第2章 1 从位移、速度、力到向量-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

第二章 平面向量及其应用 §1从位移、速度、力到向量 1.1 位移、速度、力与向量的概念④1.2 向量的基本关系 白题 基础过关 限时：25mim 题组1向量的概念与几何表示 题组2 相等向量、相反向量与共线向量 1.·(2025·安徽蚌埠高一月考)下列各量中 6.*(2025·江苏宿迁高一期中)下列命题正 是向量的为 确的是 A.时间 B.体积 C.重力 D.密度 A.单位向量均相等 2.*下列说法正确的个数是 ) B.任一向量与它的相反向量不相等 ①数量可以比较大小，向量也可以比较大小： C.模为0的向量与任一向量平行 ②方向不同的向量不能比较大小，但同向的向 D.模相等的两个共线向量是相同的向量 量可以比较大小；③向量的大小与方向有关 7.*(多选)(2025·广东东莞高一月考)关于 A.0 B.1 C.2 D.3 非零向量a,b,下列命题中正确的是（) 3.*(多选)(2025·广东东莞高一月考)下列 A.若1al=Ib1,则a=b 说法不正确的是 ( B.若a=-b,则a∥b A.向量的模是一个正实数 C.若a∥b,b∥c,则a∥c B.零向量没有方向 D.若a=b,b=c,则a=c C.单位向量的模等于1个单位长度 8.*(2024·江西九江高一月考)如图，B是 D.零向量就是实数0 线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和 4.*已知点0固定，且1OA1=2,则点A构成 终点，则最多可以写出 个共线非零 的图形是 ( 向量 A.一个点 B.一条直线 C.一个圆 D.不能确定 A 5.*中国象棋规定：马走“日”，象走“田”.如 题组3向量的夹角 图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中 9.★ 已知直角梯形ABCD中，AB⊥BC, 每个小方格都是单位正方形)中，若马在A ∠DCB=60°，则AD与CD的夹角为（) 处，可跳到A处，也可跳到A2处，用向量AA1, A.30 B.60° AA2表示马走了“一步”.若马在B处，则以B C.120 D.150° 为起点表示马走了“一步”的向量共 10.*(2024·陕西西安高一期中)在等腰 有 个 △MBC中，∠A=行，则向量与BC的夹角为 2π A. 2 B.Tr C. 必修第二册·BS黑白题030 黑题 应用提优 限时：30mim 1.*(2025·河南商丘高一月考)下列关于向6.*在如图所示的半圆中，AB为直径，点0 量的说法正确的是 ( 为圆心，C为半圆上一点，且∠0CB=30, A.物理学中的摩擦力、重力都是向量 1AB1=2,则IAC1等于 B.平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量 C.温度含零上和零下温度，所以温度是向量 30 D.身高是一个向量 2.(多选)(2025·山东青岛高一期中)下列 A.1 B.√2 C.√3 D.2 命题正确的有 ( 7.*如图，在菱形ABCD中，若∠DAB=120°， A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点 则以下说法中正确的是 .(填序号) 相同 ①与AB相等的向量只有一个（不含AB); B.若AB与BC共线，则A,B,C三点在同一条直 线上 ②与AB的模相等的向量有9个（不含AB); C.a=b的充要条件是Ial=IbI且a∥b ③BD与OB不平行 D.若A,B,C,D是不共线的四点，且AB=DC曰 四边形ABCD是平行四边形 3.*(2025·四川南充高一月考)在△ABC 中，AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点，则 8.如图所示，四边形ABCD中，AB= D元，N,M是AD,BC上的点，且C示=MA.求证： A.AB与AC共线 DN=MB. B.DE与CB共线 C.CD与AE相等 D.AD与BD相等 4.*(2024·安微安庆高一期中)已知点0在 △ABC所在平面内，满足10A1=1OB1=10元1， 则点O是△ABC的 ( A.外心B.内心 C.垂心D.重心 5.**(2024·江苏苏州高一月考)在四边 形ABCD中，AC与BD交于点O,且AO=OC BO=OD,1AC1=IBD1,则 ( A.AC⊥BD B.四边形ABCD是梯形 C.四边形ABCD是菱形 D.四边形ABCD是矩形 第二章黑白题0317.-子解析：由题意B=a+T+2km,k∈Z,从而B=0s(a+m+ 2m)-wa因为ae[石，号]所以se的取值范图是 [分号]月的取值忘菌是-孚子]，当且议当a= 3 即月=行2，keZ时，mB取得最大值，且最大值为分故答案 为号 8受（答案不唯-）石（答家不唯一）解析：因为血(a+B) sin(a-B),cos(a+B)≠cos(a-B),所以a+B,a-B的终边关于y轴对 称，且不与)轴重合，放a8+a8=+2m,keZ且a8≠号m,1e Z,即a=+hm,keZ,故取a=7B=石可满足题设要求。 6 9.[2,3)解析：因为0≤x≤2π，所以0≤wx≤2wm,令f代x)=cos wx-1= 0,则cosx=1有3个根，令t=wx,则cost=1有3个根，作出y=cost 的大致图象如图， 2wπ y=cos t 第二章 平面 §1从位移、速度、力到向量 1.1位移、速度、力与向量的概念+ 1.2向量的基本关系 白题 基础过关 1.C解析：由题意可知，时间、体积、密度都是数量，而重力是向量 四易错提醒 向量由大小与方向两个要素组成，向量的大小是代数特征，方向是几 何特征. 2.A解析：向量不能比较大小，故说法①②③都不正确 3.ABD解析：对于A,零向量的模等于0，故A错误： 对于B,零向量有方向，其方向是任意的，故B错误： 对于C,根据单位向量的定义可知C正确； 对于D,零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故 D错误. 4.C解析：因为1OA1=2,所以点A在以点0为圆心、2为半径的圆上， 故点A构成的图形是一个圆 5.8解析：如图，以B点为起点作向量，共8个. X■ 6.C解析：对于A:单位向量大小相等都是1，但方向不一定相同，故单 位向量不一定相等，故A错误； 对于B:零向量与它的相反向量相等，故B错误： 对于C:模为0的向量为零向量，零向量与任一非零意向量共线，故 C正确； 对于D:模相等的两个共线向量可能是相同的向量，也可能是相反向 量，故D错误. 7.BCD解析：对于A:若Ial=Ib1,只能得到a与b的模相等，但是方 向有可能不相同，故A错误； 对于B:若a=-b,则a与b是相反向量，则a∥b,故B正确； 对于C:若a∥b,b∥c,且b≠0，则a∥c,故C正确： 对于D:若a=b,b=c,则a=b=c,即a=c,故D正确 必修第二册·BS 其中t∈[0,2wm],结合余弦函数y=cost的图象性质可得4π≤2ωT< 6m,故2≤w<3,故答案为[2,3) 10.分解扬：设4(）B(）,由101=可得 _ST+2km.keZ 石由s如=，可知=+2m或= 由可知，p-(ep)名名即以) 所以@=4.所以W(号）m(e）-0, 8 2 2} 又因为f(0)<0,所以f(x)=sin4r-3π： 所以✉血(4子） 5符合题意 2 放答案为号 向量及其应用 8.6解析：根据题意，可得所有共线非零向量有A应，A元，B,B元，C, C,共6个 9.C解析：Ad与Ci的夹角为∠ADC=120. 10.D解折：因为△C为等腰直角三角形，乙A=于，所以∠R=子， 2 故向量A与B心的夹角为3 黑题 应用提优 1.A解析：对于A,摩擦力和重力都既有大小，也有方向，所以摩擦力、 重力都是向量，A正确： 对于B,x轴、y轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误： 对于C,温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误： 对于D,身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误 2.BD解析：A选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等， 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误： B选项，因为A与BC共线，且有公共点B,所以A,B,C三点在同一条 直线上，所以B正确： C选项，当a∥b且方向相反时，即使|a|=|b1,也不能得到a=b,所 以Ial=|b|且a∥b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件，所 以C错误： D选项，A,B,C,D是不共线的四点，A=D元，即模相等且方向相同， 即四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，所以D正确. 四易错提醒 两个向量共线或平行，是指表示这两个向量的有向线段所在的直线 重合或平行 3.B解析：由题意可知，AB与AC不共线，A错：因为D,E分别是AB,AG 的中点，所以DE∥BC,故D与C共线，B对；因为CD与AE不平行， 所以Ci与A龙不相等，C错；因为A=D=-B,所以D错. 4.A解析：因为1Oi=101=10元1，即点0到A,B,C的距离相等，所 以点O是△ABC的外心.故选A. 5.D解析：由Ad=O元，Bd=0i,A元1=B1,知四边形ABCD的对角 线相互平分且相等，所以四边形ABCD为矩形.故选D. 黑白题018 6.A解析：如图，连接AC,由10元1=101，得∠ABC=∠0CB=30.因 为C为半圆上的点，所以∠4CB=90°，所以d=2=1 309 0 7.①②解析：与A相等的向量需要方向相同，模相等，只有D元，故 ①正确； 根据菱形的性质，结合∠DAB=120°，可知对角线AC与菱形的边长相 等，故与A的模相等的向量有BA,D,D元，Ci,B元，C,A元，C,共 9个，故②正确： 向量BD与OB的方向是相反的，是平行向量，故③不正确. 8.证明：因为A店=D心，所以A1=ID心1且AB∥CD,所以四边形ABCD 是平行四边形.所以IDi=IC1且DA∥CB.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，所以1CM1=INA1,所以1MB1=IDN1,DN∥MB,即D不 与M的模相等且方向相同，所以D永=M. §2从位移的合成到向量的加减法 2.1向量的加法+2.2向量的减法 白题基础过关 1.ABD解析：对于A,B+A+D元=B+D元=B元；对于B,B+D+A元= B+A元=BC:对于C,A店+B+D元=Ai+D元=A元：对于D,D元+B+Ai= BM+AD+D元=BD+D元=BC. 2.2解析：如图，A店+F尼+Ci=A店+B成+Ci=A市，因为正六边形 ABCDEF是由6个全等的等边三角形构成，所以A1=2,所以1A+ F元+Ci1=A=2. 3.BCD解析：对于A,A店-(B元+C)=A应-B=2A店，A错： 对于B,Ai-A心+B-Ci=C成+Bi+D元=C+B武=0，B正确： 对于C,0i-0+4市=Di+A=0,C正确： 对于D,N+0币+M示-亦=N+P示=0，D正确 4.C解析：由题图可知，Bi=B元+C=A亡-A店+Ci=b-a+c.故选C 5.D解析：如图，以AB,BC为邻边作菱形D ABCD,则A店-B元=-(B+B元)=-Bi=D成，由 图形可知，1D1的长度等于等边△ABC的 边AC上的高的2倍，即1D成1= 2-(日)=5，因t,i屁15 6.ABD解析：根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当a与b不 共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 有1Ial-Ib1I<|a±b1<|a|+lb1. 当a与b同向时有1al+Ib|=1a+b1,1|a|-1b1I=1a-b1,反之也成 立：当a与b反向时有la|+Ib1=|a-b1,反之也成立. 四方法总结 向量的三角不等式：Ilal-1b1|≤1a±b1≤1al+1b1,当且仅当向量共 线时取等号， 7.[3,13]解析：4店=0-01，当0i,0同向共线时，1A1=101- 101=3:当0,0反向共线时，A1=101+101=13:当0,0不 参考答案 共线时，由11OA1-1011<10B-O1<101+10B1,可得3<1AB1<13. 综上可得3≤1AB1≤13. 8.C解析：如图，分别作出01=a,0=b,则利用向 量的减法可得b-a=AB.易知△OAB为等腰直角三b 角形，故∠0AB=45°，且1A1=62,于是b-a所表 b-a 示的意义为向西南走62km. 9.D解析：由题意易知∫+f=∫，所以f与方2的B 合力与∫方向相反，长度相等，则由平行四边形法则可知，只有D项 满足. 四方法总结 利用向量加、减法解决实际应用问题的主要步骤： (1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量： (2)利用三角形法则和平行四边形法则对向量的加、减法进行运算： (3)构造三角形（一般是直角三角形），利用三角形的边、角关系解题 黑题■ 应用提优 1.B解析：对于选项A,由向量加法的运算律可知选项A正确： 对于选项B,因为A+B武+A心=A元+A元=2A元，所以选项B错误： 对于选项C,因为A+B=A店-A店=0，所以选项C正确； 对于选项D,因为C+A元=-A+A元=0，M+N+Pi=M+P成=0，所 以CA+AC=MN+NP+PM,故选项D正确， 2.D解析：因为A=-Ci,即A=D元，所以四边形ABCD是平行四 边形. 因为1A-AB1=IB品1=IA1,∠ABD=60°，所以△ABD是等边三角 形，则IAB1=IAD1.所以四边形ABCD是菱形 3.AC解析：由题意，向量a=(AB+CD)+(BC+DA)=AD+DA=0,且b 是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确：由a+b=b,所以B 不正确，C正确；由|a+b1=Ib1,|a|+1b1=1b1,所以1a+b|=|al+ Ib1,所以D不正确 4.C解析：由题图可知，a2+a5+b2+b5+b,=A2A+A5A6+0A)+0A+ 0A,=(0A2+A2A)+(03+A5A6)+0A,=0A3+0A6+0A,=0M+0A。 OA3=OA6=b,故选C. 5.号8解析：将此人的游泳速度，与水的流速，平移 至共同起点，作出其和速度，由此人的游泳速度为 45kmh,水的流速为4kmh,可得此人实际速度为 √43)+=8(kam).且与水流方向成号 6.7解析：作O=a,0成=b,L40B=2,以线段O1,OB为一组邻边 7 作平行四边形OACB,如图， 则0元=0+0=a+b,而a,b均为单位向量，则10i1=1021=1, 因此口0ACB为菱形，则a与a+b的夹角∠A0C=，LA0B=∑ 2 7. 3 3 解析：如图，当1al=Ib1=Ia-b1时，△ABC为等边三角形，则1a+ b1为线段AD的长度，所以a-b= 1a+b1-tan30°= 故答案为 3 8.解：因为0i+0元=0+0币=0，所以0=-0元，0=-0品，即四边 黑白题019