10.4 三元一次方程组 同步练习 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

10.4《三元一次方程组》同步练习 一、单选题 1．下列四组数值中，（　　）是方程组的解． A． B． C． D． 2．若实数x，y，z满足，则x+y+6z＝（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．不能确定值 3．解方程组时，要使解法较为简便，应（　　） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 4．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；求a，b，c的值为（　　） A．a＝﹣2，b＝3，c＝﹣5 B．a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5 C．a＝﹣5，b＝﹣2，c＝3 D．a＝﹣5，b＝3，c＝﹣2 5．已知方程组，则x+y+z的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．对于有理数x、y定义一种运算“□”：x□y＝ax+by+c，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知3□5＝15，4□7＝28，则1□1的值为（　　） A．﹣1 B．﹣11 C．1 D．11 二、填空题 7．三元一次方程组的解为　 　 ． 8．小川同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组解不出x、y、z的具体数值，但可以解出x+y+z的值为　 　． 9．若|x﹣2y+1|+|z+y﹣5|+|x﹣z﹣3|＝0，则x+y+z＝ 　 　 ． 10．在等式y＝ax2+bx+c中，若x＝0，y＝﹣3；若x＝1，y＝0；若x＝﹣1，y＝0；若x＝2，y＝　 　 ． 11．已知：，且3a+2b﹣4c＝9，则a+b+c的值等于 　 　 ． 12．数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为a，b，c且a＞b＞c，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏，某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 a a 31 乙 a c 19 丙 a c 15 由此推断a的值为 　 　 ． 13．三元一次方程x+2y+3z＝100的非负整数解个数有　 　 个． 三、解答题 14．（解方程组： （1）； （2）． 15．解方程组：． 16．[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组． 解：把②代入①得，x+2×1＝3，解得x＝1． 把x＝1代入②得y＝0， 所以方程组的解为． （2）已知，求x+y+z的值． 解：①+②，得10x+10y+10z＝40，③ ③÷10，得x+y+z＝4． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若，求x+y+z的值． 17．一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 18．小明在解方程组时发现，可以将①+②得：5x﹣5y＝10③，将③÷5得：x﹣y＝2④，将④×2得：2x﹣2y＝4⑤，用⑤﹣①得：y＝1，②﹣⑤得：x＝3，∴方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． （1）已知关于x、y的方程组，则方程组的解是 　 　 ． （2）已知关于x，y，z的方程组，则x+y+z＝　 　 ，方程组的解是 　 　 ． （3）对于有理数x，y定义一种新的运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式的右边是有理数的运算，若3*5＝16，4*7＝23，求1*1的值． 19．阅读材料： 已知方程组，求x+y+z的值． 解法一：由原方程组，得． ②﹣①，得x＝3﹣2y．③ 把③代入①，得2（3﹣2y）+z＝8﹣3y， z＝2+y． 所以x+y+z＝（3﹣2y）+y+（2+y）＝5． 解法二：将原方程组整理得， ②﹣①，得x+2y＝3 ③ 把③代入①，得x+y+z＝5． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求x﹣2y+z的值． 20．【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法 例1：解方程组 解：由①得y＝7﹣x③ 将③代入②得3x+7﹣x＝17 解得x＝5 将x＝5代入③，得y＝2 所以 小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试： （1）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组 　　 ． （2）求解出上述x、y、z的值． 21．对于两个正数a，b（a≠1），定义一种新的运算，记作（a，b），即：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：34＝81，则（3，81）＝4． （1）根据上述运算填空：（2，4）＝　 　；（2，8）＝　 　 ：（2，32）＝　 　 ． （2）先观察（2，4），（2，8）与（2，32）的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：（a，m）+（a，n）＝　 　 ，并证明你发现的结论； （3）如图①，正方形ABCD的边长为m，小正方形CGFE的边长为n，若（a，m）+（a，n）＝（a，p），（2，m+n）＝4，（2，p）＝3．求图中阴影部分的面积． （4）如图②，四边形ABED，CGHD是长方形纸条，AD＝CD＝m，CG＝n，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形HFED沿着DE翻折得到长方形DEMN，若（a，m）＝（b，n）＝2，长方形ABMN的面积是15，AN＝5，a+b＝3，求（a﹣b）2的值． 参考答案 一、单选题 1．解： ①+③得：4a＝﹣4， 解得：a＝﹣1， ②+③得：5a﹣2b＝﹣9④， 把a＝﹣1代入④得：﹣5﹣2b＝﹣9， 解得：b＝2， 把a＝﹣1，b＝2代入①得：﹣1+2+c＝0， 解得：c＝﹣1， 故原方程组的解为， 故选：B． 2．解：， ①﹣②得：y＝﹣z﹣2， 把y＝﹣z﹣2代入①得：x+z+2＝1﹣4z， 解得：x＝﹣1﹣5z， 把x＝﹣1﹣5z，y＝﹣z﹣2代入得：x+y+6z＝﹣1﹣5z﹣z﹣2+6z＝﹣3． 故选：A． 3．解：第二个，第三个方程消去y，把三元方程组转化为二元方程组，比较简单． 故选：B． 4．解：∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3； ∴， 解得：； 故选：B． 5．解：， ①+②+③得： 2x+2y+2z＝3+（﹣6）+9， ∴x+y+z＝3， 故选：A． 6．解：∵3□5＝3a+5b+c＝15，4□7＝4a+7b+c＝28， ∴， 解这个方程组，得 ， 所以1□1＝a+b+c＝13﹣2b+b+b﹣24＝﹣11． 故选：B． 二、填空题 7．解：， ①+②+③得：2x+2y+2z＝8， 解得：x+y+z＝4④， ④﹣①得：z＝﹣1， ④﹣②得：x＝3， ④﹣③得：y＝2， ∴原方程组的解为：， 故答案为：． 8．解：， ①+②，得5x+5y+5z＝20， ∴x+y+z＝4． 故答案为：4． 9．解：∵|x﹣2y+1|+|z+y﹣5|+|x﹣z﹣3|＝0， ∴， 解得， ∴x+y+z＝5+3+2＝10， 故答案为：10． 10．解：根据待定系数法可得： ， 解得， ∴y＝3x2﹣3， 当x＝2时，y＝3x2﹣3＝9． 故答案为：9． 11．解：设k， 则a＝3k，b＝5k，c＝7k， 代入3a+2b﹣4c＝9， 得9k+10k﹣28k＝9， 解得：k＝﹣1， ∴a＝﹣3，b＝﹣5，c＝﹣7， 于是a+b+c＝﹣3﹣5﹣7＝﹣15． 故本题答案为：﹣15． 12．解：根据表格可判断，第四次时丙拿卡片b， 甲总分最大，故第五次时，甲拿卡片a，乙拿卡片b， 以此类推，第一次时，乙拿卡片b，丙拿卡片c， 第二次时，甲拿卡片b，丙拿卡片c， 第三次时，甲拿卡片b，乙拿卡片c，或甲拿卡片c，乙拿卡片b， ∴或， 解得：或， ∴a的值为7或9． 故答案为：7或9． 13．解：当z＝0时，x+2y＝100，y可以分别取0，1，2...50，一共有51个非负整数解； 当z＝1时，x+2y＝97，y可以分别取0，1，2...48，一共有49个非负整数解； 当z＝2时，x+2y＝94，y可以分别取0，1，2...47，一共有48个非负整数解； 当z＝3时，x+2y＝91，y可以分别取0，1，2...45，一共有46个非负整数解； 当z＝4时，x+2y＝88，y可以分别取0，1，2...44，一共有45个非负整数解； .....． 当z＝30时，x+2y＝10，y可以分别取0，1，2，3，4，5，一共有6个非负整数解； 当z＝31时，x+2y＝7，y可以分别取0，1，2，3，一共有4个非负整数解； 当z＝32时，x+2y＝4，y可以分别取0，1，2，一共有3个非负整数解； 当z＝33时，x+2y＝1，y可以取0，一共有1个非负整数解； ∵51+49+48+46+45+...+6+4+3+1 ＝（51+50+49+48+47+46+45+...+6+5+4+3+2+1）﹣（50+47+44+...+5+2） ＝884， ∴方程x+2y+3z＝100的非负整数解个数有884个； 故答案为：884． 三、解答题 14．解：整理得：， ①+②得：x＝5， ②﹣①得：， ∴方程组的解为：． （2）， ①+②得：4x+3y＝17④ ①+③得：5x+y＝13⑤⑤×3﹣④得：x＝2， 把x＝2代入⑤得：y＝3， 把x＝2，y＝3代入③得：z＝1， ∴方程组的解为：． 15．解：， ①﹣②： （4a+2b+c）﹣（a﹣b+c）＝6﹣0， 3a+3b＝6， a+b＝2④， ③﹣②得 （9a+3b+c）﹣（a﹣b+c）＝0﹣0， 8a+4b＝0， 2a+b＝0⑤， ⑤﹣④得：（2a+b）﹣（a+b）＝0﹣2 ∴解得a＝﹣2， 把a＝﹣2代入④， ﹣2+b＝2， ∴b＝4， 把a＝﹣2，b＝4代入②， ﹣2﹣4+c＝0， ∴c＝6， ∴a＝﹣2，b＝4，c＝6． 16．解：（1）， 把②代入①得：3×2+4＝2a， 解得：a＝5， 把a＝5代入②得：5﹣b＝2， 解得：b＝3， ∴原方程组的解为：； （2）， ①﹣②得：4x+4y+4z＝4， ∴x+y+z＝1， ∴x+y+z的值为1． 17．解：设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元， 根据题意得： 解得：， 答：1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元 18．解：（1）， ①+②，得29x+29y+87， ∴x+y＝3③． ①﹣③×15，得x＝6， ②﹣③×13，得y＝﹣3． ∴方程组的解为 ． .故答案为： ． （2）， ①+②+③，得2x+2y+2z＝4， ∴x+y+z＝2④． ④﹣①，得z＝﹣6， ④﹣②，得x＝5， ④﹣③，得y＝3． ∴原方程组的解为 ． 故答案为：2， ． （3）∵3*5＝16，4*7＝23， ∴， .②﹣①，得a+2b＝7③， ①+②，得7a+12b+2c＝39④， ④﹣③×6，得a+2c＝﹣3⑤， ③+⑤，得2a+2b+2c＝4． ∴a+b+c＝2． ∴1*1＝a+b+c＝2． 19．解：， 由①得：x＝5z+1③， 将③代入②得：3（5z+1）﹣7y+6z＝10， 整理得：7y＝21z﹣7， 则y＝3z﹣1， x﹣2y+z ＝5z+1﹣2（3z﹣1）+z ＝5z+1﹣6z+2+z ＝3． 20．解：（1）由题意得：， 故答案为：； （2）， 由①得z＝x﹣3④， 将②和④代入③得5﹣（x﹣3）＝2 x﹣5+1， 解得x＝4， 将x＝4代入①、②得：4﹣z＝3，y＝8﹣5＝3， ∴z＝1，y＝3， ∴． 21．解：（1）∵22＝4， ∴（2，4）＝2； ∵23＝8， ∴（2，8）＝3； ∵25＝32， ∴（2，32）＝5； 故答案为：2，3，5； （2）∵（2，4）＝2，（2，8）＝3，（2，32）＝5，2+3＝5，4×8＝32， ∴（2，4）+（2，8）＝（2，32）＝（2，4×8）， ∴（a，m）+（a，n）＝（a，mn）， 故答案为：（a，mn）； （3）∵（a，m）+（a，n）＝（a，p）， ∴由（2）可得mn＝p， ∵（2，m+n）＝4， ∴m+n＝24＝16， ∵（2，p）＝3， ∴p＝23＝8， ∴mn＝p＝8， ∵正方形ABCD的边长为m，小正方形CGFE的边长为n， ∴图中阴影部分的面积为； （4）四边形ABED，CGHD是长方形纸条，AD＝CD＝m，CG＝n，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形HFED沿着DE翻折得到长方形DEMN， ∵（a，m）＝（b，n）＝2， ∴a2＝m，b2＝n， 由图可得：矩形ABMN的面积是（m+n）（m﹣n）＝15，AN＝m+n＝5， ∴， 解得， ∴a2＝4，b2＝1， ∴a＝±2，b＝±1， ∵a+b＝3， ∴a＝2，b＝1， ∴（a﹣b）2＝（2﹣1）2＝1． 学科网（北京）股份有限公司 $