第1章 1.2 数列的函数特性-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

1.2 数列的函数特性 白题 基础过关 限时：20min 题组1数列的增减性 6.*(2025·陕西渭南高二期末)设{an}与 1.·北师教材变式(2025·江苏苏州高二月考)》 {bn}是两个不同的无穷数列，记集合M={kI 已知数列{an}的通项公式是a, 3n+1,那么 n ak=b,k∈N*},若{an}为递增数列，{bn}为 递减数列，则M中最多有 个元素 这个数列是 ( 7.*(2025·江西南昌高二月考)已知数列 A.递增数列 B.递减数列 {an}的通项公式为an=p”+g(p,g∈R),且 C.摆动数列 D.常数列 2.·(多选)(2025·山西大同高二期末)下列 a1= 2a=4 数列{an}的通项公式中，{an}是递增数列的 (1)求{an}的通项公式； 是 ( (2)判断数列{α}的增减性，并说明理由， A.an=-3n-1 B.an=5n-3 C.an=7+2” D.a =(-1)"n2 3.*(2025·江西景德镇高二期末)已知数列 a,的通项公式a,=-2+3n+3,则数列{a, 4 的最大值是 A.3 B.2 题组2数列的周期性 G 4 n 8.*(2025·江西吉安高二期末)已知数列 4.*(2025·江西师大附中高二期末)已知数 {an}满足a1=1,a2=2,且an*2=a1-an(n∈ N*),则a225= () 列{a}的通项公式为an= -) A.-1 B.1 则数列{an} C.-2 D.2 A.有最大项，没有最小项 9.*(2025·江西南昌二中高二月考)对于数 B.有最小项，没有最大项 an+1 C.既有最大项又有最小项 列a.,若a-50+3且a,=1,则aw D.既没有最大项也没有最小项 5.*(2025·江西九江高二月考)已知数列 A.0 B.-1 n+入 是递减数列，则入的取值范围为 C.1 ( 10.(2025·江西上饶高二月考)若数列 A.(0,+∞) B.(1,+∞) {an}满足a1=a2=-2,an+2=|a+1-an1,则 C.[1,+∞) D.[0,+∞) a2026-a2025= 选择性必修第二册·BS黑白题02 §1阶段综合 于错题 黑题 阶段强化 限时：45min 1.*已知数列{an}满足：对于Vp,9∈N*,均 图象是 有apy=a,a,且a2=2,则a12= ( A.16 B.32 C.64 D.128 2.·(2025·江西抚州高二月考)若数列{an} B 的前四项依次为2,12,112,1112，则{a,}的一 个通项公式为 ( A.an=10w-1+2 10"+8 D B.a= 9 7.*(2025·江西南昌二中高二月考)已知数 10-8 C.an= 9 列{an}满足an= 若对于 D.an=(n-1)(45n-80)+2 λn-5(n≥6) 3.*(2025·河北衡水高二期末)在数列{an} 任意的n∈N,都有an>ant1,则实数入的取值 中，若a1=3,an=n(an+1-an),则666是{an}的 范围是 ( A.第111项 B.第222项 B.() C.第333项 D.第666项 4.*(2025·重庆八中高二月考)已知数列 C. 2 D(品 {an}满足a1=2,a2=3,an+2等于an+1·an的个 8.**(2025·江苏苏州高二月考)anan+2=C 位数，则a2024= (Hn∈N,c为非零常数)是数列{an}满足： A.2 B.4 an=an+4(Hn∈N*)的 C.6 D.8 A.充分不必要条件 5.*(2025·江西上饶高二期中)已知{a,}是 各项均为整数的递增数列，且a1>4,若a1+a2+ B.必要不充分条件 …+an=40,则n的最大值为 C.充要条件 A.5 B.6 D.非充分非必要条件 C.7 D.8 9.*(2025·江西南昌高二月考)若0n= 6.**(2025·辽宁鞍山高二期中)一给定函数 (-1)”(n2+m),且数列{a2m-1}是递减数列，数 y=(x)的图象在下列图象中，并且对任意的 列{a2}是递增数列，则t的取值范围是() an∈(0,1)，由关系式a1=f(an)得到数列 A.(-8,+∞) B.(-6,+0) {an}满足a+1<an(n为正整数)，则该函数的 C.(-4,+∞) D.（-2,+∞) 第一章黑白题03正文参 第一章 §1数列的概念及其函数特性 1.1数列的概念 白题基础过关 1.B解析：①正确，其是按一定次序排列的一列数，符合定 义；②错误，cos0,sin1,tan2都是数，而且是按一定次序排 列的，所以它是数列；③错误，因为数列的通项公式不一定是 唯一的.故正确的有1个 2.ABD解析：构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是 无序的，故A错误；数列1,3,5,7是有穷数列，而数列1,3， 5,7,…是无穷数列，故B错误；由无穷数列的概念，易知 C正确；数列是按一定次序排列的一列数，若a,b都代表数 时构成数列；若a,b中至少有一个不代表数时不能构成数 列，故D错误 四易错提醒 数列与集合的区别： ①构成数列的数是有序的，集合中的元素是无序的； ②数列中的项可以相同，集合中的元素具有互异性. 3.B解析：因为an=n2-2n-1(n∈N),所以a3=32-2×3- 1=2. 4.ABC解析：观察数列{a,}的前5项可知，{a.}的通项公式 可能为a-r--eX).因为二 {商数故a=0mm若a,=血则=血子=1， 1,n为偶数， 不合题意 5.C解析：数列2，√5,22，√T,…,即数列2，√5，√8， I,…的通项公式是an=√3n-I,n∈N,令an= √3n-1=√38→n=13,所以√38是它的第13项. 6.n2+5n+6解析：可以先计算n=1,2,3,…时顶点的个数，可 发现顶点计算的一般规律. 当n=1时，顶点个数为12=3+3×3；当n=2时，顶点个数 为20=4+4×4；当n=3时，顶点个数为30=5+5×5… 其规律为：第n个图形应由正n+2边形“扩展”而来，原有顶 点个数为n+2,每条边向外扩展正n+2边形，多出n+2个顶 点，因此第n个图形有(n+2)+(n+2)(n+2)=(n2+5n+6)个 顶点 7.D解析：数列{an}满足a1=2,a1=3an-n,所以a2=3a1 1=5,a3=3a2-2=13. 8.C屏折：因为a+1(≥2，aeN)且e-,所以 da-l 号1，解得a=2,则a=1,即2=+1，解得a1=1 2a2 9.B解析：设a4=m,则me[2,3],得a3=m-1,a2=2(m- 1)=2m-2,所以a1=2m-3∈[1,3]. 10. 解析：由数列{a,}对任意正整数n,均满足a1a2a3… an=n2,当n=2时，可得a1a2=4;当n=3时，可得a1a2a3= 9,所以a,=a4、9 a1a24 参考答案 考答案 数列 1.2数列的函数特性 白题 基础过关 n+1 3n2+4n+1 1.A n 解析：”.=3n+1 =3n+4_ =1+ an 3n2+4n 3n+1 1 >1，a+1>a,因此，数列{an}是递增数列. 3n2+4 2.BC解析：对于A,an+1-an=-3(n+1)-1+3n+1=-3<0, 数列{an}为递减数列，A不符合题意； 对于B,an+1-an=5(n+1)-3-5n+3=5>0,数列{an}为递 增数列，B符合题意； 对于C,an+1-an=7+2t1-7-2=2”>0,.数列{an}为递增 数列，C符合题意； 对于D,a1-a.=(-1)1(n+1)2-(-1)"n2=(-1)1· 1121 (2m+2n+1),:2m+2n+1=2(n+2)+2>0,当n为偶 数时，a+1-an<0,数列{an}不是递增数列，D不符合题意 四方法总结 一般通过作差（比较a+1-a.与0的大小关系）或作商比 较与1的大小关系）两种方法判断数列增减性 a 3 3.C解析：因为a,=-n+3n+子，其对应的函数为二次函数 y+3x+子，开口向下，对称辅为直线x=子，又meN， 3 3 所以n=1或2时，an取得最大值，故数列{an}的最大值是 11 a1=a2=4 4c解析：曲题意得。=[（仔）”门户-（仔）广，令= ()八>0期=1号（）门。 ,.a=t2-t..y= F的对称编为直线=分，在(，分 上单调递减，在 (仔+=）上单调递增，当：=号时，%取最小值，当：=1 时，a取最大值，∴.{an}既有最大项又有最小项. 5A解析：数列{}是遥诚数列，故，即 2” 2n+2入>n+1+入，A>1-n,且neN*,故A>0. 6.1解析：因为{an}为递增数列，{bn}为递减数列，{an}与 {bn}是两个不同的无穷数列，故{an}的散点图呈上升趋势， {bn}的散点图呈下降趋势，两者至多有1个交点. a1=ptg=- 7.解：(1)由题意得 3解得 p=2'所以a.= a=p2+q= g=-1, (3广-1 （2)a,是递减数列理由：因为a-a=(分）”-1 黑白题01 [(分广-小号（分）”=-(})” <0,所以an+1<an, 即{an}是递减数列. 8.B解析：因为a2=a1-a,所以a+6=a5-an4=(a4 a+3）-an+4=-ant3=-（(ant2-an1)=-[(a1-an）-an+1]=an, 故数列{a}是周期为6的周期数列，而2025除以6余3，故 a22s=a3=a2-a1=1. 38 9.B解析：因为a1= a,+11a.5+5 1 -50.t35· 3 5 250.-15a=1,则a2=-18 8 525-15-1,4,=-1. 8 5-25-15 181 0,a42-50-153,4、1 8 525x-15 =1,a6=-5 3 8 25-15-1,…,以此类推，对VneN,a4=a,即数列{a, 是周期为4的数列，故a226=ax506+2=a2=-1. 10.2解析：利用a2=|an+1-an1,结合a1=a2=-2,依次迭代， 可得数列{an}的前n项依次为-2，-2,0,2,2,0,2,2，…，且 从第3项起以3为周期，所以a226-a2s=a4-a3=2. §1阶段综合 黑题 阶段强化 1.C解析：因为对于Vp,9∈N,均有apn=a,a,所以令p= 9=2,有a4=a2*2=a2a2=2×2=4,令p=q=4,有a8=a444= a4a4=4×4=16,令p=8,9=4,有a2=ag*4=aga4=16×4=64. 2.B解析：由2=10-8,12=100-88,112=1000-888,1112= 1000-888,可得{a,的-个通项公式为a,=10- 9+ (10-1)=10+8 9 3.B解析：因为an=n(a+1-an),所以(n+1)an=na1,所以 只1所以只}是常数列，所以兰-导=3，则a,=3n 由3n=666,解得n=222. 4.D解析：因为a1a2=6,故a=6;因为a2a3=18,故a4=8;因 为aa4=48,故a5=8;因为a4a5=64,故a6=4;因为a5a6= 32,故a,=2;因为a6a,=8,故ag=8;因为a7ag=16,故ag=6; 因为agag=48,故a10=8;故前10项为2,3,6,8,8,4,2,8,6， 8,故数列{an}从第3项开始项的大小周期性出现，且周期为 6,故a224=a36x6+8=ag=8. 5.A解析：要使n最大，则数列{an}的项要尽可能的小，注意 到a1≥5，a2≥6，依此类推，5+6+7+8+9=35<40,5+6+7+8+ 9+10=45>40,所以n的最大值为5. 6.B解析：由题意，对任意的an∈(0,1)，由关系式aa+1= f(an)得到数列{an}满足aa+1<a(n为正整数)，所以f(an)< an对任意an∈(0,1)恒成立，即Hx∈(0,1)，f(x)<x,于是 x∈(0,1)时，函数的图象都在y=x图象的下方. 7.B解析：要满足an>a+1,则数列an}是递减数列，则只需要 ( 2A<0, 7 满足0<入<1， 解得 2A<12 (分tx51 四易错提醒 根据分段形式的数列增减性求参数时，需要注意它和对应函数 的不同，数列是定义在正整数集（或其子集）上的函数，所以对 于递减数列a.= b,n≤k,需满足的条件为a4>0u (c.n>k, 选择性必修第二册·BS 8.A解析：aGat72=c(Vn∈N,c为非零常数)，.at2· an=c(YnEN*),..anam2=amt2a4(YnEN"),..an=at (Vn∈N),anan+2=c是an=ant4的充分条件. _2,n为奇数，则a,=a(YneN),但a,a2=C 若a,=仁1，n为偶数， (HneN',c为非零常数)不成立，.不是必要条件 9.C解析：数列{a2-1}是递减数列，.当n为奇数时，a2 an<0,即-[(n+2)2+t(n+2)]-[-(n2+m)]<0,整理得，-4n- 4-2t<0,∴.2t>-4n-4,故2>(-4n-4)m:n=1时，(-4n 4)mr=-8,.2t>-8,即t>-4. :数列{a2n}是递增数列，.当n为偶数时，a*2-a,>0,即 (n+2)2+t(n+2)-(n2+m)>0,整理得，4n+4+2t>0,.2t> -4n-4,故2t>(-4n-4)m…':n=2时，(-4n-4)mx=-12, ∴.2>-12，即t>-6.综上得，t的取值范围是(-4，+∞). 10.AcD解析：对于A,点P(1,2)在曲线Cy=(分)】月 上，a=点0（分，2）点P(分（分）)，因此 4=(分)）户A正确；对于B,由选项A知，4=（行）门， (日)，（日）产)(（安），())) 4=传))-（传）户，以类能=（兮）广 a1=(分)广，B错误；对于C,设直线1与曲线C:y (兮)广的交点纵坐标为，观察图象知口<a<a,<…<, a2>a4>a6>…>x0,因此a2s<a24,C正确；对于D,由图 知，la2-a1l>la3-a21>|a4-a3l>…>|a.-an-1l,因此lan an-1l>la1-anl,D正确。 .5或6解析：数列{(a+3)()广} 的最大项为 】 +3)(g)广≥+2() 第k项， k+2 ≤ k+3 8≤+3，即5≤k≤6：k是正整数k=5或6， 9k+4' 12.11190解析：当m=48时，a,=m=48→a2=24→a3=12 →4=6，此时共3步，结合题干可知后续还需要8步，故 当m=48时，使得an=1至少需要11步“雹程”； 若ag=1,则a,=2,a6=4,则a5=1或a5=8. ①当a5=1时，a4=2,a3=4:i)a2=1,a1=2;i)a2=8, a1=16; ②当a,=8时，a4=16,a3=5或a3=32:i)a2=10,a1=3或 a1=20;i)a2=64,a1=21或a1=128; ∴ag=1,m所有可能的取值集合为{2,3,16,20,21,128}， .m所有可能取值的和为2+3+16+20+21+128=190. 13.239解析：由已知得a,=3.若a=1,则有a1=3,矛盾； 若a1=k≥3，则a4=aa,=3≤a1,与{a.}递增矛盾；故a1=2. 因为a1=2,则a2=a,=3,a3=a2=6,所以a6=a3=9,a,= a6=18. 又a3<a4<a5<a6,即6<a4<a5<9,所以a4=7,a5=8, 则a,=a4=12,a12=aa,=21.又ag<a1o<a<a2,即18<a1o< 黑白题02