6.2.2 排列数（培优教学课件）数学人教A版选择性必修第三册

6.2 排列与组合 6.2.2 排列数 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册·高二 章节导读 两个计数原理 排列与组合 二项式定理 分步乘法计数原理 分类加法计数原理 两个计数原理的综合运用 二项式定理 二项式系数的性质 排列 排列数 组合 组合数 两个计数原理的简单运用 学 习 目 标 1 2 3 理解排列数的定义；会用排列数公式进行计算、求解和证明，培育逻辑推理、数学运算的核心素养 能用排列数公式解决简单的实际问题，培育逻辑推理、数学运算的核心素养. 能应用排列数公式解决排队问题、数字问题，培育逻辑推理、数学运算的核心素养. 知识回顾 一般地，从n个不同元素中 ，并 排成一列，叫做从 元素中取出 的一个排列(arrangement). 排列的定义： 取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序 n个不同 m个元素 两个排列相同的充要条件是什么？ 两个排列相同 ⟺ 两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同 新知导入 通过上节课中的问题1和问题2，我们学习了排列的定义，并利用分步乘法计数原理或列举法计算排列的个数，但是如果元素增多，这样的表达和计算方法会显得繁琐冗长．简化一直是数学的追求，能进一步实现对排列问题的简化运算吗？ 问题1 我们现在要创设一个符号简化表示“从n个不同元素中取出m (m ≤ n )个元素，并按照一定的顺序排列成一列的所有不同排列的个数”，这个符号需考虑几个要素？ ②取出m个元素 ③按照一定的顺序排列 ①n个不同的元素 定义新知 排列数 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 符号 中的A是英文arrangement(排列)的第一个字母. 取出元素个数 元素总数 “排列”的首字母 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 新知探究 问题1是从3个不同元素中任取2个元素的排列为3×2＝6, 可记作： 问题2是从4个不同元素中任取3个元素的排列数为4×3×2＝24, 可记作: 追问1 你能用排列数符号表示上节课中的问题1和问题2吗？ 追问2 排列与排列数有什么区别？ 排列数与排列的区别： 排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，排成一列的具体排法，也就是完成一件事的一种方法，它不是数； 排列数是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，排成一列所有排列的个数，它是一个数. 新知探究 问题2 研究了排列数的符号表达，是否有排列数公式便捷的求出排列个数从n个不同元素中取出m个元素的排列数 (m≤n)是多少? 我们先从特殊情况开始探究，例如从n个不同元素中任取2个元素的排列数 是多少? 又是多少？进而归纳 是多少？ 排列数 可以按依次填2个空位得到： 第1位 第2位 n 种 (n-1)种 排列数 可以按依次填3个空位得到： 第1位 第2位 n 种 (n-1)种 第3位 (n-2)种 新知探究 一般地，排列数 可以按依次填m个空位来考虑： 假定有排好顺序的m个空位,从n个不同元素中取出m个元素去填空,一个空位填上一个元素,每一种填法就对应一个排列. 因此,所有不同填法的种数就是排列数 . 第1位 第2位 n 种 (n-1)种 第3位 第m位 (n-2)种 ...... ? 定义新知 排列数公式 排列数公式的连乘形式 问题2 观察排列数公式的结构，回答下列问题： (1)观察公式的右边，有什么特点？共有几个因数？ (2)比较n与m的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点？ (3)若m=n时， 的表达式有什么特点？ 公式中是m个连续正整数的连乘积，从n开始每项逐次减1 m≤n, 最小因数是(n－m＋1)而不是(n－m). 新知探究 全排列 从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的一个全排列 . 全排列数公式 阶乘 正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 n! 表示. 于是，n个元素的全排列数公式可以写成 典例分析 例3 计算： 解：根据排列数公式，可得： 追问1 观察例3的运算结果，你有什么发现？能推广到一般情况吗？ 猜想： 新知探究 猜想： 追问2 这个猜想是否正确呢？ 证明： 因此，排列数公式还可以写成： 排列数公式的阶乘形式 排列数公式的连乘形式 排列数公式的应用： 连乘形式一般用于的计算， 阶乘形式用于化简或证明. 典例分析 例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析：在0~9这10个数字中,因为0不能在百位上,而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素. 一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。 解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第2步,确定十位和个位上的数字,可以从剩下的9个数字中取出2个,有 种取法. 百位 十位 个位 第1步,确定百位上的数字,可以从1~9这9个数字中取出1个，有 种取法； 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为: 典例分析 解法2：符合条件的三位数可以分成三类： 百位 十位 个位 0 百位 十位 个位 0 百位 十位 个位 第3类, 十位上的数字是0的三位数, 可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位, 有 种取法. 第2类, 个位上的数字是0的三位数, 可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位, 有 种取法； 第1类, 每一位数字都不是0的三位数, 可以从1~9这9个数字中取出3个, 有 种取法； 根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为 典例分析 解法3: 从0~9这10个数字中选取3个的排列数为 即所求三位数的个数为 其中0在百位上的排列数为 它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数 典例小结 反思 本例是带有限制条件的排列问题，那么这类问题该如何解决？ “特殊”优先原则 直接法 间接法 位置分析法 元素分析法 以位置为主，优先考虑特殊位置 以元素为主，优先考虑特殊元素 先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数 分步 先分类 后分步 巩固练习 课本P20 解： 1. 计算： 巩固练习 课本P20 2. 求证： 证明： 3. 一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法? 解：不同的停放方法有 与排列数公式有关的求解与证明 题型一 题型探究 【例1】(1)已知，则 ( ) A A. 6 B. 13 C. 6或13 D. 12 [解析] 由题意得，化简可得 ， 解得 或6. 因为所以，故 .故选A. 【例1】(2)不等式 的解集为( ) C A. B. [解析] 由，得，解得 ， 因为，且，所以 或4.故选C. 与排列数公式有关的求解与证明 题型一 题型探究 【例2】求证： (1) ； 证明 . (2) . 证明 . 与排列数公式有关的求解与证明 题型一 题型探究 解题感悟 排列数公式的阶乘形式主要用于解决与排列数有关的证明、方程和不等式等问题，具体应用时要注意阶乘的性质，提取公因式可以简 化计算. 排列数公式的简单应用 题型二 题型探究 【例3】(1) 某高校有4名志愿者参加社区服务工作，若每天有早、中、晚三班， 每班1人，每人每天最多值一班，则一天中不同的排班方法种数为( ) C A. 12 B. 18 C. 24 D. 144 [解析] 一天中不同的排班方法种数为 . 【例3】(2) 将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训， 每名志愿者只分配到1个项目，每个项目只培训一人，志愿者小明不去花样滑冰项目， 则不同的分配方案共有( ) B A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 30种 [解析] 志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3种分配方案， 将另外3名志愿者分配到剩下的3个项目，有 种分配方案， 根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有 种. 排列数公式的简单应用 题型二 题型探究 提分笔记 对于简单的排列问题可直接代入排列数公式求解，若满足要求的 情况较多，则可以先分类（或分步）后代入公式求解. 排队问题 题型三 题型探究 角度1 特殊元素或特殊位置问题 【例4】 甲、乙等6人按下列要求站一横排，求分别有多少种不同的站法. (1)甲不站两端； [解析] 解法一：要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置中任选1个,有种站法， 然后其余5人站在另外5个位置，有 种站法， 根据分步乘法计数原理知，共有 （种）站法. 解法二：由于甲不站两端,所以这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有种站法， 剩余4人有 种站法， 根据分步乘法计数原理知，共有 （种）站法. 解法三：若对甲没有限制，则共有种站法，甲站两端共有 种站法， 则甲不站两端共有 （种）站法. 排队问题 题型三 题型探究 (2)甲、乙站在两端； [解析] 先让甲、乙站在两端，有 种站法， 再让其他4人站在中间4个位置，有种站法， 根据分步乘法计数原理知，共有 （种）站法. (4)甲、乙都不站在两端. [解析] 第一步，从甲、乙以外的4人中选2人站在两端，有 种排法； 第二步，剩下的4人站在中间4个位置上，有 种排法. 根据分步乘法计数原理，共有 （种）排法. 排队问题 题型三 题型探究 (4)甲不站左端，乙不站右端； [解析] 解法一：对甲、乙均没有限制时，共有 种站法， 甲站左端的站法有种，乙站右端的站法有 种， 甲站左端且乙站右端的站法有种， 故甲不站左端，乙不站右端的站法共有 （种）. 解法二：以对象甲的位置分类可分为两类： ①甲站右端,有 种站法， ②甲在中间4个位置中任选1个，且乙不站右端，有 种站法， 故共有 （种）站法. 排队问题 题型三 题型探究 提分笔记 对于“在”与“不在”的排列问题，从对象入手时，先给特殊对象安排位置，再把其他对象安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置. 提醒：解题时，或从对象考虑，或从位置考虑，不能一会儿考虑对象，一会儿考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误. 排队问题 题型三 题型探究 角度2 “相邻”与“不相邻”问题 【例5】3名男生，4名女生，按照下列要求排队，求不同的排队方案的种数. (1)选其中5人排成一排； [解析] 从7人中选出5人进行排列，有 （种）排队方案. (2)全体站成一排，男、女各站在一起； [解析] 男生站在一起，有 种排法，女生站在一起，有 种排法， 全体男生、女生各视为一个元素，有 种排法， 由分步乘法计数原理知，共有 （种）排队方案. (3)全体站成一排，男生不能站在一起. [解析] 先安排女生，共有 种排法， 再将男生安排在4名女生形成的五个空中共有 种排法， 故共有 （种）排队方案. 排队问题 题型三 题型探究 提分笔记 处理对象“相邻”与“不相邻”的问题应遵循“先整体，后局部”的原则. 对象相邻问题一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个对象“捆绑”为一个整体与其余对象全排列，然后“松绑”将这若干个对象内部全排列. 对象不相邻问题一般用“插空法”，先将不相邻对象以外的“普通”对象全排列，然后在“普通”对象之间及两端插入不能相邻的若干个对象. 排队问题 题型三 题型探究 角度3 定序问题 【例6】 将，，，，这5个字母排成一列，要求，， 在排列中的顺序为 “，，”或“，， ”（可以不相邻），则有____种不同的排列方法. [解析] 解法一（整体法）个对象无约束条件的全排列有 个， 其中恰好符合“，，”或“，，”的顺序的排法有 （种）. 解法二（插空法）:当字母,的排列顺序为“,, ”时,将字母, 插入其中,分两步： 第一步，将插入，有 种方法； 第二步，将插入，有 种方法. 综上，有 （种）不同的排列方法. 同理，当字母，，的排列顺序为“，， ”时，也有20种不同的排列方法. 因此，满足条件的排列方法有 （种）. 40 排队问题 题型三 题型探究 提分笔记 处理定序问题的基本方法 （1）整体法：若有个对象排成一列，其中 个对象之间的先后 顺序确定不变，则先将这个对象排成一列，有 种不同的排 法，然后任取一个排列，固定其他个对象的位置不动，把这 个对象 交换顺序，有 种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有 种满足条件的不同排法. （2）插空法：个对象之间的先后顺序确定不变，因此先排这 个对 象，只有一种排法，然后把剩下的 个对象分类或分步插入其中. 数字问题 题型四 题型探究 【例7】(1)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字且是奇数的六位数？ [解析] 解法一（直接法） 从特殊位置入手.分三步完成， 第一步：填个位，有种填法； 第二步：填十万位，有 种填法； 第三步：填其他位，有种填法. 故一共可以组成 （个）无重复数字且是奇数的六位数. 解法二（直接法）从特殊对象入手.0不在两端，有 种排法， 从1,3,5中任选一个排在个位，有种排法，剩下的对象全排列，有 种排法， 故一共可以组成 （个）无重复数字且是奇数的六位数. 解法三（间接法）个数字全排列有种情况，0,2,4在个位上有 种情况， 1,3,5在个位上，0在十万位上有 种情况， 故满足条件的六位数共有 （个）. 数字问题 题型四 题型探究 【例7】(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字且个位数字不是5的六位数？ [解析] 解法一（间接法）个数字全排列有 种情况， 0在十万位上和5在个位上各有种情况， 0在十万位上且5在个位上有 种情况. 故符合题意的六位数共有 （个）. 解法二（直接法）: 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同,因此需分两类. 第一类：当个位上排0时，符合条件的六位数有 个； 第二类：当个位上不排0且不排5时，符合条件的六位数有 个， 故符合题意的六位数共有 （个）. 提分笔记 数字问题 题型四 题型探究 1.数字排列问题的常见附加条件：（1）首位不能为0；（2）无重复数字；（3）奇偶数；（4）某个数的倍数；（5）大于（或小于）某个数. 2.数字排列问题的解题方法 （1）两优先排法：特殊对象优先排列，特殊位置优先填充.如0不排“首位”. （2）分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法 计数原理解题，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类 要做到不重不漏. （3）间接法：全排列数减去不符合条件的排列数. （4）位置分析法：按位置逐步讨论，把要求的数字的每个数位排好. 课堂达标 1.五声音阶是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫、商、角、徵、羽. 若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音阶不相邻，则可排成 不同的音序的种数为( ) C A. 12 B. 48 C. 72 D. 120 [解析] 先排商、角、徵，然后在空档处插入宫、羽， 故排成不同的音序的种数为 . 课堂达标 2.从1，2，3，4这四个数字中选取3个数字可以组成的无重复数字的三 位数的个数为( ) B A. 12 B. 24 C. 30 D. 64 [解析] 符合题意的三位数的个数为 . 课堂达标 3.城步苗族自治县的“六月六山歌节”已成为湖南省四大节庆品牌之一，假设在第26 届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王 对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为_____. 132 [解析] 添加节目后，共有12个节目， 因为保持原来10个节目的相对顺序不变， 所以只需排好2个“歌王对唱”节目即可， 所以不同的排法种数为 . 课堂达标 4.甲、乙等4人站成一排，其中甲在乙左边的站法有____种. 12 [解析] 站成一排，甲在乙的左边，则甲、乙的顺序是确定的， 先排没有要求的两人，有 种排法， 再将甲、乙按照甲在乙的左边的顺序排入剩下的两个位置中，有1种排法， 故一共有 种站法. 课堂小结 2. 全排列数: 1. 排列数公式： 3.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 表示, 即 排列数公式的阶乘形式： 感谢聆听! $