4.5.2 几种简单几何体的体积课时作业-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.5.2　几种简单几何体的体积 基础过关练 题组一　柱体、锥体、台体的体积 1.(2020河北石家庄期末)如图,一圆锥形物体的母线长为4,其侧面积为4π,则这个圆锥的体积为 (　　) A.　　　　 B.　　 C.π　　　　D.π 2.如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=2BC=4,CD=2,P,O,E分别为A1D1,AD,PC的中点,△PAD为正三角形,则三棱锥E-POB的体积为 (　　) A.4　　B.3　　C.2　　D.1 3.(2020山西太原一中期中)将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面的高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是 (　　) A.6 cm　　　　B.6 cm C.2 cm　　　　D.3 cm 4.(2021 河北定州期中考试)某中学数学建模社团开展劳动实习,学习加工制作糖果包装盒.现有一张边长为10 cm的正六边形硬纸片,如图所示,裁掉阴影部分,然后按虚线处折成底面边长为6 cm的正六棱柱形无盖包装盒,则此包装盒的体积为 (　　) A.648 cm3　　　　B.324 cm3 C.162 cm3　　　　D.108 cm3 5.(2022山西吕梁二模)如图是我国古代量粮食的器具“升”,其形状是正四棱台,上、下底面边长分别为15 cm和10 cm,高为15 cm.“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平,这叫“平升”,则该“升”的“平升”约可装(1 000 cm3=1 L)(　　) A.1.9 L　　　　B.2.2 L　　 C.2.4 L　　　　D.4.6 L 6.(2021重庆江津第五中学校期中)某部门建造了一个圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m,高为4 m,该部门计划再建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:方案一是新建的圆锥形仓库的底面直径比原来增加4 m(高不变);方案二是新建的圆锥形仓库的高度增加4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的侧面积; (3)哪个方案更经济些?为什么? 题组二　球的体积 7.(2020湖南长沙长郡中学期中)用一个平面截一球得到直径为6的圆面,球心O到这个圆面的距离为4,则这个球的体积为 (　　) A.　　　　B.　　 C.　　　　D. 8.若三个球的表面积之比为1∶4∶9,则这三个球的体积之比为　　　　　.  9.圆柱形玻璃容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是　　　　cm.  题组三　组合体的体积 10.如图所示,在△ABC中,AB=2,BC=,∠ABC=120°,若将△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的旋转体的体积是　　　　.  11.(2022青海海东期末)某学生到某工厂进行劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分(两个圆柱底面圆的圆心重合),大圆柱的轴截面是边长为20 cm的正方形,小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半,打印所用原料的密度为1 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为　　　　g.  12.(2022广东东莞东华高级中学期中)如图,AB是圆柱OO'的一条母线,BC过底面圆的圆心O,D是圆O上一点.已知AB=BC=5,CD=3. (1)求该圆柱的表面积; (2)求点B到平面ACD的距离; (3)将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周,求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积. 能力提升练 题组一　与柱体、锥体、台体有关的体积 1.(2022福建龙岩期中联考)《九章算术》中将正四棱台(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭.如图,现有一方亭EFGH-ABCD,其中上底面与下底面的面积之比为1∶4,方亭的高h=EF,BF=EF,方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形,已知方亭四个侧面的面积之和为12,则方亭的体积为 (　　) A.24　　B.　　C.　　D.16 2.(2020江苏宿豫中学期中)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2的两部分,则V1∶V2= (　　) A.7∶5　　B.5∶7　　C.3∶2　　D.4∶7 3.(2022山东德州期末)《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的成系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形,则该圆锥的体积等于　　　　　.   5.(2020江苏南通调研)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,如果AB=AC=,BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,那么多面体BB1C1CEF的体积为　　　　.  6.以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱,以正棱柱两个底面的外接圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的外接圆柱. (1)求正三棱柱与它的外接圆柱的体积之比; (2)若正三棱柱的高为6,其内切圆柱的体积为24π,求该正三棱柱的底面边长. 7.(2022上海延安中学期中)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面圆的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,∠APC=90°. (1)证明:PC⊥平面PAB; (2)设DO=2,圆锥的侧面积为2π,求三棱锥P-ABC的体积. 题组二　与球有关的体积 8.(2020湖南长沙雅礼中学期中)若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球体积之比为 (　　) A.3∶1　　B.5∶1　　C.5∶1　　D.6∶1 9.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是 (　　) A.4π　　　　B. C.6π　　　　D. 10.如图,有一个倒圆锥形容器中有部分水,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放入一个半径为r的铁球,此时水面与球正好相切,则原来容器中水的深度为　　　　.  11.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一个空间几何体,求该空间几何体的体积(其中∠BAC=30°). 答案全解全析 基础过关练 1.C　设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,则l=4,圆锥的侧面积S侧=πrl=4π,解得r=1,所以圆锥的高h==,故圆锥的体积V=πr2h=π,故选C. 2.C　因为P,O分别为A1D1,AD的中点, 所以由直棱柱的性质知PO⊥平面ABCD, 又△PAD为正三角形,AD=4, 所以PO=AD=2.连接CO,如图所示: 在直角梯形ABCD中,易知S△BCO=BC·BO=×2×2=2. 因为E为PC的中点, 所以VE-POB=VC-POB=VP-BCO=×S△BCO·PO=×2×2=2,故选C. 3.B　设倒圆锥形器皿中水面的高度为h cm,水面半径为r cm,则母线长(水面以下部分)l=2r cm, ∴h=r,即r=,∴πr2h=π×22×6, ∴π··h=24π,∴h3=216,解得h=6. 4.B　如图,由题意知AB=6 cm,所以BE==2(cm),BF=BEtan 60°=2 cm,即正六棱柱的高为2 cm,所以该正六棱柱的体积V=6××6×6××2=324(cm3). 5.C　由台体的体积公式可知,V=×15×(102+152+)=2 375(cm3),2 375 cm3≈2.4 L,故选C. 6.解析　(1)若按方案一,新建的圆锥形仓库的底面直径变成16 m,高不变, 则新建的圆锥形仓库的体积V1=×π××4=(m3); 若按方案二,新建的圆锥形仓库的高变成8 m,底面直径不变, 则新建的圆锥形仓库的体积V2=×π××8=96π(m3). (2)若按方案一,新建的圆锥形仓库的底面直径变成16 m,高不变, 则圆锥的母线长l1==4(m),新建的圆锥形仓库的侧面积S1=π××4=32π(m2); 若按方案二,新建的圆锥形仓库的高变成8 m,底面直径不变, 则圆锥的母线长l2==10(m), 新建的圆锥形仓库的侧面积S2=π××10=60π(m2). (3)由(1)(2)知,V1<V2,S2<S1,所以按方案二新建的圆锥形仓库的体积更大,侧面积更小,所需耗材更少,故方案二比方案一更加经济. 7.C　如图,设截面圆的圆心为O',由题意可知,圆面的直径为6,则O'A=3, 又OO'=4, ∴球的半径R=OA=5, ∴球的体积V=πR3=,故选C. 8.答案　1∶8∶27 解析　设三个球的半径分别为R1,R2,R3,体积分别为V1,V2,V3, ∵三个球的表面积之比为1∶4∶9, ∴4π∶4π∶4π=1∶4∶9, 即∶∶=1∶4∶9,∴R1∶R2∶R3=1∶2∶3, ∴∶∶=1∶8∶27, ∴V1∶V2∶V3=π∶π∶π=∶∶=1∶8∶27. 9.答案　4 解析　设球的半径为r cm,则由题意可得3×πr3+πr2×8=πr2×6r,解得r=4.故球的半径是4 cm. 10.答案　π 解析　由题意得所形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个同底的小圆锥,故其体积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积. 如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,易知AD=, 故所求体积V=π·AD2·DC-π·AD2·DB=π·AD2·BC=π×()2×=π. 11.答案　1 500π 解析　根据题意可知,大圆柱的底面圆的半径R=10 cm,两圆柱的高h=20 cm, 设小圆柱的底面圆的半径为r cm, 则有2πrh=×2πRh,解得r=5, 所以该模型的体积为V大圆柱-V小圆柱=πR2h-πr2h=1 500π(cm3), 所以制作该模型所需原料的质量为1 500π×1=1 500π(g). 12.解析　(1)由题意可得圆柱的底面圆的半径R=,所以圆柱的表面积S=2πR2+2πR·AB=2π×+2π××5=π. (2)由题意可得BD⊥DC, 因为BC=5,DC=3,所以BD==4, 所以三棱锥A-BCD的体积为VA-BCD=S△BCD·AB=××4×3×5=10, 因为AB⊥平面BCD,且DC⊂平面BCD, 所以DC⊥AB, 又BD⊥DC,且AB∩BD=B,AB,BD⊂平面ABD, 所以DC⊥平面ABD, 因为AD⊂平面ABD,所以DC⊥AD, 在Rt△ABD中,AB=5,BD=4, 所以AD==, 所以S△ACD=·AD·DC=××3=, 设点B到平面ACD的距离为d, 由VB-ACD=VA-BCD,可得·S△ACD·d=××d=10,解得d=. (3)线段AC绕AB所在直线旋转一周所得的几何体是以BC为底面圆的半径,AB为高的圆锥, 线段AD绕AB所在直线旋转一周所得的几何体是以BD为底面圆的半径,AB为高的圆锥, 所以△ACD绕AB所在直线旋转一周而形成的封闭几何体的体积V=π·BC2·AB-π·BD2·AB=π×52×5-π×42×5=15π. 能力提升练 1.C　由题意得=,设EF=2x,则AB=4x,BF=x. 过点E,F在平面ABFE内分别作EM⊥AB,FN⊥AB,垂足分别为点M,N,如图所示: 则易得AM=BN==x, 所以FN==x, 所以等腰梯形ABFE的面积S=·x=3x2=×12,解得x=1(负值舍去). 所以EF=2x=2,AB=4x=4, 故方亭的体积为×2×(4+16+)=.故选C. 2.A　如图,延长A1A到A2,B1B到B2,C1C到C2, 且A1A=AA2,B1B=BB2,C1C=CC2, 连接A2C2,A2B2,B2C2, 得到三棱柱A2B2C2-ABC, 则=. 延长B1E,C1F,则B1E与C1F相交于点A2. 因为A2A∶A2A1=1∶2, 所以=. 又==×=, 所以V1=7=, 故V1∶V2=7∶5. 3.A　依题意,设圆锥的底面半径为r,则V=πr2h≈L2h=(2πr)2h,解得π=.故选A. 4.答案　 解析　如图,设圆锥的母线长为l,高为h,底面圆的半径为r,则由题意知×l×=3π,所以l=3,所以圆锥底面圆的周长C==2π,所以该圆锥底面圆的半径r=1,高h=2,所以该圆锥的体积V=πr2h=. 5.答案　30 解析　在△ABC中,BC边上的高h==2, =BC·h·BB1=×6×2×6=36. ∵EF=3,A1A=B1B=6, ∴V三棱锥E-ABC+==6, 故=36-6=30. 6.解析　(1)设正三棱柱的底面边长为a,高为h,则底面外接圆的半径R=a. ∴V正三棱柱=·a·a·h=a2h, V外接圆柱=πR2h=π·h=πh. ∴==. (2)易得底面内切圆的半径r=a, ∴V内切圆柱=πr2h=π×6=π=24π, ∴a2=48,∴a=4, ∴该正三棱柱的底面边长为4. 7.解析　(1)证明:如图,连接CO并延长,交AB于点E. ∵O为△ABC外接圆的圆心, ∴CE⊥AB,即CO⊥AB. 在圆锥中,易知PO⊥平面ABC, ∵AB⊂平面ABC,∴PO⊥AB, ∵CO⊂平面POC,PO⊂平面POC,且CO∩PO=O,∴AB⊥平面POC,∴AB⊥PC, ∵∠APC=90°,∴AP⊥PC, 又∵AB⊂平面PAB,PA⊂平面PAB,且AB∩PA=A, ∴PC⊥平面PAB. (2)设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l, ∵DO=2,且圆锥的侧面积为2π, ∴解得(负值舍去). ∵PA=PC,PA⊥PC,∴2PA2=AC2=3r2,即PA=r, 连接OA,则OA=r,∴AB=AC=BC=r,且PO==r, ∴VP-ABC=·S△ABC·PO=··r=r3=×2=. 8.C　设正三棱柱底面正三角形的边长为a,则正三棱柱的内切球半径等于正三角形的内切圆半径,则内切球的半径r内=a,正三棱柱的高h=2r内=a. 设正三角形的外接圆半径为R,易得R=a, 所以外接球的半径r外===a. 所以它的外接球与内切球体积之比为∶=5∶1. 9.B　解法一:如图,设直三棱柱ABC-A1B1C1内体积最大的球的半径为R,△ABC内切圆的半径为r,易知r=2,由此得R≤2.又棱柱的高为3,则2R≤3,所以R≤.又V=,所以当R=时,V取得最大值,V的最大值为×=. 解法二:由题意可得要使球的体积V最大,则需球与直三棱柱的部分面相切.若与三个侧面都相切,可求得球的半径为2,球的直径为4,超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去,则球可与上、下底面相切,则球的半径R=,此时该球的体积最大,故Vmax=πR3=×=. 名师点评　不是所有的直三棱柱都有内切球,只有底面三角形内切圆的直径与直三棱柱的高相等时,该直三棱柱才有内切球. 10.答案　r 解析　如图所示,作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知,当球在容器内时,水的深度为3r,水面半径BC的长为r,则容器内水的体积V=V圆锥-V球=·(r)2·3r-·r3=r3,设原来容器中水的深度为h,则水面圆的半径为h,从而容器内水的体积V'=h=h3,由V=V',得h=r. 11.解析　如图所示,过C作CO1⊥AB于点O1,在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R, ∴AC=R,BC=R,CO1=R. ∵V球=πR3, =AO1·π·C=πR2·AO1, =BO1·π·C=πR2·BO1, ∴V空间几何体=V球-(+)=πR3. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$