4 数列在日常经济生活中的应用（题型专练）数学北师大版选择性必修第二册

4. 数列在日常经济生活中的应用（答案版） 题型一 等差数列模型（零存整取、单利） 1．B 2．， 3．A 题型二 等比数列模型（复利、增长率、衰减） 4．B 5．C 6．7 7．40 题型三 数列求和模型（分期付款） 8．D 9．200 10．B 11．B 题型四 数列的综合应用 12．【详解】（1）解：由题意，知第年至此后第年的累计投入为（千万元）， 第年至此后第年的累计净收入为 （千万元）． 所以，． （2）解：， 当时，，故当时，递减； 当时，，故当时，递增． 又，，． ∴该项目将从第8年开始并持续赢利，即该项目将从2026年开始并持续赢利． 13．【详解】（1）由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列， ∴是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列；是以为首项，1.5为公差的等差数列， ∴，. （2）设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为， ∴， 当时，. ∴今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨. 1．B 2．B 3．BCD 4．AB 5．BC 6．BD 7．ABC 8．ACD 9．【详解】（1）由题设可得，且， 故， 故， 故， 而符合该式，故. （2）由（1）可得， 因为15年后清空种植并更换种植品种，故， 所以，故. 10．【详解】（1）设林区调整计划后，第n年末的树木量为an(n＝1，2，3，…)，则 a1＝a(1＋200%)＝3a， a2＝a1(1＋100%)＝2a1＝6a，a3＝a2(1＋)＝a2＝9a， a4＝a3(1＋)＝a3＝a. 所以第四年末，林区树木量是原来树木量的倍． （2） 由题知，第n年末的树木量为： b1＝a(1＋200%)(1－5%)＝×a(1＋200%)＝a， b2＝b1×(1＋100%)×(1－5%)＝×b1(1＋)， b3＝b2(1＋)×(1－5%)＝×b2(1＋)， b4＝b3(1＋)×(1－5%)＝×b3(1＋)， b5＝b4(1＋)×(1－5%)＝×b4(1＋)， bn＝bn－1(1＋)×(1－5%)＝×bn－1×(1＋)， ∴bn＝. 11．【详解】根据题意，分析可得甲方案是等比数列，乙方案是等差数列． 甲方案获利：1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9 ＝≈42.65(万)， 而银行的利息成本为10(1＋0.1)10＝25.94万元， 那么甲的纯利润为42.65－25.94≈16.7万元； 乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5) ＝＝32.50(万元)， 贷款的本利和为：1.1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝17.534(万元)， ∴乙方案扣除本利后的净获利为：32.50－17.534≈15.0(万元)． 所以，甲方案的获利较多． 1．【详解】（1）由题意可知，等额本金还款方式中， 每月的还款额构成等差数列，记为， 用表示数列的前项和， 则，， 则， 故小张的该笔贷款的总利息为（元）． （2）设小张每月还款额为元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列， 则， 所以， 即， 因为， 所以小张该笔贷款能够获批. （3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为 （元）， 因为， 所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金的还款方式． 2．【详解】（1）设此人在A，B公司第n年的月工资分别为元，元， 则， . （2）若此人在A公司连续工作10年，则他的工资总收入为 （元）. 若此人在B公司连续工作10年，则他的工资总收入为 （元）. 因为，所以此人应该选择B公司. 3．【详解】（1）设表示广告费为0元时的销售量，由题意知 ， 由叠加法可得 即为所求． （2）设当时，获利为元， 由题意知，， 欲使最大，则，易知，此时. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4. 数列在日常经济生活中的应用 题型一 等差数列模型（零存整取、单利） 1．小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于（    ）元之间，并说明理由． A．1万~2万 B．2万~3万 C．3万~4万 D．4万~5万 2．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是 ；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ． 3．近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装､人工等费用24万元，从第二年起，包括人工､维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（    ） A．204万元 B．220万元 C．304万元 D．320万元 题型二 等比数列模型（复利、增长率、衰减） 4．某工厂年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 5．某钢厂的年产能由2002年的40万吨，增加到2012年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2022年的年产能将接近（   ） A．60万吨 B．61万吨 C．63万吨 D．64万吨 6．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果该塔形几何体的最上层正方体的棱长等于1，那么该塔形几何体中正方体的个数是 ． 7．现有某种细胞1000个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为；2小时后，细胞总数约为……则当细胞总数超过个时，所需时间大约为___________小时.（参考数据：，.结果保留整数） 题型三 数列求和模型（分期付款） 8．某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 9．若某政府增加环境治理费用a亿元，每个受惠的居民会将50%的额外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则 （最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1，）． 10．某高一学生家长于月日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值元的平板电脑给学生进行网上学习使用，该平台规定：分个月还清，从下个月日，即月日，开始偿还，每月日还款，且每个月还款钱数都相等．若购物平台的月利率为，则该家长每月的偿还金额是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 11．某单位制作了一个热气球用于广告宣传.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米至少要经过（    ） A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟 题型四 数列的综合应用 12．年某政府投资千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从年起，之后的若干年内，每年投资千万元用于此项目．年该项目的净收入为千万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长．记年为第年，为第年至此后第年的累计利润（含第年，累计利润累计净收入累计投入，单位：千万元），当时，认为该项目赢利． (1)求的表达式； (2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由．参考数据：，． 13．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据，，） 1．某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后共10次付清，也可以一次付清（此后一年定期存款税后利率设为2%，按复利计算）并优惠，为鼓励购房者一次付款，问优惠率应不低于多少？（    ）（a取整数，计算过程中参考以下数据：） A．8% B．9% C．11% D．19% 2．某公园免费开放一天，假设早晨6时30分有2人进公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人，……，按照这种规律进行下去，那么到上午11时30分公园内的人数是（    ） A． B． C． D． 3．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有（    ）(参考数据：) A． B． C．2020年小王的年利润为40000元 D．两年后，小王手中现款达41万 4．斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即，记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在庄子的《在宥》中，“鸿蒙”是创造天地元气的上古真神.在后世的神话传说中，“鸿蒙”二字引申为一个上古时期，或者说是天地开辟之前的混沌时期.我国民族品牌华为手机搭载的最新自主研发的操作系统亦命名鸿蒙.刚参加工作的郭靖准备向银行贷款5000元购买一部搭载鸿蒙系统的华为Mate40Pro5G手机，然后他分期还款，.郭靖与银行约定，每个月还一次欠款，并且每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，贷款的月利率为，设郭靖每个月还款数为，则下列说法正确的是（    ） A．郭靖选择的还款方式“等额本金还款法” B．郭靖选择的还款方式“等额本息还款法” C．郭靖每个月还款的钱数 D．郭靖第3个月还款的本金为 6．参加工作年的小郭，因工作需要向银行贷款万元购买一台小汽车，与银行约定：这万元银行贷款分年还清，贷款的年利率为，每年还款数为万元，则（    ） A． B．小郭第年还款的现值为万元 C．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法” D．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法” 7．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（    ） A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件 B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 8．市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004，则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，计算结果取整数） A．选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息为289200元 B．选择方式②，小张每月还款额为3800元 C．选择方式②，小张总利息为333840元 D．从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式① 9．已知某新型水稻产量的年增长率为．某粮食种植基地计划种植该品种水稻．已知该基地2020年储有该品种水稻的产量为15万吨．现计划从下一年（2021年）起，每年年初种植，年底从中分出固定的产量用于销售，15年后清空种植并更换种植品种．设年后该品种水稻的剩余产量为万吨． (1)设每年用于销售的产量为万吨，请用和表示； (2)求（用表示）． 10．某林区原有树木量为a，改变植树计划，第一年植树增长率为200%，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的. （1）假设成活率为100%，第四年末，林区的树木量a4是原来的树木量的多少倍？ （2）如果每年都有5%的树木死亡，设第n年末的树木量为bn，写出数列{bn}的递推公式． 11．某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5 000元． 两种方案的期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更多？(计算精确到千元，参考数据：1.110≈2.594，1.310≈13.796) 1．市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式： ①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同； ②等额本息：每月的还款额均相同． 银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款）．已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%． （1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息． （2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）． 参考数据：． （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式． 2．某高校2021届毕业生春季大型招聘会上，A，B两家公司的工资标准分别是：A公司许诺第一年的月工资为3000元，以后每年月工资比上一年月工资增加300元；B公司许诺第一年月工资为3500元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上增加5%.若某人被A，B两家公司同时录取，试问： （1）若此人分别在A公司或B公司连续工作年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？ （2）此人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资总收入作为应聘的标准，此人应该选择哪家公司？ 参考数据：. 3．某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件． （1）试写出销售量与n的函数关系式； （2）当时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4. 数列在日常经济生活中的应用 题型一 等差数列模型（零存整取、单利） 1．小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于（    ）元之间，并说明理由． A．1万~2万 B．2万~3万 C．3万~4万 D．4万~5万 【答案】B 【分析】设存入本金元，再列出方程求解即可. 【详解】设小蕾存入银行的本金元，依题意，，解得（元）， 所以小蕾存入银行的本金介于2万~3万元之间. 故选：B 2．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是 ；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ． 【答案】， 【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可. 【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块， 则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列， 所以，an＝9＋（n－1）×9＝9n， 所以，a27＝9×27＝243， 前27项和为：＝3402. 3．近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装､人工等费用24万元，从第二年起，包括人工､维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（    ） A．204万元 B．220万元 C．304万元 D．320万元 【答案】A 【分析】设引进设备n年后总盈利为万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为，构成一等差数列，由等差数列前公式求得第年总成本，这样可得总盈利，由二次函数性质可得最大值； 【详解】设引进设备年后总盈利为万元，设除去设备引进费用，第年的成本为万元， 则由题意，知为等差数列，前年成本之和为万元， 故，， 所以当时，， 即总盈利的最大值为204万元. 故选：A. 题型二 等比数列模型（复利、增长率、衰减） 4．某工厂年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设年平均增长率为，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设年年底总产值为，年平均增长率为，则， 所以，故． 故选：B. 5．某钢厂的年产能由2002年的40万吨，增加到2012年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2022年的年产能将接近（   ） A．60万吨 B．61万吨 C．63万吨 D．64万吨 【答案】C 【分析】设年增长率为x，由题意得，根据指数运算性质，可得2022年的年产能 【详解】设年增长率为x，则2012年为：，即． 2022年为：（万吨）． 故选：C 6．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果该塔形几何体的最上层正方体的棱长等于1，那么该塔形几何体中正方体的个数是 ． 【答案】7 【分析】设从最底层开始的第n层的正方体棱长为，则由题意分析得为以8为首项，为公比的等比数列，直接利用通项公式即可求解. 【详解】设从最底层开始的第n层的正方体棱长为， 则由题意得为以8为首项，为公比的等比数列， 其通项公式为． 令，得，故该塔形几何体中正方体的个数为7． 故答案为：7. 7．现有某种细胞1000个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为；2小时后，细胞总数约为……则当细胞总数超过个时，所需时间大约为___________小时.（参考数据：，.结果保留整数） 【答案】40 【分析】根据分裂规律，可得细胞在每个小时后的个数成等比数列，由此列式计算即可． 【详解】记个小时后细胞个数为， 则，， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴. 由，得，则， ∴， 故当细胞总数超过个时，所需时间大约为40小时. 故答案为：40 题型三 数列求和模型（分期付款） 8．某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】根据从2021年6月1日起，将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，即求解. 【详解】设此人2020年6月1日存入银行的钱为元，2021年6月1日存入银行的钱为元，以此类推， 则2025年6月1日存入银行的钱为元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有元． 由题意，得，，，……， ， 所以． 故选：D． 9．若某政府增加环境治理费用a亿元，每个受惠的居民会将50%的额外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则 （最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1，）． 【答案】200 【分析】由题意可知，国内消费额构成等比数列，由等比数列求和公式求解即可. 【详解】由题意可知， ， 解得． 故答案为：200. 10．某高一学生家长于月日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值元的平板电脑给学生进行网上学习使用，该平台规定：分个月还清，从下个月日，即月日，开始偿还，每月日还款，且每个月还款钱数都相等．若购物平台的月利率为，则该家长每月的偿还金额是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设每月的偿还金额都是元，根据等比数列的求和公式可得出关于的等式，即可求得结果. 【详解】设每月的偿还金额都是元，则， 即，得． 故选：B. 11．某单位制作了一个热气球用于广告宣传.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米至少要经过（    ） A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟 【答案】B 【分析】根据题意可知热气球在每分钟上升的高度构成等比数列，，公比，再根据等比数列的前项和公式可求得，然后由即可解出． 【详解】由题意知，热气球在每分钟上升的高度构成等比数列，则表示热气球在第分钟上升的高度（单位：米），且，公比. 经过分钟，热气球上升的总高度. 因为，，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米. 故选：B. 题型四 数列的综合应用 12．年某政府投资千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从年起，之后的若干年内，每年投资千万元用于此项目．年该项目的净收入为千万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长．记年为第年，为第年至此后第年的累计利润（含第年，累计利润累计净收入累计投入，单位：千万元），当时，认为该项目赢利． (1)求的表达式； (2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由．参考数据：，． 【答案】(1) (2)年，理由见解析 【分析】（1）计算出第年至此后第年的累计投入和累计净收入，结合已知条件可得出的表达式； （2）利用数列的单调性分析数列的单调性，计算出、的值，即可得出结论. 【详解】（1）解：由题意，知第年至此后第年的累计投入为（千万元）， 第年至此后第年的累计净收入为 （千万元）． 所以，． （2）解：， 当时，，故当时，递减； 当时，，故当时，递增． 又，，． ∴该项目将从第8年开始并持续赢利，即该项目将从2026年开始并持续赢利． 13．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据，，） 【答案】(1)， (2)，今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨 【分析】（1）由题意，分析得到数列是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列，由此求解即可； （2）利用等差数列与等比数列的求和公式列式求解即可. 【详解】（1）由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列， ∴是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列；是以为首项，1.5为公差的等差数列， ∴，. （2）设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为， ∴， 当时，. ∴今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨. 1．某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后共10次付清，也可以一次付清（此后一年定期存款税后利率设为2%，按复利计算）并优惠，为鼓励购房者一次付款，问优惠率应不低于多少？（    ）（a取整数，计算过程中参考以下数据：） A．8% B．9% C．11% D．19% 【答案】B 【分析】设优惠率应不低于，由已知可得，，解不等式可得答案. 【详解】设优惠率应不低于， 由题意可得，， 即， 解得， 又∵a取整数， ∴优惠率应不低于9%， 故选：B． 2．某公园免费开放一天，假设早晨6时30分有2人进公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人，……，按照这种规律进行下去，那么到上午11时30分公园内的人数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，结合分组求和法即可求解 【详解】由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内， 进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列， 出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列， 记第个30分钟内进入公园的人数为，出来的人数为， 则，， 则上午11时30分公园内的人数为 . 故选：B. 3．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有（    ）(参考数据：) A． B． C．2020年小王的年利润为40000元 D．两年后，小王手中现款达41万 【答案】BCD 【分析】由题可知，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为之间的递推关系为，，进而根据递推关系求出通项公式即可得答案. 【详解】对于A选项，元，故A错误 对于B选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故B正确； 对于C选项，由得 所以数列是首项为公比为1.2的等比数列， 所以，即 所以2020年小王的年利润为元，故C正确； 对于D选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故D正确. 故选： BCD. 4．斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即，记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】选项A分别求出可判断，选项B由，得，相加得可判断,选项C，由，， 两式错位相减可判断.选项D.由可判断. 【详解】因为，，所以，则A正确； 由，得，相加得， 所以，所以B正确； 因为，， 两式错位相减可得， 所以，所以C错误； 因为，所以，所以D错误. 故选：AB. 5．在庄子的《在宥》中，“鸿蒙”是创造天地元气的上古真神.在后世的神话传说中，“鸿蒙”二字引申为一个上古时期，或者说是天地开辟之前的混沌时期.我国民族品牌华为手机搭载的最新自主研发的操作系统亦命名鸿蒙.刚参加工作的郭靖准备向银行贷款5000元购买一部搭载鸿蒙系统的华为Mate40Pro5G手机，然后他分期还款，.郭靖与银行约定，每个月还一次欠款，并且每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，贷款的月利率为，设郭靖每个月还款数为，则下列说法正确的是（    ） A．郭靖选择的还款方式“等额本金还款法” B．郭靖选择的还款方式“等额本息还款法” C．郭靖每个月还款的钱数 D．郭靖第3个月还款的本金为 【答案】BC 【分析】每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，他采取的是等额本息还款法，每个月还款数为，根据利率求出每个月所还本金（由于有利息，每个月所还本金不相同），所有本金和为5000，由此可求得． 【详解】每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，他采取的是等额本息还款法， 每个月还款数为，则每个月所还本金为，，，…，， 所以，解得， 故选：BC． 6．参加工作年的小郭，因工作需要向银行贷款万元购买一台小汽车，与银行约定：这万元银行贷款分年还清，贷款的年利率为，每年还款数为万元，则（    ） A． B．小郭第年还款的现值为万元 C．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法” D．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法” 【答案】BD 【分析】因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法”，所以利用等比数列前项和公式求出，再设小郭第3年还款的现值为，根据复利规则求出． 【详解】解：小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等， 小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D正确，C错误， 设每年应还万元，还款10次， 则该人10年还款的现金与利息和为， 银行贷款万元10年后的本利和为． ， ， 即，故A错误． 设小郭第三年还款的现值为，则，所以，故B正确； 故选：BD 7．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（    ） A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件 B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 【答案】ABC 【解析】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，可得，即可判断四个选项的正误. 【详解】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且， 由可得，两式相减得：， 所以，所以每分钟内新感染的病毒构成以为首项，为公比的等比数列， 所以， 在第3分钟内，该计算机新感染了个文件，故选项A正确； 经过5分钟，该计算机共有个病毒文件，故选项B正确； 10分钟后，计算机感染病毒的总数为， 所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确； 故选：ABC 8．市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004，则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，计算结果取整数） A．选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息为289200元 B．选择方式②，小张每月还款额为3800元 C．选择方式②，小张总利息为333840元 D．从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式① 【答案】ACD 【分析】等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，则，，等额本息还款方式中，设小张每月还款额为元， 则， 分别利用等差数列、等比数列模型研究，依次判断即可 【详解】对于A，由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，表示数列的前项和，则，， 则， 故小张该笔贷款的总利息为（元），故A正确. 对于B，设小张每月还款额为元， 则， 所以， 即，故B错误. 对于C，小张采取等额本息贷款方式的总利息为（元），故C正确. 对于D，因为，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①，故D正确. 故选：ACD 9．已知某新型水稻产量的年增长率为．某粮食种植基地计划种植该品种水稻．已知该基地2020年储有该品种水稻的产量为15万吨．现计划从下一年（2021年）起，每年年初种植，年底从中分出固定的产量用于销售，15年后清空种植并更换种植品种．设年后该品种水稻的剩余产量为万吨． (1)设每年用于销售的产量为万吨，请用和表示； (2)求（用表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得的递推关系，从而可求的通项公式. （2）根据15年后清空种植并更换种植品种结合（1）的结果可得可求. 【详解】（1）由题设可得，且， 故， 故， 故， 而符合该式，故. （2）由（1）可得， 因为15年后清空种植并更换种植品种，故， 所以，故. 10．某林区原有树木量为a，改变植树计划，第一年植树增长率为200%，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的. （1）假设成活率为100%，第四年末，林区的树木量a4是原来的树木量的多少倍？ （2）如果每年都有5%的树木死亡，设第n年末的树木量为bn，写出数列{bn}的递推公式． 【答案】（1）倍；（2）bn＝. 【分析】（1）设林区调整计划后，第n年末的树木量为an(n＝1，2，3，…)，然后根据题意依次可求出， （2）由题意可得b1＝a(1＋200%)(1－5%)＝×a(1＋200%)＝a，bn＝bn-1(1＋)×(1－5%)＝×bn－1×(1＋)，从而可得答案 【详解】（1）设林区调整计划后，第n年末的树木量为an(n＝1，2，3，…)，则 a1＝a(1＋200%)＝3a， a2＝a1(1＋100%)＝2a1＝6a，a3＝a2(1＋)＝a2＝9a， a4＝a3(1＋)＝a3＝a. 所以第四年末，林区树木量是原来树木量的倍． （2） 由题知，第n年末的树木量为： b1＝a(1＋200%)(1－5%)＝×a(1＋200%)＝a， b2＝b1×(1＋100%)×(1－5%)＝×b1(1＋)， b3＝b2(1＋)×(1－5%)＝×b2(1＋)， b4＝b3(1＋)×(1－5%)＝×b3(1＋)， b5＝b4(1＋)×(1－5%)＝×b4(1＋)， bn＝bn－1(1＋)×(1－5%)＝×bn－1×(1＋)， ∴bn＝. 11．某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5 000元． 两种方案的期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更多？(计算精确到千元，参考数据：1.110≈2.594，1.310≈13.796) 【答案】甲方案的获利较多． 【分析】根据甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，利用其前n项和求解判断. 【详解】根据题意，分析可得甲方案是等比数列，乙方案是等差数列． 甲方案获利：1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9 ＝≈42.65(万)， 而银行的利息成本为10(1＋0.1)10＝25.94万元， 那么甲的纯利润为42.65－25.94≈16.7万元； 乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5) ＝＝32.50(万元)， 贷款的本利和为：1.1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝17.534(万元)， ∴乙方案扣除本利后的净获利为：32.50－17.534≈15.0(万元)． 所以，甲方案的获利较多． 1．市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式： ①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同； ②等额本息：每月的还款额均相同． 银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款）．已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%． （1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息． （2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）． 参考数据：． （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式． 【答案】（1）（元） ；（2）小张申请该笔贷款能够获批 ；（3）小张应选择等额本金的还款方式． 【分析】（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息； （2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断； （3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断. 【详解】（1）由题意可知，等额本金还款方式中， 每月的还款额构成等差数列，记为， 用表示数列的前项和， 则，， 则， 故小张的该笔贷款的总利息为（元）． （2）设小张每月还款额为元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列， 则， 所以， 即， 因为， 所以小张该笔贷款能够获批. （3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为 （元）， 因为， 所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金的还款方式． 2．某高校2021届毕业生春季大型招聘会上，A，B两家公司的工资标准分别是：A公司许诺第一年的月工资为3000元，以后每年月工资比上一年月工资增加300元；B公司许诺第一年月工资为3500元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上增加5%.若某人被A，B两家公司同时录取，试问： （1）若此人分别在A公司或B公司连续工作年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？ （2）此人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资总收入作为应聘的标准，此人应该选择哪家公司？ 参考数据：. 【答案】（1），；（2）此人应该选择B公司. 【分析】（1）利用等差、等比数列的通项公式，即得解； （2）利用等差、等比数列的求和公式，即得解. 【详解】（1）设此人在A，B公司第n年的月工资分别为元，元， 则， . （2）若此人在A公司连续工作10年，则他的工资总收入为 （元）. 若此人在B公司连续工作10年，则他的工资总收入为 （元）. 因为，所以此人应该选择B公司. 3．某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件． （1）试写出销售量与n的函数关系式； （2）当时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？ 【答案】(1)(2) 【详解】试题分析： (1)根据若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件，可得，利用叠加法可求得. (2)根据题意在时,利润,可利用求最值. 试题解析： （1）设表示广告费为0元时的销售量，由题意知 ， 由叠加法可得 即为所求． （2）设当时，获利为元， 由题意知，， 欲使最大，则，易知，此时. 考点：叠加法求通项,求最值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $null