专题03 立体几何中的表面积与体积问题5种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版必修第二册

专题03 立体几何中的表面积与体积问题 目录 类型一、空间几何体的表面积问题 类型二、利用割补法、等积法求几何体的体积问题 类型三、祖暅原理在求体积中的应用问题 类型四、外接球的表面积与体积问题 类型五、内切球的表面积与体积问题 类型六、棱切球的表面积与体积问题 类型七、多球的堆叠问题 类型八、空间几何体表面积与体积的最值问题 压轴专练 类型一、空间几何体的表面积问题 解题技巧： 1、棱柱，棱锥，棱台的表面积公式：． 2、（1）圆柱的表面积公式：； （2）圆锥的表面积公式：； （3）圆台的表面积公式： 例1-1．如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 例1-2．如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）    A．B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积. 【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为， 正六棱柱的底面面积为， 如图所示，正六棱台中，， 过点分别作垂直于底面于点， 连接相交于点，则分别为的中点， 过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高， 其中，，， 由勾股定理得，故，    所以正六棱台的斜高为， 故正六棱台的侧面积为， 又正六棱台的下底面面积为， 所以该花灯的表面积为． 故选：A． 变式1-1．如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形可得新增了16个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其直角边为x，由可得x，即可得答案. 【详解】由题设分析  如下图，转动了45°后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为x， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：A 变式1-2．在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定旋转一周形成的旋转体的形状，结合圆台侧面积公式以及球的表面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知阴影部分以AB所在直线为轴，旋转一周形成的旋转体为一个圆台挖去半个球， 其中圆台的上下底面半径为2和5，高为4，母线长为， 挖去半球的半径为2， 故形成的旋转体的表面积为， 故选：B 变式1-3．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ， ．    【答案】 【分析】利用旋转和对称关系求出，根据柱体、球体的表面积公式求解即可. 【详解】    如图，设两个正方形的中心为，连接，    因为旋转了45°，所以, 由对称性可设， ， 所以，则， 所以, 该雕塑底面可容纳的最大的圆的半径, 所以该雕塑可容纳的最大的球的半径也为， 外接球的半径为 , ， 故答案为：；. 变式1-4．在三棱锥中，，都是等边三角形，且，则三棱锥表面积的最大值为________． 【答案】 【分析】先算固定面面积，再通过二面角表示可变面面积，利用二次函数求其最值，相加可得表面积的最大值. 【详解】 已知，即、均为边长为的等边三角形， 根据等边三角形面积公式（为边长）：， 因此，两个固定面的面积和为：； 取的中点，连接、， 由等边三角形“三线合一”的性质：，（三线合一）， 因此是二面角的平面角，记（）， 在中，，， 由勾股定理： 连接，在中，由余弦定理可得 在中，已知，，， 再由，得 ， 因此： 化简得： 由对称性可知，因此两个可变面的面积和为： 令，由得， 则需最大化二次函数： 该二次函数的二次项系数，开口向下，对称轴为： 对称轴 ，代入得 的最大值： 因此，可变面面积和的最大值为： 三棱锥表面积 ，代入最大值得： 三棱锥表面积的最大值为. 故答案为：. 类型二、利用割补法、等积法求几何体的体积问题 解题技巧： 一、柱体、锥体、台体体积公式： ；；（，S分别为上，下底面面积）． 说明  （1）当时，； 当时，． 二、体积计算的常用方法：直接法、分割法、拼补法、转移法 例2-1．小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 【答案】C 【分析】正方体的体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积. 【详解】设此半正多面体模型的体积为， 则. 故选：C. 例2-2．已知边长为1的正方形绕边所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点和分别是圆柱上底面和下底面的动点，点是线段的中点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形得到当，且时，点P到平面的高最大，再利用等体积转化法即可求得结果. 【详解】 由题意知，，三角形的面积为 设点P到平面的高为h， 又， 要使三棱锥体积的最大，则需h最大，根据图形可得， 当，且时，h最大，最大为1， . 故选：B 变式2-1．如图，在正三棱柱中，，，则三棱锥的体积为 . 【答案】 【分析】由题意可知，再转化为，从而可求得结果. 【详解】因为三棱柱为正三棱柱，， 所以， 则 . 故答案为：. 变式2-2．在棱长为的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为 . 【答案】 【分析】首先计算正四面体的体积，再利用等体积转化，利用面积和高的关系，即可求解. 【详解】如图，正四面体的棱长为2，点在平面内的射影为点，点是三角形的中心，点在上， ，则， 所以三棱锥的体积， ，，且， 所以点到平面的距离是点到平面距离的， 所以三棱锥的体积. 故答案为： 变式2-3．艺术家埃舍尔的作品展示了数学之美，如图①是其作品《星空》中的一部分，由正方体和正八面体相互交叉形成的组合体，可抽象为图②所示的图形．若正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，则两个几何体相交后公共部分形成的几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，观察得到公共部分形成的几何体是由正方体截去以其八个顶点为三棱锥的顶点构成的八个相同的三棱锥得到，计算得解． 【详解】如图，因为正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，所以， 所以，则该正方体的棱长为． 易知三棱锥为正三棱锥，则． 易知两个几何体相交后公共部分形成的几何体体积为． 故选：B. 变式2-4．在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，． (1)求多面体的体积； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将多面体补全为直三棱柱，再用棱柱体积减去棱锥体积即得多面体体积； （2）将多面体补全为长方体，利用等体积法有求体积. 【详解】（1）将多面体补形得到直三棱柱，如图①， 因为，即S为的中点，所以， 又，故多面体的体积为． （2）如图②，将多面体补形为长方体，连接，则， 易知，又点O到平面MDC的距离为， 所以． 类型三、祖暅原理的应用问题 解题技巧： 一、解题核心步骤 1. 原理本质：夹在同一组平行平面间的两个几何体，只要高度相同，且任意平行于底面的截面面积都相等，它们的体积就一定相等。 2. 解题思路：面对体积难算的不规则几何体，核心是构造一个规则对照体（如圆柱、圆锥、长方体等，体积公式已知），让它和原几何体满足“等高+截面处处等面积”的条件。 3. 验证关键：不能只验证某几个高度的截面，必须保证所有高度位置的截面面积都相等，这是祖暅原理成立的前提。 4. 经典构造技巧：计算球/半球体积时，最常用的对照体是“与半球同底同高的圆柱，挖去内部一个同底同高的圆锥”，二者截面面积恰好相等，可直接转化计算。 5. 最终步骤：验证通过后，直接套用规则对照体的体积公式，即可得到原不规则几何体的体积，实现“化难为易”的计算。 2、 易错点提醒 1. 必须验证任意高度的截面面积相等，仅部分截面相等不满足原理； 2. 构造的规则几何体需与原几何体严格等高，高度不一致则无法直接应用； 3. 截面面积计算需结合几何体的几何特征（如圆的半径、相似比等），避免公式误用。 例3-1．如图，将底面直径皆为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与的距离为d的平面截两个几何体得到及两截面，可以证明总成立．据此，短轴为3cm，长半轴为2cm的椭半球体的体积是______． 【答案】3π 【分析】利用祖暅原理进行分析求解 【详解】由“祖暅原理”可知，椭半球体的体积等于已被挖去了圆锥体的圆柱体体积，故． 例3-2．祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    【答案】 【分析】由题意，从而得到椭球的体积为，再代入数据求解即可. 【详解】因为总有圆所以，半椭球的体积等于， 故椭球的体积为，所以该椭环体积是. 故答案为：. 变式3-1．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为_________. 【答案】7 【分析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果. 【详解】由题意可知：正四棱台的体积为， 根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7. 故答案为：7. 变式3-2．有趣的金马徐高想运用所学祖暅原理（如图1）解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为4的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为________．（结果保留）    【答案】 【分析】根据条件和图1可得半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积，然后在图2中运用此原理可求得答案. 【详解】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，设半球中阴影截面圆的半径， 球体半径为，则，截面圆面； 圆柱中截面小圆半径，大圆半径为，则截面圆环面积， 所以，又高度相等， 所以半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积. 同理，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积.    如图2，设球体和水接触的上部分为，没和水接触的下部分为， 小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积. 已知球体半径为，为等边三角形， ，， 根据祖暅原理， . 设图2中轴截面为梯形的圆台体积为，且， . 故答案为： 变式3-3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（   ）（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A． B． C．36π D．72π 【答案】B 【分析】作正四棱柱，正四棱柱的边长与帐篷底面正方形边长相等，在正四棱柱，作四棱锥，作一平行截面，先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】作正四棱柱，正四棱柱的边长与帐篷底面正方形边长相等， 在正四棱柱，作四棱锥， 为底面正方形的中心， 作截面平行于帐篷底面，与帐篷和正四棱柱与正四棱锥相截， 截面分别为四边形，四边形，四边形，如图所示， 设截面与底面的距离为，设底面中心为， 截面中心为，则，， 所以，所以截面的面积为. 设四棱柱底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形的面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 故选：B. 变式3-4．我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． (1)如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，求新几何体的体积． (2)如图2，一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”．该球台下底半径为10cm，上底半径为6cm，上下底面间的距离为8cm．根据祖暅原理，求该球台的体积． (3)如图3，一个球体被平面截下的部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高．根据祖暅原理，推导半径为R，高为H的球缺的体积公式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由祖暅原理即可求解； （2）由祖暅原理即可求解； （3）由祖暅原理即可求解. 【详解】（1）如下图：左侧几何体的为半径为的半球，右侧几何体为底面半径和高都为的圆柱中挖掉了一个圆锥，其截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分） 左侧截面圆的圆心为，易得截面圆的面积为， 易知右侧截面截圆锥得到的小圆的半径为，所以，圆环的面积为， 所以，截得的截面的面积相等， 所以新几何体的体积等于半球的体积， 即 （2） 球台下底半径为10cm，上底半径为6cm，上下底面间的距离为8cm． 构造建立一个底面半径为，高为8的圆柱， 那么根据祖暅原理，挖去一个与圆柱等高的小圆锥，其体积即为球台体积， 此时圆锥底面的半径 所以， 所以整个容器的容积为. （3）由（2）可知： 当球台下底半径为，上底半径为cm，上下底面间的距离为， 那么根据祖暅原理，挖去一个与圆柱等高的小圆锥，其体积即为球台体积， 此时圆锥底面的半径， 所以球台体积为：， 再加个半个球的体积即为球缺的体积： 类型四、外接球的表面积与体积问题 解题技巧： 1.核心目标：先求出外接球的半径，再计算表面积和体积。 2.概念区分：外接球是让几何体的所有顶点都在球面上，球心到各顶点距离相等（等于半径）。 3.球心定位：利用几何体的对称性找球心，比如长方体的体对角线中点、直棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点。 4.半径求法： ①长方体/正方体：直接用体对角线的一半作为半径； ② 棱柱/棱锥：先算底面外接圆半径，再结合几何体高度，用勾股定理求球半径；③特殊几何体（如墙角型）：补成长方体后套用长方体公式。 5.补形技巧：对不规则或有垂直关系的几何体，优先补成长方体/正方体，简化半径计算。 6.公式套用：半径确定后，直接用球的表面积和体积公式计算结果。 例4-1．在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积不大于，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、球的表面积的有关计算、线面垂直证明线线垂直 【分析】设，在等腰中，求得，设的外心是，外接圆半径是，由正弦定理得，设外接球球心是，可得是直角梯形，设可得，把也用表示，然后可表示出外接球半径，利用外接球的表面积不大于得即可求解. 【详解】设，在等腰中，， 设的外心是，外接圆半径是，则， 设外接球球心是，则平面，平面，则， 同理，，又平面， 所以，是直角梯形， 设，外接球半径为，即， 则，所以， 在直角中，，， 则，，所以， 由三棱锥外接球的表面积不大于，得， ， 解得， 所以， 故答案为：. 例4-2．在三棱锥中，，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥补成三棱柱，求出外接圆半径，再求外接球半径，即可求外接球表面积. 【详解】如图将三棱锥补成三棱柱，则它们的外接球相同， 其中，，， 由，，得平面， 则平面，则， 则， 则， 则， 则外接圆半径, 则三棱柱的外接球半径， 则外接球的表面积为， 故选：B. 变式4-1．在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】将四面体补形为直三棱柱，设，由可得，在中，由勾股定理可得，利用余弦定理和基本不等式求解. 【详解】依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱. 因为与所成的角为，所以或. 设，外接球半径记为，外接球的球心如图点. 易知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 于是，所以. 在中，， 在中，由余弦定理得， 显然当时，外接球的半径会更小，此时， 所以， 所以，故它的外接球半径的最小值为2. 故选：B. 变式4-2．在正三棱锥中，，E为侧棱的中点，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，作面于，作面于，连接，根据正三棱锥的性质，可证为二面角的平面角，根据条件，求出各个长度，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则点在上，在中，由勾股定理，求出R值，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】如图，取的中点，连接，则，作面于，作面于． 因为为正三棱锥， 且， 所以为的中心，在线段上， 因为E为侧棱的中点， 所以，所以为的中点，且， 因此， 连接，由正三棱锥的性质可得， 因为D为AB中点，所以． 又，所以为二面角的平面角，即， 所以，则， 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则点在上， 连接，在中，由勾股定理得， 则，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 变式4-3．在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】建立边长和O到平面ABD距离为OF的函数关系，结合基本不等式，求解出最小值，建立外接球半径的函数，从而求解外接球半径的最小值，从而求出外接球表面积的最小值. 【详解】由正三棱锥的侧棱垂直于底面的性质，设球心O到平面ABD距离为，设， 有因为为直角三角形，则经过直角三角形斜边中点，即为中点. 故取的中点设为，则由正三角形求解高知如图，设， 设球心O到平面ABD距离为OF，设 ，， ， 当且仅当时即取“=”. ，. 故最小为. 故答案为：. 变式4-4．在中，已知，，，为线段BC上一个动点． (1)若AD为的角平分线，求线段AD的长； (2)将折起到的位置，记二面角的大小为． （i）若，且AD为的角平分线，求三棱锥外接球的面积； （ii）若，求三棱锥外接球的面积最小值． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理，结合三角形面积公式求解即得. （2）（i）由（1）的结论，利用正弦定理求出外接圆直径，结合余弦定理及球的截面小圆性质求出球半径即得；（ii）设，利用余弦定理求出，再利用（i）中的相关信息及结论代入求解即得. 【详解】（1）在中，，，，由余弦定理得， 由AD为的角平分线，得， 而，解得，， 在中，，所以． （2）（i）在中，由（1）知，解得， 为AD中点，设外接圆为，半径为，，， 由，解得， ，在中，，解得， 设外接圆为，半径为，，， 由，解得，， 平面，则平面，， 令三棱锥外接球的球心为，则平面，平面， 而平面平面，则，又， 平面，于是平面，从而点共面， 显然，OT为四边形的外接圆直径，同时也为外接圆直径， 而，， 三棱锥外接球的半径为，则， 由，得， 所以三棱锥外接球表面积为． （ii）由为线段BC上一个动点，设，显然不能与点重合，即， 由（1）解得，，， 由（i）知，为AD中点，外接圆为，半径为，， 由，解得，， 外接圆为，半径为，，由，解得， ，令三棱锥外接球的球心为，半径为， ， 当时，， 三棱锥外接球表面积为，当时，， 所以三棱锥外接球表面积的最小值为. 类型五、内切球的表面积与体积问题 解题技巧： 1.核心定义：内切球是与几何体的每一个面都相切的球，球心到各个面的距离相等，且该距离等于内切球半径。 2.适用前提：仅针对正多面体或各面全等、对称的多面体（如正棱柱、正棱锥），非对称几何体通常没有内切球。 3.球心定位：球心位于几何体的对称中心（高的中点或中心轴线上），且在几何体内部。 4.半径求法：通常利用等体积法计算，即几何体体积等于三分之一乘以表面积乘以半径，通过变形直接解出半径。 5.公式计算：求出半径后，直接代入球体表面积和体积公式，即可得到最终结果。 例5-1．某工艺品加工厂收到一块底面棱长为厘米，侧棱长为厘米的正三棱锥形状的珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，则这个球形饰品的表面积的最大值是（    ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】求出正三棱锥的表面积与体积，由题意可知，这个球形饰品为正三棱锥的内切球时，表面积最大，然后由球的表面积公式求解即可. 【详解】 如图，在正三棱锥中底面正三角形中，，， 所以， 在中，，，所以， 所以该木材的表面积平方厘米， ，所以， 所以体积立方厘米. 要使这个球形饰品的表面积最大，则这个球形饰品是该木材的内切球. 设内切球的半径为厘米，则，所以. 设这个球形饰品的半径为厘米，则，故这个球形饰品的表面积平方厘米. 故选：B 例5-2．已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得内切球半径，再画图设底面半径为，利用三角函数值代换表达出表面积的公式，再设，根据基本不等式求最小值即可 【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号. 故选：A. 变式5-1．正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，设内切球半径为r，根据球的性质，求得，得到正三棱台的高为，结合棱台的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，正三棱台的上、下底边长分别为和， 可得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如图甲所示，作截面，得到图乙， 设内切球半径为r，则，解得，所以正三棱台的高为6， 所以. 故选：D． 变式5-2．如图，在一个表面积为的正三棱柱中，，其若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件求出正三棱柱的棱长，进而求出正三棱柱的内切球，再由题设可知所求为内切球的内接正方体的边长，即可求解. 【详解】因为是正三棱柱，且，令， 则三棱柱的表面积为， 由题有，解得， 设内切圆半径为，由，得到， 又，则正三棱柱的内切球与下底面和侧面相切，且内切球半径为， 因为存在一个可以在正三棱柱内任意转动的正方体，所以正方体的外接球要在该正三棱柱中， 则要使正方体棱长取到最大值，正方体的体对角线长为正三棱柱内切球的直径， 即，得到，解得， 故选：A. 变式5-3．如图，三棱锥中，，，已知平面∥平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意得到内切球半径和三棱锥高的关系，然后利用等体积的思路列方程，解方程即可得到. 【详解】设点到平面的距离为，三棱锥的内切球的半径为，， 取中点，连接， 因为，所以，， 因为，所以， 因为三棱锥的内切球同时与平面相切，且， 平面∥平面，所以， 由， 得， ， ，解得， 因为，所以，. 故选：A. 变式5-4．（多选）已知圆台上、下底面半径分别为1，4，半径为的球内切于圆台，则（   ） A． B．圆台侧面展开图扇环的圆心角为 C．过的截面与底面所成角为60°时，到截面距离为 D．在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为 【答案】ABD 【知识点】圆台的结构特征辨析、多面体与球体内切外接问题、弧长的有关计算 【分析】对A，根据轴截面分析即可；对B，根据圆台的侧面积公式求解即可；对C，应用二面角及点到平面距离计算即可；对D，计算圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可 【详解】对A，圆台上、下底面半径分别为1，4，， 则半径为的球内切于圆台，所以，故A正确； 对B，由A母线长为5，设圆台侧面展开图扇环的圆心角为，则根据扇形弧长，所以，故B正确； 对C，过的截面与底面所成角为60°时，圆面， 所以，到截面距离为，故C错误； 对D，由题意A，圆台中能放下的最大球的半径为，直径为， 故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为，故D正确； 故选：ABD 类型六、棱切球的表面积与体积问题 解题技巧： 1.概念区分：棱切球是与几何体的所有侧棱都相切的球，区别于外接球（过所有顶点）和内切球（与所有面相切）。 2.核心目标：先确定棱切球的球心位置和半径长度，再计算表面积与体积。 3.球心定位：球心在几何体的中心对称轴上，到每条侧棱的距离都相等（等于半径）。 4.半径求法：通过几何关系计算球心到任意一条侧棱的垂直距离，该距离即为棱切球半径。 5.公式套用：半径确定后，直接用球的表面积和体积公式计算结果 例6-1．已知正四棱台，半球的球心在底面的中心，且半球与该棱台的各棱均相切，则半球的表面积为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析半球与各棱的切点位置，利用球的切线性质，用表示出侧棱长，从不同角度表示出棱台的高，从而建立关于的方程，然后可得. 【详解】由题意可知，为下底面， 记上底面的中心为，过作垂直于平面，垂足为， 易知点在上，记半球与分别相切于点， 由正四棱台和球的对称性可知，为的中点， 因为，所以，， 记半球的半径为，则， 所以，， 分别在中，由勾股定理得， ， 因为，所以， 解得或（舍去）， 所以半球的表面积为. 故选：C 例6-2．（多选）如图，已知正八面体（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为，则以下结论正确的是（    ） A．点到平面的距离等于1 B．点到直线的距离等于1 C．球在正八面体外部的体积小于 D．球在正八面体外部的面积大于 【答案】BCD 【分析】对于A，先确定球的中心，然后利用正八面体的性质计算即可；对于B，直接利用三角形面积公式即可；对于C，计算在正八面体外部的球冠对应的圆锥的体积，然后估计出球在正八面体外部的体积的上界即可；对于D，利用旋转体体积公式求得球冠体积，并得到球冠与圆锥的总体积占整个球的比例，即可得到球冠的表面积，然后进行放缩即可. 【详解】对于A，由对称性可知棱切球球心就是正八面体的中心，而， 所以. 设点到平面的距离为，则有 ， 故，故A错误； 对于B，由于，故在平面上的投影就是正方形的中心， 故平面，而在平面内，故. 又因为，知点到直线的距离，故B正确； 对于C，根据上面的分析，球的半径等于点到直线的距离，即. 从而平面截棱切球所得圆的半径，设这个圆为圆. 设球的体积为，而以为顶点、圆为底面的圆锥的体积为， 则棱切球在正八面体内部的体积大于. 从而球在正八面体外部的体积小于 ，故C正确； 对于D，球在正八面体外部的面积等于正八面体外8个球冠的表面积. 而对于一个球冠而言，由其顶点和底面可以确定一个圆锥，而该圆锥的侧面积一定小于球冠的表面积. 从而，每个球冠的表面积都大于由该球冠顶点和底面圆确定的圆锥的侧面积. 该圆锥的底面半径，高，故母线长. 所以每个球冠的表面积都大于该圆锥的侧面积. 所以8个球冠的表面积之和大于，故D正确. 故选：BCD 变式6-1．棱长为6的正四面体的棱切球的表面积为_______. 【答案】 【分析】根据正四面体的性质，确定棱切球的球心位置，构造直角三角形，利用勾股定理求出棱切球的半径，从而得出棱切球的表面积. 【详解】如图，在正四面体中，    取正的中心，的中点，连接，则， 连接，则底面， 由正四面体的性质知，棱切球的球心在，连接、，则为棱切球的半径， 因为正四面体的棱长为6，， 所以，， 在中，由勾股定理得， 由正四面体的性质知，， 在中，由勾股定理得，解得， 所以棱切球的表面积为. 故答案为： 变式6-2．已知棱长均为的多面体由上､下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则__________．    【答案】 【分析】如图为正方形的中心，则既是多面体的外接球的球心，也是棱切球的球心，过点作于点，求出外接球的半径与棱切球的半径，即可得解. 【详解】在多面体中，为正方形的中心，如图所示： 由题意可知既是多面体的外接球的球心，也是棱切球的球心， 过点作于点，在中，， ，所以， 所以， 所以    故答案为： 变式6-3．正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为________． 【答案】 【分析】作出正四面体的图形，结合正四面体的性质分别求得其内切球、棱切球及外接球的半径，从而得解. 【详解】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为， 如图所示，为的中点，，    由正四面体的性质可知线段为正四面体的高， 在正中，， 同理，在正中，， 则，， 所以， 则， 由正四面体的性质知，三个球的球心重合，且球心在线段上， 则， ， 所以，故， 而棱切球与棱相切，故其半径为， 则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为. 故答案为：. 变式6-4．若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为______. 【答案】 【分析】设，外接球的半径为，根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球，利用勾股定理求解半径，即可由球的表面积公式即可求解． 【详解】设，外接球的半径为， 该多面体是由棱长为的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得， 如图，过，，三点的截面为正六边形，其面积，即， 根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球， 故，即， 故该多面体的棱切球的表面积为． 故答案为：． 类型七、球的堆叠和切接问题 解题技巧： 1. 抓相切本质:只要两个球挨在一起（外切），它们球心之间的直线距离，就等于两个球的半径加起来。如果所有球大小一样，那任意两个相切球的球心距离，就是两倍的球半径。 2.用截面看立体:别在脑子里想三维堆叠，直接画一张**穿过球心的竖切面图**，把一堆球变成一张纸上的一堆圆。这样就能清楚看到每个圆（球）和周围圆（球）的位置关系。 3.算高度靠勾股思路:想知道上层球比下层高多少，就把下层相邻球的球心连起来，再把上层球心和下层其中一个球心连起来：①先看底层，相邻球心的距离是固定的；②上层球心到下层平面的高度，就用“两个球心的直线距离”和“底层球心到多边形中心的水平距离”，用直角三角形的思路算出来（直线距离是斜边，水平距离是一条直角边，高度就是另一条直角边）。 4.靠对称性省力气:不管怎么堆，只要是整齐的堆叠（比如底层摆成三角形、正方形），上层的球心一定刚好在底层那一圈球的**正中心上方**。利用这个对称规律，不用一个个算每个球的位置，直接找中心就行。 5.先定形状再计算:先想清楚堆叠的样子：比如底层放3个球摆成三角形，上面放1个；或者底层放4个摆成正方形，上面再放一层。确定好样子后，再算总高度——总高度就是最下面球的半径、中间各层的高度差、最上面球的半径加起来。 例7-1．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案. 【详解】如图，取的中点，连接，，则，， 过点作⊥底面，垂足在上，且， 所以，故， 点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥， 设最大球的半径为，则， 因为∽，所以，即，解得， 即，则，故 设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为， 连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为， 则，则， 又，所以，解得， 又，故，解得， 所以， 模型中九个球的表面积和为. 故选：B 例7-2．在棱长为1的正方体内放入9个半径相等的小球，8个角各放1个，中间放1个，则小球半径最大为______. 【答案】 【分析】当小球的半径最大时，8个角上的球都与正方体的3个面相切，且它们均与中间的1个球相切，根据圆心距列方程求解，几何法求解均可. 【详解】当小球的半径最大，设为r时，8个角上的球都与正方体的3个面相切，且它们均与中间的1个球相切， 由正方体和球的对称性可知，这些球心在正方体的对角线上. 设对角面上5个球的球心分别为，作出对角面，如图， 则球与的交点，即为球与底面的切点， 所以，所以， 所以，因为正方体的棱长为1，所以， 所以，解得，同理， 又，即，解得. 变式7-1.如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把正四面体分割成以内切球球心为顶点的个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可. 【详解】如图所示，    设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为， 的中点为，连接，，，，，， 则，正四面体的高. 因为，所以，所以， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，所以， 所以小球的体积为. 故选：C 变式7-2.如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为，另一种金属晶体的原子半径为，则和的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意画出直观图，则四个金属原子的球心的连线所围成的图形为正四面体，设正四面体的棱长为，高为，外接球球心为，为正三角形的中心，求出外接球的半径，即可得到，从而得解. 【详解】由题意知，四个金属原子的球心的连线所围成的图形为如图所示的正四面体， 设正四面体的棱长为，高为，外接球球心为，为正三角形的中心， 则必有平面且，，三点共线， 在正三角形中，易求得， 在中，由，可得， 在中，由，得， 解得， 由题意得，所以， 所以． 故选：D． 变式7-3.已知一球内切于棱长为的正四面体，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为___________． 【答案】 【分析】根据题意作图，利用正四面体的结构性质，计算相关线段长度（如高），结合体积法（将正四面体体积分解为四个以内切球心为顶点的小三棱锥体积之和）求出内切球半径，通过分析空隙处小球的位置，构造相似三角形和，利用相似三角形对应边成比例求出空隙处小球的最大半径，最后根据球的体积公式计算小球体积即可． 【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为， 半径为，由正四面体结构特征可知为的中心，面，设为中点，球和球分别与面相切于和．    易得， 由，可得， 又，， 故，，， 又由，可得，即，解得，即空隙处的最大球的半径为． 所以空隙处的最大球的体积为． 故答案为：． 变式7-4.棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题关键在于分析两个铁球在正方体盒子中的放置情况,当两个铁球刚好外切且与正方体的某些面接触时,此时正方体的棱长取到最小值. 通过建立几何关系可以求出这个最小值. 【详解】设正方体为,球,的半径分别为,.当两个球在正方体中,要使正方体的棱长最小,两个球应分别位于正方体的两个相对顶点处,且与正方体的面相切.不妨设两球的球心在体对角线上. 因为正方体的棱长为,所以体对角线,在直角中, 又因为可以得到,. 因为，当两球外切时，，取最小值. 即 所以,即正方体的棱长最小值为. 类型八、空间几何体表面积与体积的最值问题 解题技巧： 1、 表面积最值问题 1.展开图转化法：将多面体的侧面展开成平面图形，把空间中最短路径、最小表面积问题，转化为平面内的线段最短、图形面积最值问题（如正方体/棱柱侧面展开求蚂蚁爬行最短路径）。 2.固定部分+变化部分拆分：先标出几何体中面积固定的面（如底面、与动点无关的侧面），再分析随动点变化的面的面积表达式，结合平面几何最值（如垂线段最短、相似三角形、二次函数）求解。 3.特殊位置试探：优先验证端点、中点、垂足、对称点等特殊位置，观察表面积的变化趋势（单调递增/递减/先减后增），快速判断极值点。 2、 体积最值问题 1.等体积转化法：对于棱锥/棱柱，通过换底换高简化计算：①选择面积易求的面为底，对应高为顶点到底面的距离；②利用“同底等高”“等底同高”的体积相等关系，将动点问题转化为高的最值问题。 2.高的最值转化：体积公式中，若底面积固定，体积最值由高的最值决定：①高的最大值：动点到平面的垂线段最长距离（如点到面的距离、线面平行时的距离）；②高的最小值：动点到平面的垂线段最短距离（通常为点到面的垂直距离）。 3.函数建模法：设动点为线段上的等分点，将底面积和高用表示，得到体积关于的函数，再通过单调性分析或配方法求最值（避免复杂导数，用初中函数知识解决）。 3、 通用解题步骤 1.拆解几何体：分清固定面与变化面，确定表面积/体积的表达式结构。 2.转化为平面问题：用展开图、等体积法、换底法，将空间最值降维到平面几何。 3.找极值条件：利用“垂线段最短”“对称点最短路径”“单调性”等几何规律，确定取最值时动点的位置。 4.代入计算：将极值位置代入公式，计算最终的表面积或体积。 - 4、 避坑提醒 1.表面积计算时注意是否包含底面（题目常区分“全面积”与“侧面积”）； 2.体积计算时注意底面积与高的对应关系，避免选错底面导致高计算错误； 3.动点范围要明确（如在线段上、在面上），防止超出定义域的极值。 例8-1．在三棱锥中，平面，，且，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，结合图形求得三棱锥外接球半径，然后换元利用基本不等式及不等式的性质得的最小值，从而可得面积的最小值． 【详解】如图， 设，，为的外心， 为三棱锥外接球的球心， 则平面，又平面， 所以，平面， 则，四边形是直角梯形， 设，，， 由平面，平面，得， 则，由余弦定理可知，，. 令，则，， ，当且仅当，即时等号成立， 所以三棱锥外接球表面积， 故选：B. 例8-2．一正四棱锥形状的中空水晶，其侧面分别镌刻“端”“午”“快”“乐”四字，内部为一个正四面体形状的水晶，表面上分别镌刻“吉”“祥”“如”“意”四字，当其在四棱锥外壳内转动时，好似折射出可穿越时空的永恒光芒.已知外部正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为 为使内部正四面体在外部正四棱锥内(不考虑四棱锥表面厚度)可绕四面体中心任意转动，则该正四面体体积最大为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正四棱锥的内切球半径，由正四面体在正四棱锥内转动，则正四面体在正四棱锥的内切球内转动，要使正四面体体积最大，则该球即为正四面体的外接球，将正四面体体嵌套在正方体中，通过求正四面体的外接球半径可求得正方体的边长，进而可求解正四面体的体积. 【详解】对于正四棱锥，连接，交于点，则⊥平面， 因为，故，， 又，由勾股定理得， 设正四棱锥的内切球球心为，取的中点，连接，则⊥， ，， 过点作⊥于点，设内切球半径为，则， 则， 因为∽，所以， 即，解得. ∵正四面体在正四棱锥内转动，∴正四面体在正四棱锥的内切球内转动， 要使正四面体体积最大，则该球即为正四面体的外接球. 将正四面体嵌套在正方体中，则正四面体为正方体的面对角线组成的正四面体，如下图， 则该正四面体的外接球即为正方体的外接球， 设正方体的边长为，则，解得. ∴正四面体的边长为， 该正方体的体积， ∴正四面体的体积. 故选：D. 变式8-1．已知二面角的大小为，且，，. 若点，，，都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心，，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点，为三棱锥外接球半径，取的中点为，推导出的外接圆直径，从而，当时，的最小值为，由此能求出该球的表面积的最小值． 【详解】设，则， 设和的外心分别为、，则分别为的中点， 过点分别作和所在平面的垂线，两垂线的交点为点， 则为三棱锥的外心， 连接，则为三棱锥外接球的半径． 取的中点，连接、、，如图所示： 由条件知且，， 所以为二面角的平面角，即，连接， 因为平面，平面，平面，平面， 所以，， 所以四点共圆，且该圆的直径为． 在中，由余弦定理可得 所以的外接圆直径， 当时，的最小值为， 所以该球的表面积的最小值为. 故选：C 变式8-2．圆锥的底面半径为2，高为，现于圆锥内放置一个可自由旋转的正方体，则该正方体体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似求圆锥内切球的半径，然后利用正方体的外接球的直径与棱长之间的关系求解棱长，即可根据正方体的体积公式求解. 【详解】如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径, 设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为， 由于, 由题意可知，所以. 即，解得. 设该正方体棱长的最大值为， 则，解得， 所以该正方体的体积的最大值是，故B正确. 故选：B 变式8-3．如图，记三棱锥的体积为为的中点，且平面，则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱锥体积的范围先确定的范围，然后确定三棱锥外接球的球心大概位置，然后根据勾股定理和基本不等式的性质求出外接球半径的范围，最后根据球的表面积公式求出结果即可. 【详解】因为，所以. 由于三棱锥的体积为，平面， 所以，所以. 因为等腰直角中，为的中点， 所以. 因为，所以三棱锥外接球的球心在直线上. 设外接球半径为，则根据勾股定理得 ，化简得， 即， 当且仅当时等号成立. 因为，当时，； 当时，； 所以， 此时该外接球的表面积为. 故选：C. 变式8-4．（多选）正方体棱长为2，为中点，为平面上的动点（在四边形内部及其边界）且满足平面，则下列正确的是（    ） A．动点F的轨迹长度为 B．三棱锥的体积范围为 C．三棱锥的体积为定值 D．当三棱锥的体积最小时，其外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】根据题意利用面面平行判定定理可证明平面平面，可得出动点的轨迹为线段，此时长度为，即A错误；由棱锥体积公式计算可知三棱锥的体积范围为，可得B正确，结合A中分析可知点到平面的距离为定值，可判断C正确，确定点的位置后找出外接球球心位置，列方程求出外接球半径可得D正确. 【详解】对于A，取的中点的中点为，连，过作交于，连，如下图所示： 因为为中点，由正方体性质可知，因此可得四点共面； 由可知为的中点， 又因为平面，平面， 所以平面； 又的中点为，所以， 又平面，平面， 所以平面； 因为，平面， 所以可得平面平面， 又因为需满足平面，且为平面上的动点， 所以动点的轨迹为线段，此时长度为，即A错误； 对于B，显然三棱锥的顶点到底面的距离为， 所以当的面积最小时，体积最小，其面积最大时，体积最大； 又因为，所以当在时，点到的距离最小为1， 此时体积最小，即的最小值为， 当在时，点到的距离最大为2， 此时体积最大，即的最大为； 因此三棱锥的体积范围为，即B正确； 对于C，由于，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值； 又因为底面的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值， 即不变，可得C正确； 对于D，当三棱锥的体积最小时，根据B中分析可知此时与重合， 即求的外接球的半径即可， 设外接球的球心为，半径为的外接圆圆心为，半径为为中点， 如下图所示： 则，在直角梯形和直角三角形中， 易知， 所以可得，解得； 所以外接球表面积为， 因此当三棱锥的体积最小时，其外接球的表面积为，可得D正确. 故选：BCD 压轴专练 1.如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中，，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正四棱台的性质，可求得正四棱台的高，从而可得正四棱台的体积.补全图中几何体可知截去的三棱锥的底面为三角形，高为正四棱台的高，从而可得截去的三棱锥的体积.两者做差即可得到题目中几何体的体积. 【详解】 因为，，根据正四棱台性质，其高为， 则该正四棱台的体积为. 又由图可知截去三棱锥底面积为， 所以三棱锥体积为， 即所求几何体体积为. 故选：A 2.用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球，最多能装下小球个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】画出平面图,计算出第二个球最高点到圆柱底的最大距离，得到规律即可求解. 【详解】如图，将第一个球靠近该圆柱右侧放置，球上的点到该圆柱底面的最大距离为2，将第二个球也靠近圆柱侧面放置， 过点作垂直于该圆柱的母线，垂足为A,过点作垂直于圆柱底面， 垂足为B,设， 则球上的点到该圆柱底面的最大距离为， 同理可得球上的点到该圆柱底面的最大距离为， 由此规律可得，每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱底面的最大距离加， 因为，故最多能装下小球个数为11. 故选：B 3.攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体.已知正四棱台侧棱、下底的长度（单位：dm）分别为4，6，侧面与底面所成二面角的正切值为，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作平面于，过作于，连接，证明平面，即得为的平面角，利用解三角形列方程即可求得正四棱台上底边长，再根据该结构的组成计算其表面积即可. 【详解】过作平面于，过作于，连接， 因平面,则，又平面， 故平面，因平面，则，故为的平面角， 故，则. 令正四棱台上底边长为，则， ， 所以，即， 解得或（舍去），故. 所以该结构表面积为 . 故选：A. 4.某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据圆台的结构特征和边角关系求出圆台上下底面的半径，然后求出圆台的高，然后将等腰梯形补成等边三角形求出内切圆半径，即可求出球的表面积的最大值. 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，，则， 易知圆台的轴截面是一个等腰梯形，又母线与底面所成的角为，则等腰梯形的底角为． 由于，即，解得，， 则圆台的高为，将梯形补成边长为10的等边三角形， 所以该等边三角形的内切圆的半径为， 又，所以圆台加工成一个球体的半径最大值为， 所以球的表面积最大值为． 故选：B． 5.一封闭圆锥容器的轴截面是边长为3的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解 【详解】在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示：      因为小球的半径， 所以, 又都是等边三角形，所以，， 于是，圆台的上、下底面圆的半径分别，， 母线长， 所以圆台的侧面积为. 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆， 其半径为，其面积为. 综上，圆锥内壁上小球能接触到的最大面积为. 故选：A 6.三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得的外接圆半径，，根据直棱柱的外接球半径公式结合二次函数运算求解即可. 【详解】设，则正的外接圆半径， 因为，则， 则该三棱锥外接球半径， 当且仅当时，等号成立， 所以该三棱锥外接球表面积的最小值为. 故选：C. 7.祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（而且球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），然后将球取出，则这时容器中水的深度约为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据祖暅原理，当圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等时，球柱的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆台的体积，由这个原理求球体和水接触的部分与没和水接触部分为的体积，得出水的体积，再转化为圆锥求高. 【详解】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等， 根据祖暅原理，半球的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，球柱的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆台的体积. 下面证明如图1中阴影截面面积相等： 证明：设半球中阴影截面圆的半径为，球体半径为， 则，截面圆面积； 因为，所以圆柱中截面小圆半径，而大圆半径为， 则截面圆环的面积， 所以，又高度相等，所以球柱的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆台的体积. 如图2，设球体和水接触的上部分为，没和水接触的下部分为， 小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积. 已知球体半径为，为等边三角形，，，， 根据祖暅原理   ， 设图2中轴截面为梯形的圆台体积为， 设将球取出时容器中水的深度为，底面圆的半径为，则，. ，即，. 故选：B 8.（多选）在正四棱台中，是正方形的中心，，，，则（   ） A．平面 B．正四棱台的体积为 C．正四棱台的外接球的表面积为 D．正四棱台存在内切球 【答案】AC 【分析】易证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行判定可得A正确；求出四棱台的高，根据棱台体积公式可求得B错误；假设正四棱台存在外接球，分别讨论球心在正四棱台内部和外部的情况，作出截面，构造方程组可求得外接球半径，代入球的表面积公式可求得C正确；假设存在内切球，根据内切球的定义可知，计算出两角余弦值可知假设错误，知D错误. 【详解】对于A，连接， 四边形，均为正方形，，， ，，； 平面平面，平面，平面， 平面，平面平面，； 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面，A 正确； 对于B，设为正方形的中心， 作出截面梯形，作，垂足为，如下图所示， ，，，又，， 正四棱台的高， 正四棱台的体积，B错误； 对于C，记正四棱台外接球的球心为，外接球半径为， 若球心在正四棱台内部，作出截面梯形，连结，如下图所示， 设，则， ，解得：，， 正四棱台外接球表面积； 若球心在正四棱台外部，作出截面梯形，连结，如下图所示， 设，则， ，解得：（舍）； 综上所述：正四棱台外接球表面积，C正确； 对于D，若正四棱台存在内切球，球心为， 则内切球半径； 分别取中点，作，垂足为，作出截面，如下图所示， 平面，平面，， 又，，平面，平面， 若正四棱台存在内切球，则内切球半径， ，， ，，， ，， ，与假设矛盾， 正四棱台不存在内切球，D错误. 故选：AC. 9.（多选）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可. 【详解】 设，因为平面，，则， ，连接交于点，连接，易得， 又平面，平面，则，又，平面，则平面， 又，过作于，易得四边形为矩形，则， 则，， ，则，，， 则，则，，，故A、B错误；C、D正确. 故选：CD. 10.（多选）在正四棱台中，是正方形的中心，，，，则（   ） A．平面 B．正四棱台的体积为 C．正四棱台的外接球的表面积为 D．正四棱台存在内切球 【答案】AC 【分析】易证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行判定可得A正确；求出四棱台的高，根据棱台体积公式可求得B错误；假设正四棱台存在外接球，分别讨论球心在正四棱台内部和外部的情况，作出截面，构造方程组可求得外接球半径，代入球的表面积公式可求得C正确；假设存在内切球，根据内切球的定义可知，计算出两角余弦值可知假设错误，知D错误. 【详解】对于A，连接， 四边形，均为正方形，，， ，，； 平面平面，平面，平面， 平面，平面平面，； 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面，A正确； 对于B，设为正方形的中心， 作出截面梯形，作，垂足为，如下图所示， ，，，又，， 正四棱台的高， 正四棱台的体积，B错误； 对于C，记正四棱台外接球的球心为，外接球半径为， 若球心在正四棱台内部，作出截面梯形，连结，如下图所示， 设，则， ，解得：，， 正四棱台外接球表面积； 若球心在正四棱台外部，作出截面梯形，连结，如下图所示， 设，则， ，解得：（舍）； 综上所述：正四棱台外接球表面积，C正确； 对于D，若正四棱台存在内切球，球心为， 则内切球半径； 分别取中点，作，垂足为，作出截面，如下图所示， 平面，平面，， 又，，平面，平面， 若正四棱台存在内切球，则内切球半径， ，， ，，， ，， ，与假设矛盾， 正四棱台不存在内切球，D错误. 故选：AC. 11.（多选）若正三棱锥的底面边长为3，高为，则该正三棱锥的（    ） A．体积为 B．表面积为 C．外接球的表面积为 D．内切球的表面积为 【答案】ABD 【分析】A：由三棱锥体积公式可求结果；B：根据条件计算出正三棱锥的棱长，由此可计算出表面积；C：确定出外接球的球心，则半径可求，由此可求外接球表面积；D：根据等体积法求解出内切球的半径，由此可求内切球的表面积. 【详解】如图，正三棱锥的体积，故A正确；    取的中点，连接，则在正三棱锥中，， 作平面，垂足为，则，由正三棱锥的性质可知在上，且， 可得，则，又，则， 则三棱锥的表面积为，故B正确； 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则在上，连接， 则，解得，则其外接球的表面积为，故C错误； 设三棱锥的内切球的半径为，由等体积法可得，解得， 故三棱锥的内切球表面积为，故D正确. 故选：ABD. 12.已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】利用已知条件得到为等边三角形、为等腰直角三角形，且面，进而求棱锥外接球半径，即可得表面积. 【详解】由，则底面外接圆半径， 所以，外接圆是以为直径的圆， 又，且二面角的平面角为， 结合对称性，即在以为圆心，2为半径的半圆上， 要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大，故， 此时，又，,都在面上，故面， 同时，还要保证面积最大，而， 所以，当且仅当时等号成立，此时最大面积， 综上，棱锥体积最大时，为等边三角形、为等腰直角三角形，且面， 如下图，分别是中点，为的中心，为棱锥外接球球心，    又，， 所以，外接球半径，故其表面积为. 故答案为： 13.如图，在正四面体 中，放置 1 大、4 中、4 小共 9 个球，其中，大球为正四面体 的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体 的体积为 ，则 9 个球的表面积之和为______. 【答案】 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 中等球内切于高的正四面体，中等球半径， 因此中等球的表面积为； 最小球内切于高的正四面体，最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以九个球的表面积为， 故答案为： 14.在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据题设，结合面面垂直的性质有侧面，进而有，，，将三棱锥补全为长方体且，则球是长方体的外接球，结合基本不等式求外接球表面积的最小值. 【详解】由底面，平面，则平面底面， 又侧面侧面，底面侧面，则侧面， 由底面，则，， 由侧面，则，故，即， 所以两两垂直，则三棱锥可补全为如下长方体， 三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球为三棱锥的外接球， 所以球为上述长方体的外接球，则其表面积， 当且仅当时取等号，故球表面积的最小值为. 故答案为： 15.已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______． 【答案】 【分析】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值. 【详解】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： 16.称四面体的棱切球为与该四面体的每条棱内部都相切的球.已知四面体存在棱切球，且，则该四面体的体积为__________，棱切球的半径为__________. 【答案】 / 【分析】先根据切线长公式求得发现该四面体的对棱长度之和相等得，进而得该四面体是一个底面边长为6，侧棱长为8的正三棱锥，再结合体积公式与棱切球的知识求解即可. 【详解】设棱切球的球心为，棱切球的半径为， 该棱切球与棱的切点分别为， 则， 因为， 所以，根据切线长公式得， 同理可得， 设， 因为， 所以， 所以，解得， 所以， 且为中点， 所以，该四面体是一个底面边长为6，侧棱长为8的正三棱锥. 设在底面的投影为，则是底面三角形的中心， 则，， 所以该四面体的高， 因为底面三角形的面积为， 所以，四面体的体积为. 另一方面，由正三棱锥性质可知，棱切球球心在线段上， 因为， 所以，即，解得：，， 因为， ， 所以,整理得：，解得：. 因为，，解得 所以，舍去，即棱切球的半径为. 故答案为：；. 17.已知三棱锥三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且， M，N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则M，N两点间距离的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将三棱锥补成正方体，计算出内切球的半径以及点到平面的距离，即可求得、两点间距离的最小值. 【详解】由已知可将该三棱锥补成正方体，连接，如图所示. 设三棱锥的内切球球心为，外接球球心为，内切球与平面的切点为， 易知、、三点均在上， 在正方体中，平面，平面，， 因为四边形为正方形，则， ，平面， 平面，则，同理可证， ，平面， 设内切球的半径为，外接球的半径为，则. 由等体积法可得， 即， 由等体积法可得，得， 、两点间距离的最小值为. 故答案为：. 18.祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅在解决球体体积时，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，如图①所示．如图②是一个半径为3的球体，平面ABC与球相交，截面为圆B，延长BO，交球于点D，则BO垂直于圆B（BO垂直于圆B内的所有直线），． (1)求圆锥DB的表面积和体积； (2)如图平面ABC上方与球体之间的部分叫球冠，请利用祖暅原理求球冠的体积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出圆锥高和母线，从而求其表面积和体积； （2）如图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥．取同一高度h的截面．令球冠截面半径为，面积为，圆锥截面半径为，所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等，根据求解． 【详解】（1）因为，， 设，则， 圆锥高，母线长， ， ． （2）如图构造一个与半球同底等高的圆柱， 内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥． 取同一高度h的截面．令球冠截面半径为，面积为，圆锥截面半径为， 面积为，．， ， 所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等． 所以． 依题意圆柱的高为2，半径为3．圆台的上底面半径为3，下底面半径为， 因为即为球冠的底面积，所以 由，得，所以 所以 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 立体几何中的表面积与体积问题 目录 类型一、空间几何体的表面积问题 类型二、利用割补法、等积法求几何体的体积问题 类型三、祖暅原理在求体积中的应用问题 类型四、外接球的表面积与体积问题 类型五、内切球的表面积与体积问题 类型六、棱切球的表面积与体积问题 类型七、多球的堆叠问题 类型八、空间几何体表面积与体积的最值问题 压轴专练 类型一、空间几何体的表面积问题 解题技巧： 1、棱柱，棱锥，棱台的表面积公式：． 2、（1）圆柱的表面积公式：； （2）圆锥的表面积公式：； （3）圆台的表面积公式： 例1-1．如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 例1-2．如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）    A．B． C． D． 变式1-1．如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 变式1-2．在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ， ．    变式1-4．在三棱锥中，，都是等边三角形，且，则三棱锥表面积的最大值为________． 类型二、利用割补法、等积法求几何体的体积问题 解题技巧： 一、柱体、锥体、台体体积公式： ；；（，S分别为上，下底面面积）． 说明  （1）当时，； 当时，． 二、体积计算的常用方法：直接法、分割法、拼补法、转移法 例2-1．小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 例2-2．已知边长为1的正方形绕边所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点和分别是圆柱上底面和下底面的动点，点是线段的中点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，在正三棱柱中，，，则三棱锥的体积为 . 变式2-2．在棱长为的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为 . 变式2-3．艺术家埃舍尔的作品展示了数学之美，如图①是其作品《星空》中的一部分，由正方体和正八面体相互交叉形成的组合体，可抽象为图②所示的图形．若正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，则两个几何体相交后公共部分形成的几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 变式2-4．在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，． (1)求多面体的体积； (2)求三棱锥的体积． 类型三、祖暅原理的应用问题 解题技巧： 一、解题核心步骤 1. 原理本质：夹在同一组平行平面间的两个几何体，只要高度相同，且任意平行于底面的截面面积都相等，它们的体积就一定相等。 2. 解题思路：面对体积难算的不规则几何体，核心是构造一个规则对照体（如圆柱、圆锥、长方体等，体积公式已知），让它和原几何体满足“等高+截面处处等面积”的条件。 3. 验证关键：不能只验证某几个高度的截面，必须保证所有高度位置的截面面积都相等，这是祖暅原理成立的前提。 4. 经典构造技巧：计算球/半球体积时，最常用的对照体是“与半球同底同高的圆柱，挖去内部一个同底同高的圆锥”，二者截面面积恰好相等，可直接转化计算。 5. 最终步骤：验证通过后，直接套用规则对照体的体积公式，即可得到原不规则几何体的体积，实现“化难为易”的计算。 2、 易错点提醒 1. 必须验证任意高度的截面面积相等，仅部分截面相等不满足原理； 2. 构造的规则几何体需与原几何体严格等高，高度不一致则无法直接应用； 3. 截面面积计算需结合几何体的几何特征（如圆的半径、相似比等），避免公式误用。 例3-1．如图，将底面直径皆为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与的距离为d的平面截两个几何体得到及两截面，可以证明总成立．据此，短轴为3cm，长半轴为2cm的椭半球体的体积是______． 例3-2．祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    变式3-1．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为_________. 变式3-2．有趣的金马徐高想运用所学祖暅原理（如图1）解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为4的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为________．（结果保留）    变式3-3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（   ）（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A． B． C．36π D．72π 变式3-4．我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． (1)如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，求新几何体的体积． (2)如图2，一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”．该球台下底半径为10cm，上底半径为6cm，上下底面间的距离为8cm．根据祖暅原理，求该球台的体积． (3)如图3，一个球体被平面截下的部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高．根据祖暅原理，推导半径为R，高为H的球缺的体积公式． 类型四、外接球的表面积与体积问题 解题技巧： 1.核心目标：先求出外接球的半径，再计算表面积和体积。 2.概念区分：外接球是让几何体的所有顶点都在球面上，球心到各顶点距离相等（等于半径）。 3.球心定位：利用几何体的对称性找球心，比如长方体的体对角线中点、直棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点。 4.半径求法： ①长方体/正方体：直接用体对角线的一半作为半径； ② 棱柱/棱锥：先算底面外接圆半径，再结合几何体高度，用勾股定理求球半径；③特殊几何体（如墙角型）：补成长方体后套用长方体公式。 5.补形技巧：对不规则或有垂直关系的几何体，优先补成长方体/正方体，简化半径计算。 6.公式套用：半径确定后，直接用球的表面积和体积公式计算结果。 例4-1．在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积不大于，则的取值范围为 . 例4-2．在三棱锥中，，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 变式4-2．在正三棱锥中，，E为侧棱的中点，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 变式4-3．在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 . 变式4-4．在中，已知，，，为线段BC上一个动点． (1)若AD为的角平分线，求线段AD的长； (2)将折起到的位置，记二面角的大小为． （i）若，且AD为的角平分线，求三棱锥外接球的面积； （ii）若，求三棱锥外接球的面积最小值． 类型五、内切球的表面积与体积问题 解题技巧： 1.核心定义：内切球是与几何体的每一个面都相切的球，球心到各个面的距离相等，且该距离等于内切球半径。 2.适用前提：仅针对正多面体或各面全等、对称的多面体（如正棱柱、正棱锥），非对称几何体通常没有内切球。 3.球心定位：球心位于几何体的对称中心（高的中点或中心轴线上），且在几何体内部。 4.半径求法：通常利用等体积法计算，即几何体体积等于三分之一乘以表面积乘以半径，通过变形直接解出半径。 5.公式计算：求出半径后，直接代入球体表面积和体积公式，即可得到最终结果。 例5-1．某工艺品加工厂收到一块底面棱长为厘米，侧棱长为厘米的正三棱锥形状的珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，则这个球形饰品的表面积的最大值是（    ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 例5-2．已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 变式5-2．如图，在一个表面积为的正三棱柱中，，其若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式5-3．如图，三棱锥中，，，已知平面∥平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则（   ） A． B． C． D． 变式5-4．（多选）已知圆台上、下底面半径分别为1，4，半径为的球内切于圆台，则（   ） A． B．圆台侧面展开图扇环的圆心角为 C．过的截面与底面所成角为60°时，到截面距离为 D．在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为 类型六、棱切球的表面积与体积问题 解题技巧： 1.概念区分：棱切球是与几何体的所有侧棱都相切的球，区别于外接球（过所有顶点）和内切球（与所有面相切）。 2.核心目标：先确定棱切球的球心位置和半径长度，再计算表面积与体积。 3.球心定位：球心在几何体的中心对称轴上，到每条侧棱的距离都相等（等于半径）。 4.半径求法：通过几何关系计算球心到任意一条侧棱的垂直距离，该距离即为棱切球半径。 5.公式套用：半径确定后，直接用球的表面积和体积公式计算结果 例6-1．已知正四棱台，半球的球心在底面的中心，且半球与该棱台的各棱均相切，则半球的表面积为（      ） A． B． C． D． 例6-2．（多选）如图，已知正八面体（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为，则以下结论正确的是（    ） A．点到平面的距离等于1 B．点到直线的距离等于1 C．球在正八面体外部的体积小于 D．球在正八面体外部的面积大于 变式6-1．棱长为6的正四面体的棱切球的表面积为_______. 变式6-2．已知棱长均为的多面体由上､下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则__________．    变式6-3．正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为________． 变式6-4．若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为______. 类型七、球的堆叠和切接问题 解题技巧： 1. 抓相切本质:只要两个球挨在一起（外切），它们球心之间的直线距离，就等于两个球的半径加起来。如果所有球大小一样，那任意两个相切球的球心距离，就是两倍的球半径。 2.用截面看立体:别在脑子里想三维堆叠，直接画一张**穿过球心的竖切面图**，把一堆球变成一张纸上的一堆圆。这样就能清楚看到每个圆（球）和周围圆（球）的位置关系。 3.算高度靠勾股思路:想知道上层球比下层高多少，就把下层相邻球的球心连起来，再把上层球心和下层其中一个球心连起来：①先看底层，相邻球心的距离是固定的；②上层球心到下层平面的高度，就用“两个球心的直线距离”和“底层球心到多边形中心的水平距离”，用直角三角形的思路算出来（直线距离是斜边，水平距离是一条直角边，高度就是另一条直角边）。 4.靠对称性省力气:不管怎么堆，只要是整齐的堆叠（比如底层摆成三角形、正方形），上层的球心一定刚好在底层那一圈球的**正中心上方**。利用这个对称规律，不用一个个算每个球的位置，直接找中心就行。 5.先定形状再计算:先想清楚堆叠的样子：比如底层放3个球摆成三角形，上面放1个；或者底层放4个摆成正方形，上面再放一层。确定好样子后，再算总高度——总高度就是最下面球的半径、中间各层的高度差、最上面球的半径加起来。 例7-1．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（    ） A． B． C． D． 例7-2．在棱长为1的正方体内放入9个半径相等的小球，8个角各放1个，中间放1个，则小球半径最大为______. 变式7-1.如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 变式7-2.如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为，另一种金属晶体的原子半径为，则和的关系是（    ） A． B． C． D． 变式7-3.已知一球内切于棱长为的正四面体，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为___________． 变式7-4.棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 类型八、空间几何体表面积与体积的最值问题 解题技巧： 1、 表面积最值问题 1.展开图转化法：将多面体的侧面展开成平面图形，把空间中最短路径、最小表面积问题，转化为平面内的线段最短、图形面积最值问题（如正方体/棱柱侧面展开求蚂蚁爬行最短路径）。 2.固定部分+变化部分拆分：先标出几何体中面积固定的面（如底面、与动点无关的侧面），再分析随动点变化的面的面积表达式，结合平面几何最值（如垂线段最短、相似三角形、二次函数）求解。 3.特殊位置试探：优先验证端点、中点、垂足、对称点等特殊位置，观察表面积的变化趋势（单调递增/递减/先减后增），快速判断极值点。 2、 体积最值问题 1.等体积转化法：对于棱锥/棱柱，通过换底换高简化计算：①选择面积易求的面为底，对应高为顶点到底面的距离；②利用“同底等高”“等底同高”的体积相等关系，将动点问题转化为高的最值问题。 2.高的最值转化：体积公式中，若底面积固定，体积最值由高的最值决定：①高的最大值：动点到平面的垂线段最长距离（如点到面的距离、线面平行时的距离）；②高的最小值：动点到平面的垂线段最短距离（通常为点到面的垂直距离）。 3.函数建模法：设动点为线段上的等分点，将底面积和高用表示，得到体积关于的函数，再通过单调性分析或配方法求最值（避免复杂导数，用初中函数知识解决）。 3、 通用解题步骤 1.拆解几何体：分清固定面与变化面，确定表面积/体积的表达式结构。 2.转化为平面问题：用展开图、等体积法、换底法，将空间最值降维到平面几何。 3.找极值条件：利用“垂线段最短”“对称点最短路径”“单调性”等几何规律，确定取最值时动点的位置。 4.代入计算：将极值位置代入公式，计算最终的表面积或体积。 - 4、 避坑提醒 1.表面积计算时注意是否包含底面（题目常区分“全面积”与“侧面积”）； 2.体积计算时注意底面积与高的对应关系，避免选错底面导致高计算错误； 3.动点范围要明确（如在线段上、在面上），防止超出定义域的极值。 例8-1．在三棱锥中，平面，，且，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 例8-2．一正四棱锥形状的中空水晶，其侧面分别镌刻“端”“午”“快”“乐”四字，内部为一个正四面体形状的水晶，表面上分别镌刻“吉”“祥”“如”“意”四字，当其在四棱锥外壳内转动时，好似折射出可穿越时空的永恒光芒.已知外部正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为 为使内部正四面体在外部正四棱锥内(不考虑四棱锥表面厚度)可绕四面体中心任意转动，则该正四面体体积最大为（  ） A． B． C． D． 变式8-1．已知二面角的大小为，且，，. 若点，，，都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式8-2．圆锥的底面半径为2，高为，现于圆锥内放置一个可自由旋转的正方体，则该正方体体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式8-3．如图，记三棱锥的体积为为的中点，且平面，则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式8-4．（多选）正方体棱长为2，为中点，为平面上的动点（在四边形内部及其边界）且满足平面，则下列正确的是（    ） A．动点F的轨迹长度为 B．三棱锥的体积范围为 C．三棱锥的体积为定值 D．当三棱锥的体积最小时，其外接球的表面积为 压轴专练 1.如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中，，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 2.用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球，最多能装下小球个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 3.攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体.已知正四棱台侧棱、下底的长度（单位：dm）分别为4，6，侧面与底面所成二面角的正切值为，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（   ） A． B． C． D． 4.某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 5.一封闭圆锥容器的轴截面是边长为3的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为（   ） A． B． C． D． 6.三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 7.祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（而且球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），然后将球取出，则这时容器中水的深度约为（    ）      A． B． C． D． 8.（多选）在正四棱台中，是正方形的中心，，，，则（   ） A．平面 B．正四棱台的体积为 C．正四棱台的外接球的表面积为 D．正四棱台存在内切球 9.（多选）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 10.（多选）在正四棱台中，是正方形的中心，，，，则（   ） A．平面 B．正四棱台的体积为 C．正四棱台的外接球的表面积为 D．正四棱台存在内切球 11.（多选）若正三棱锥的底面边长为3，高为，则该正三棱锥的（    ） A．体积为 B．表面积为 C．外接球的表面积为 D．内切球的表面积为 12.已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为__________. 13.如图，在正四面体 中，放置 1 大、4 中、4 小共 9 个球，其中，大球为正四面体 的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体 的体积为 ，则 9 个球的表面积之和为______. 14.在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 15.已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______． 16.称四面体的棱切球为与该四面体的每条棱内部都相切的球.已知四面体存在棱切球，且，则该四面体的体积为__________，棱切球的半径为__________. 17.已知三棱锥三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且， M，N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则M，N两点间距离的最小值为 . 18.祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅在解决球体体积时，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，如图①所示．如图②是一个半径为3的球体，平面ABC与球相交，截面为圆B，延长BO，交球于点D，则BO垂直于圆B（BO垂直于圆B内的所有直线），． (1)求圆锥DB的表面积和体积； (2)如图平面ABC上方与球体之间的部分叫球冠，请利用祖暅原理求球冠的体积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $