第1章 4 数列的应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

§4数列的应用 4.1数列在日常经济生活中的应用+4.2 数列的其他应用 白题 基础过关 限时：25min 题组1数列在日常经济生活中的应用 题组2，数列与概率的综合应用 1.·偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是4.(2025·江苏南京高三月考)为了增强学 种很常见的还款方式，其本质是将本金平 生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛.从地面开 均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金 始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶 额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款 或两级台阶，其中一步上一级台阶的概率为 本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款 本金与已还本金总额的差乘利率张华向银行 3上两级台阶的概率为了，爬楼梯过程中，小 贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照 明爬到第n级台阶的概率为pn（n∈N), 等额本金还款法，每个月还一次款，20年还 (1)求p2,P3的值； 清，贷款月利率为0.4%，设张华第n个月的还 (2)求Pn 款金额为an元，则an= ( A.2192 B.3912-8n C.3920-8n D.3928-8n 2.*(2025·天津滨海新区高二期末)某家庭 打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年 开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款 到2027年年底连本带息共有40万元收益.如 果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复 利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前 一期的利息和本金加在一起算作本金，再计 算下一期的利息)，则每年应该存入约( (参考数据：1.027≈1.149,1.023≈1.172) A.5.3万元 B.4.6万元 C.7.8万元 D.6万元 3.*某公司为一个高科技项目投入启动资 金2000万元，已知每年可获利20%，但由于 竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元 资金进行科研、技术改造，方能保持原有利润 的增长率，则第三年年初该项目的资金为 万元，该公司经过 年该项 目的资金可以达到或超过翻一番（即原来的 2倍)的目标.(1g2≈0.30,1g3≈0.48) 第一章黑白题27 黑题 应用提优 限时：40min .*某房屋开发商出售一套50万元的住宅， C.等额本金方案，所有的利息和为2340元 可以首付5万元，以后每过一年付5万元， D.等额本金方案比等额本息方案还款的利 9年后共10次付清，也可以一次付清（此后 息多 一年定期存款税后利率设为2%，按复利计 4.*我国古代数学著作《九章算术》中有如下 问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关 算)并优惠α%，为鼓励购房者一次付清，则优 三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次 惠率应不低于 ( 关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金 (a取整数，计算过程中参考以下数据： 几何？”其意思为：“今有人持金出五关，第 1.02°≈1.195,1.0210≈1.219,1.021≈1.243) A.8% B.9% C.11%D.19% 1关收税金为持金的2，第2关收税金为剩余 2.*某银行给出的大额存款的年利率为5%， 金的，第3关收税金为剩余金的第4火 某人存入a,元（大额存款），按照复利，10年 后得到的本利和为a0,下列各数中与“0最接 收税金为利余金的5，第5关收税金为剩余金 的。5关所收税金之和恰好重1斤.问原来君 近的是 ( A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8 金多少？”记这个人原来持金为a斤，设 3.*★*（多选）(2025·辽宁大连高二期中)某人 10x+1,x>1, f(x)= 则f(a)= 1-5x,0<x≤1 买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元 A.-5 B.7 首付，剩余向银行贷款，月利率0.3%，分 C.13 D.26 12个月还清（每月购买车的那一天分期还 5.**某公司有10名股东，其中任何六名股东 款)有两种方案：等额本金还款，将本金平均 所持股份之和不少于总股份的一半，则下列 分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额 选项错误的是 ) 由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本 A.公司持股最少的5位股东所持股份之和可 金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本 以等于总股份的2 金与已还本金总额的差乘利率；等额本息还 B.公司持股较多的5位股东所持股份均不少 款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复 利计算（参考：1.003"≈1.0335,1.00312≈ 于总股份的2 1.0366,计算结果精确到元).下列说法正确 C.公司持股最大的股东所持股份不超过总股 的是 ( 份的号 A.等额本息方案，每月还款金额为10196元 D.公司持股较多的2位股东所持股份之和可 B.等额本金方案，最后一个月还款金额为 10030元 以超过总股份的 选择性必修第二册·BS黑白题28 6.*（2025·四川广安高二月考)小楠是一位7.转(2025·安徽合肥一六八中学高二期末) 收藏爱好者，在第1年初购买了价值20万元 某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做 的收藏品M,受收藏品市场行情的影响， 游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名 第2年、第3年的每年初M的价值为上年初 业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只 价值的)；从第4年开始，每年初M的价值比 能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投 掷一枚质地均匀的骰子，初始分数为0，每次 上年初价值增加4万元， 掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分. (1)求第几年初开始M的价值超过原购买的 连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏 价值； 结束 (2)记Tn(n∈N*)表示收藏品M前n年初的 (1)设员工在游戏过程中累计得n分的概率 价值的平均值，求T的最小值 为Pn ①求P1,P2,P3; ②求证数列{Pn-Pn.-1}(2≤n≤9)为等比 数列. (2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员 工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等 奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏 奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖 的奖金最多不能超过多少元？（精确到 1元) 第一章黑白题294不递指6-6，=a-43g(g-1)-3≤0， 1 neN,但当a>1-lg,[2(g-10]时，g'(g-1)-2>0,矛盾若 0<g<1,则数列{an单调递减，不妨设m<n,由条件知am-an≤ 2(n-m),即a.+2m≤a,+2n（**）,设c.=a,+2n,由 （**)式中m,n的任意性，得数列{cn}不递减，.c+1-cn= (aa,)+号=g'(g-1)+≥0，aeN0<q<1时m) ?'(9-l)+2单调递增，f(n)m=1)=9-1+2≥0：0<q< 1 1,之≤<1，综上，公比g的取值范围为[21小 n,9=1, ②证明：由①得S。=1-g”1 当g=1时，Sn=n,要存在kn 1-9'2sg1, 使得1S.-S1≤k,1n-ml,只需k,≥1即可：当2≤g<1时，要证 数列S符合“L()条件”，只要证存在使得 1】g≤。ln-ml,neN,不妨设m<n,则只要证：g-g≤ 1-q k(1-g)(n-m),即gm+k(1-g)m≤g”+k(1-g)n,设g(n)= g+k(1-q)n,由m,n的任意性可知，只要证g(n+1)-g(n)= g(g-1)+h(1-g)≥0，只要证k,≥g,neN°，：2≤q<1, ∴.存在kn≥g使得上式Hn∈N°成立，∴，存在正数。使得数列 {Sn符合“L(kn)条件”. 四重难点拨 在第(2)②中判断数列是否符合“L(k)条件”时，分类讨论，根 据数列的单调性去掉绝对值，通过构造新数列，由不等式恒成 立得到新数列不递减，研究此数列不递减的条件即可. §4数列的应用 41数列在日常经济生活中的应用+ 4.2数列的其他应用 白题基础过关 1.D解析：由题意可知，每月还本金480000 20×12 2000(元).设 张华第n个月的还款金额为a,元，则a,=2000+[480000- (n-1)×2000]×0.4%=3928-8n.故选D. 2.A解析：设每年存入x万元，则2021年年初存人的钱 到2027年年底本利和为x(1+2%)7,2022年年初存入的钱 到2027年年底本利和为x(1+2%)6,…,2027年年初存人的 钱到2027年年底本利和为x(1+2%),则x(1+2%)+ x(1+2%)2++x(1+2%)7=40.即.02x(1-L02)=40,解 1-1.02 得x≈5.3. 3.24406解析：设an是经过n年后该项目的资金，则a+1= a(1+20%)-200,所以a1=2000×(1+20%)-200=2200, a2=2200×(1+20%)-200=2440,所以经过两年后该项目的 资金为2440万元；因为an+1=an(1+20%)-200,设an+1+p= (1+20%)(a.+p）,则p=-1000,即a+1-1000=(1+20%)· (am-1000),所以an-1000是以1.2为公比，1200为首项 的等比数列，所以an-1200×1.2=1+1000=1000×1.2"+ 100由已知得100x1.2+100≥40.≥66格25 选择性必修第二册·BS g3-1+226,即该公司经过6年该项目的资金可以达到 lg 3 或超过翻一番（即原来的2倍）的目标. 1127 111 4.解：()由题可知n=3×3+3=9P,=3×3×3+C× 1213 3×3=27 (2)爬到第(n+2)级台阶有两种情况： 情形一：爬到第n级台阶，下一步上两级台阶爬到第(n+2)级 台阶： 情形二：爬到第(n+I)级台阶，下一步上一级台阶爬到第 1 2 (n+2)级台阶.故Pn=3P1+3P,则P+3P1=p1+ 2 2 3 (号)x()又n0故{，}是等比数别。 ；-()(号)广=（兮）()” 黑题 应用提优 1.B解析：由题意可得，50(1-a%)·(1+2%)9≤5×(1.02°+ 1.020-1 1.02++1.02+1),即1-a%≤10x1.02×0.02 0.916，解得 a%≥8.4%.又a取整数，∴.优惠率应不低于9%.故选B. 2.B解析：存入a元（大额存款），按照复利，可得每年年末 本利和是以a为首项，1+5%为公比的等比数列，所以a(1+ 5%)=a0,可得20=(1+5%)"=C+Co×0.05+C30x0.052+ …+C0×0.050≈1.6. 3.ABC解析：BC选项，对等额本金的还款方案，设每月的还 款额为an万元，则a1=1+12×0.3%=1.036,a2=1+11×0.3%= 1.033,…,a2=1+1×0.3%=1.003.所以所还的利息总数为 0.39%×(1+2+3++12)=0.3%×12x(1+12）=0.234(万元). 故BC正确：对等额本息的还款方案，设第n个月的贷款利 息为b,万元，偿还本金为cn万元，则b1=12×0.3%=0.036, b2=(12-c1)×0.3%=0.036-0.3%·c1,c2=(b1+c1)-b2=(1+ 0.3%)·c1,b3=(12-c1-c2）×0.3%=0.036-0.3%·(c1+ c2),c3=(b2+c2)-b3=(1+0.3%)2·c1,同理可得：c4=（1+ 0.3%)3·c1,c5=(1+0.3%)4·c1,…,cp=(1+0.3%)"·c1 所以cn}是以c1为首项，1+0.3%为公比的等比数列.其前 12项的和为[1-(1+03%)] 1-(1+0.3%) =12→c1=0.0366 0.036 0.9836(万元)，所以每月的还款额为b,+c,=0.036+ 0.9836=1.0196(万元)， 所还利息总和为0.0196×12=0.2352（万元），故A正确： 又0.2352>0.234，所以等额本息还款的利息多，故D错误 4.C解析：由题意知，这个人原来持金为a斤，第1关收税金 为分斤：第2关收税金为行1号）小0女（厅）：第 1 3关收预企为好1号石）a=这女（斤）.以此类推 1 可得，第4关收税金为，石斤第5关收税金为写 x6斤，所 *0*+561，即（ 以了 、1 ,11 黑白题18 6 又因为)-{0121.新以（号）0号1= 故选C. 5.D解析：不妨设10名股东所持股份为a,≤a2≤…≤a0,总 股份为1，因为6，≥a+二了所以，二则a 的最小值为， 2,若a6=2,此时a+a,++a5≤5a%=2又因 115 5 为a,+a,++a,≥2122，此时a,+a,++a,=2A正 确：由于a≥2且a0≥4，≥a,≥a≥0，故公司持股较多 的5位股东所持服份均不少于总股份的B正确：因为 5 13 ag≥ag≥a,≥a6,所以a1+a2+…+ag≥ 2+4×2,所以 31 1 a10≤1- 44,C正确：因为a,+++≥2，所以a,+ ,aw≤}又a≥，≥，产b所以a,w≤}4 1 1111 a,≤21223D错误 6.解：(1)设第n(n∈N“)年初M的价值为an万元，依题意，当 1≤n≤3时，数列a,是首项为20，公比为2的等比数列， (1 -1 所以an=20× 2 =5×23-.故a2=10,3=5,所以a3< a2<a1: 当n≥4时，数列{an}是以a4为首项，4为公差的等差数列. 因为a4=a3+4=9,所以an=9+(n-4)×4=4n-7. >20,得>，又n∈N",所以n2 因此第7年初M的价值超过原购买的价值， (2)设8表示前n年初M的价值的和，则T=S 20x[-(）广 由(1)知，当1≤n≤3时，Sn= -=40- 12 5×23-",Tn= 0-5×23-" ①. n 当n≥4时，由于S,=35, 故S=S,+(a,ta,+…t0,)=35+m-3)(9+4n-7）=2m2-5n+ 2 32,7-2n-5n+32=2n+32-5. n 当1≤0≤3时，由①得7=20，=15,1=所以7> T2>T3; 当m≥4时，由对勾函数性质可知T,=2+32-5单调递增，故 (Tn）min=T4=1l. 由于T3>T4,故在第4年初Tn的值最小，最小值为11. 7.解：(1)①油题意，得员工游戏过程中累计得1分，即第一次 投挪为奇数，其概率为八，=：累计得2分，即第一次投掷 为偶数或连续两次投掷都是奇数，其概率为P,=2+2 11 × 参考答案 2子：累计得3分，即前两次投拂一次为偶数，一次为奇数 13 或连续三次投掷都是奇数，其概率为P3=2× 2×22 1y1-5 2x28 ②油题知，累计获得n分时有可能是获得(n-1)分时掷骰子 点数为奇数或获得(-2)分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子 点数为奇数和偶数的概率均为2，所以P.=了P-+P: (3≤n≤9)，则P.-P1=(P-P(3≤n≤9).又P, P=子，放P.-P(2≤n≤9)为首项为4，公比为 的等比数列 1 (2)0蜘pp=4(2）Pp=4() …,R-R子，将所有等式相加得P.-A= -(3)）”() () 6 所以=6[-(）"] 号+日(（广(1≤≤9)，所以R=号+3× 1 设一等奖的奖金为x元，二等奖的奖金为元，由题意知 x341 171 2‘512+x·512 ×10≤1000，解得x≤102400 683 1499.27,即一等奖的奖金最多不超过1499元. *§85 数学归纳法 白题 基础过关 1.B解析：由题意f(n)=1+2+3+…+(4n-1)(n∈N°)，即从1 起连续(4n-1)项正整数之和.则f1)为从1起连续3个正整 数之和，故第一步应证明f1)=1+2+3.故选B. 1 2.D解析：当n=h时，等式的左边为1}+/++ 2k-1 六，当0=+1时，等式的左边为1子+写子 备+2十，，2敌从n=大到n=k+1,左边所要添加的项是 中7故选D 3.证明：当n=1时，左边=1，右边=12=1，.等式成立；假设当 n=k(k∈N")时，1+3+5+…+(2k-1)=k2成立，那么当n=k+ 1时，1+3+5+…+(2k-1)+(2h+1)=k2+2k+1=(k+1)2成立. 综上所述，1+3+5+…+(2n-1)=n2对于任意n∈N*都成立. 4B解折：第-步，当1=2时.验证不等式为1日2放 选B. 5.B解标：当n=k时，不等式左边为1+2+3+…2- 11 1当 11 111 n=k+1时，不等式左边为1+2+3+…+2-22+叶 2k+1- ,故增加的项数为(2+1-1)-(2-1)=2×2*-2*=2. 黑白题19