.3 D.4 流速为4km/h,则此人实际沿与水流方向成 2.热(2025·陕西咸阳高一月考) (填孤度数)的方向前进，速度为 若向量a,b满足Ia1=22,且向 km/h. 6.若a,b均为单位向量，且a,b夹角为 7 量a与向量a+b的夹角为牙，则1b61的最小 则a与a+b的夹角为 值是 第二章黑白题0336.A解析：如图，连接AC,由10d1=1O1,得∠ABC=∠0CB=30°.因 为C为半圆上的点，所以∠4CB=90,所以1=之应=1 C 309 0 7.①②解析：与A相等的向量需要方向相同，模相等，只有D心，故 ①正确； 根据菱形的性质，结合∠DAB=120°，可知对角线AC与菱形的边长相 等，故与A的模相等的向量有Bi,心，Di,D心，C,B武，C,A心，C,共 9个，故②正确： 向量BD与0B的方向是相反的，是平行向量，故③不正确 8.证明：因为A=D元，所以1A1=1D元1且AB∥CD,所以四边形ABCD 是平行四边形.所以IDAI=IC1且DA∥CB.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，所以1Ci1=N,所以1M1=1D1,DN∥MB,即Dd 与M的模相等且方向相同，所以D永成=M成. §2从位移的合成到向量的加减法 2.1向量的加法+2.2向量的减法 白题基础过关 1.ABD解析：对于A,B+A+Dt=B+D元=B武；对于B,Bi+Di+Ad= Bi+A花=B武；对于C,A应+B+DC=Ai+Dt=AC;对于D,D元+Bi+A= Bi+Ai+Dt=B+D元=Bt. 2.2解析：如图，A+F应+Ci=A应+B武+Ci=A⑦，因为正六边形 ABCDEF是由6个全等的等边三角形构成，所以IA1=2,所以1AB+ Fi+Ci1=1A1=2. 3.BCD解析：对于A,A店-(B武+C)=A成-B=2A应，A错； 对于B,A店-A花+Bi-Ci=C成+B+D元=C+B武=0，B正确； 对于C,0-0币+A市=Di+币=0，C正确； 对于D,Nd+O+M-M巾=N+P成=0，D正确 4.C解析：由题图可知，Bi=B式+Ci=A心-A应+Ci=b-a+c.故选C 5.D解析：如图，以AB,BC为邻边作菱形D ABCD,则AB-B武=-(Bi+B武)=-Bi=D,由 图形可知，ID1的长度等于等边△ABC的 边AC上的高的2倍，即1D成1= 2P-(仔因此，成威 6.ABD解析：根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当a与b不 共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 有1lal-lb1l<a±b1<a|+lb1. 当a与b同向时有1al+1b1=1a+b1,11al-|b11=|a-b1,反之也成 立；当a与b反向时有1al+1b1=Ia-bl,反之也成立 四方法总结 向量的三角不等式：Ilal-|b1I≤la±b1≤lal+1b1,当且仅当向量共 线时取等号」 7.[3,13]解析：A店=0-0A,当0A,0同向共线时，1A1=10i1- 10B1=3:当0A,0B反向共线时，AB1=10A1+10B1=13:当0A,0B不 参考答案 共线时，由110i-10成11<10成-0i1<10A1+10成1，可得3<1AB1<13. 综上可得3≤|B1≤13. 8.C解析：如图，分别作出0A=a,0=b,则利用向 量的减法可得b-a=A店.易知△OAB为等腰直角三b 角形，故∠OAB=45°，且IAB1=62,于是b-a所表 b-a 示的意义为向西南走6√2km. 9.D解析：由题意易知+2=j3,所以∫与f2的 B 合力与方向相反，长度相等，则由平行四边形法则可知，只有D项 满足. 四方法总结 利用向量加、减法解决实际应用问题的主要步骤： (1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量； (2)利用三角形法则和平行四边形法则对向量的加、减法进行运算； (3)构造三角形（一般是直角三角形），利用三角形的边、角关系解题 黑题 应用提优 1.B解析：对于选项A,由向量加法的运算律可知选项A正确； 对于选项B,因为A+B武+A心=A元+A元=2A心，所以选项B错误； 对于选项C,因为A+B=A店-A店=0，所以选项C正确； 对于选项D,因为C+A元=-AC+A心=0，M++PM=M+P成=0，所 以C+A心=M+N+PM,故选项D正确。 2.D解析：因为店=-C成，即A店=D元，所以四边形ABCD是平行四 边形. 因为1A⑦-AB1=IBi1=|Ad1,∠ABD=60°，所以△ABD是等边三角 形，则AB1=|AD1,所以四边形ABCD是菱形 3.AC解析：由题意，向量a=(A店+C)+(B武+Di)=A币+DA=0,且b 是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由a+b=b,所以B 不正确，C正确；由la+b1=b1,Ia|+|b1=|b1,所以1a+b1=|aI+ Ib1,所以D不正确. 4.C解析：由题图可知，a2+a5+b2+b5+b,=A2A+AsA6+0A,+0A+ 0A,=(0A+A2A3)+(0A+A5Ag)+0A=0A3+0A。+0A)=0A+0A。 OA3=OA6=b6:故选C. 5号8解析：将此人的游泳速度，与水的流速，平移 至共同起点，作出其和速度。，由此人的游泳速度为 4√5km/h,水的流速为4km/h,可得此人实际速度为 V(43)'+4=8(mM),且与水流方向成号 6.号解析：作O-a,0i=b,∠40B=2,以线段0A,0B为一组邻边 7 作平行四边形OACB,如图， 则0心=0i+0成=a+b,而a,b均为单位向量，则1O1=101=1, 因此口0ACB为菱形，则a与a+b的夹角LA0C=，LA0B=牙 7.3 3 解析：如图，当1al=Ib1=|a-b1时，△ABC为等边三角形，则1a+ 61为线段10的长度，所以=m30故答案为 3 8.解：因为0i+0元=0成+0i=0,所以0i=-0心，0成=-0i,即四边 黑白题019 形ABCD为平行四边形.又因为IAB1=A1= 1,则四边形ABCD为菱形，如图所示.因为 cos∠DMB=2,0<LDMB<,所以LDAB= 号，所以△MBD为等边三角形，所以1衣1 所以成+d1=d=-2ia1=,1市威=o市 C1=1Bi1=1. 压轴挑战 1.A解析：根据平行四边形法则可知，Ia+b1,Ia-bI是平行四边形的 对角线长，依题意，Ia+b1=1a-b1=2,则平行四边形为矩形，所以以 1al,Ib1,Ia-b|为边长的三角形为直角三角形，且斜边长为 1a-b1=2,设两直角边长为m,n,则m2+n2=4,则三角形面积S= 方m≤分”1，当且仅当m=aV万时等号成立，则以 Ib1,1a-b1为边长的三角形面积最大值为1. 2.2解析：如图，设=a,B成=b,则A花=a+b,依题意LBAC=年过B 作BD⊥AC,垂足为D,则IB武1mim=IBi1=1A店1sin∠BAC=22× 受-2，即161的最小值是2 §3从速度的倍数到向量的数乘 3.1向量的数乘运算+ 3.2向量的数乘与向量共线的关系 白题基础过关 1.C解析：由于入≠0，所以入2>0，因此a与入2a的方向相同.故选C. 2.AB解析：对于A,根据数乘向量的原则可得m(a-b)=ma-mb 故A正确；对于B,根据数乘向量的原则可得(m-n)a=ma-na,故 B正确；对于C,由ma=mb可得m(a-b)=0,当m=0时也成立，所以 不能推出a=b,故C错误；对于D,由ma=na可得(m-n)a=0,当a= 0时命题也成立，所以不能推出m=n,故D错误故选AB. 3.AB解析：由题图可得P,Q两点把线段B三等分，故-号， d-子应，A,B正确；时=-子，衣=-成，故C,D错误，故选AB 4D解折：-成--市-（函+成）=店-市-(}+ò) 号成-2成 5.+动解折：在△A8c中，心-3成，=2d,-a,花-6， 成-成+成成+（花）子（成-号花高花- 6.2b-2a解桥：号[2(2a+4b)-(a-b)]=号t(a+2b)-(a- b1=号(30-3a=2b-2n 7.4-3a解析：因为3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=x+3a-4b=0,所 以x=4b-3a. 8.B解析：当b=0,a≠0时，满足a与b共线，但是不存在实数入使 得a=入b,故充分性不成立； 存在唯一实数入使得a=入b,则a与b共线成立，即必要性成立. 必修第二册·BS 故“a与b共线”是“存在唯一实数入使得a=Ab”的必要不充分条件 9.A解析：对于A选项，Bi=B元+Ci=(-2a+8b)+(3a-3b)=a+5b A店，故A,B,D三点共线，A对； 对于B选项，因为AB=a+5b,BC=-2a+8b,故AB,BC不共线，即A,B, C三点不共线，B错； 对于C选项，因为A元=A+B元=(a+5b)+(-2a+8b)=-a+13b,C= 3a-3b,所以A元，Ci不共线，即A,C,D三点不共线，C错； 对于D选项，因为BC=-2a+8b,CD=3a-3b,则BC,CD不共线，即B, C,D三点不共线，D错. 10.A解析：由e1,e2不共线，易知向量ke,+e2为非零向量.由a∥b,可 知存在实数入，使得2e1-e2=A(ke1+e2),即(2-Ak)e1=(A+1)e2: 由e1,e2不共线，必有2-Ak=A+1=0.否则，不妨设2-Ak≠0，则e1= 2由两个向量共线的充要条件知，1，共线，与已知矛盾.由 入+1 2-k=0,解得k=-2. (λ+1=0， 11.C解析：O市=Oi-A店，.O币-Oi=B,.A市=B,.点P在线 段AB反向延长线上， 黑题应用提优 1.D解析：因为a与b的夹角为T,故a=-2b,故13a+2b1= 12al=21a=4. 2.ACD解析：由相反向量的定义可知A正确：与BC共线的单位向量是 BC -,故B错误；由向量共线定理可知，A应，B武共线，又A店，B元有公 IB 共点B,则A,B,C共线，则C正确；由A店=2B武=2A心-2A店可得A店= 子文受子DE珠 3.AD解析：对于A,Cd+市=Pi+T市=T=D,A正确；对于B,感- R=R花-Rd=Q元=-Pi,B错误；对于C,A7+感=S+感=励= 成5+成，C错误：对于D,市-本=戒-本=戒=S感 1R1 ISTI 5+1店，D正确故选AD. 4.D解析：若a=Ab,入≠0，所以Ia+Ab1=1(入+入)b1=I2入IIb1,Ial+ A1b1=1Ab1+AIb1=(IA1+入)1b1,当A>0时，Ia+Ab1=Ia1+入Ib1,当 入<0时，Ia+入b|=-2入Ib1,Ia|+入Ib|=0,此时Ia+Ab|≠Ia1+入Ib1, 故“a=入b”不是“|a+入b1=|a|+入IbI”的充分条件. 因为|a+Ab|≤1a|+|λb1,若1a+Ab1=|a|+入Ib1,则1aI+入|b1≤ lal+Ab1=al+1A|Ib1,当且仅当a,Ab方向相同时取到等号，则 入≤I入I恒成立，故a∥b,但两个向量间的系数不确定，不能推出“a= λb”. 综上可知，“a=Ab”是“1a+Ab1=Ia|+A1b1”的既不充分也不必要 条件. 5.B解析：如图所示，若D为BC中点，由题设可知A市=O市-Oi- A(A+A心)=2AA,因此A与A共线，所以直线AP一定通过△ABC 的重心 (第5题) (第6题) 6.D解析：由20成+30成=-m0花得20+3成=-00元，设 5 5 5 成-0成，则亦号i+成，即0亦-}成}市 子应4，B,D三点共线，如图所示0心与0i反向共线m>0, 黑白题020