第六章 平面向量及其应用（单元自测·培优卷）高一数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一年级下册数学单元自测 第六章 平面向量及其应用 （参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A A B D D C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）(1)或 (2) (3) 【详解】（1）若，则与的夹角为0或． 所以或．（4分） （2）因为 ， 所以．（8分） （3）若，则，即， 所以， 即，所以， 又，所以．（13分） 16．（15分）(1)5 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，再由余弦定理得， 化简整理得.（5分） （2）因为，再由正弦定理得，， 又因为在三角形中，所以， ，所以， 所以（15分） 17．（15分）(1)， (2) 【详解】（1）， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，.（6分） （2）因为， 又为的内角，则 故， 所以，所以. 设角所对边分别为， 因为，由正弦定理得.① 因为三角形的面积为，所以.② 由①②解得：， 由余弦定理得， 所以.（15分） 18．（17分）(1)， (2) 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （7分） （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为．（17分） 19．（17分）(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 在中，， 代入整理可得， 又，则，可得，即， 又，则，则，可得.（7分） （2）由余弦定理可得. 因为为锐角三角形，且，所以，， 所以. 由，所以，所以，即. 所以当，即时，即为等边三角形时，取得最大值.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一年级下册数学单元自测 第六章 平面向量及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 3．若向量，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 5．在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，，那么（    ） A． B．若，则， C．若是中点，则，两点重合 D．若，，三点不重合且共线，则 10．已知向量，则（   ） A．的最大值为 B．曲线关于点对称 C．在上单调递增 D．在上有5个零点 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（   ） A． B．角A的取值范围为 C．的取值范围为 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 13．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为_____. 14．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角为． 16．（15分）已知的内角所对的边分别为. (1)若，求； (2)证明：. 17．（15分）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，，，的面积为，求边的长. 18．（17分）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 19．（17分）在锐角中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)求的最大值. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级下册数学单元自测 第六章 平面向量及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 3．若向量，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 5．在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，，那么（    ） A． B．若，则， C．若是中点，则，两点重合 D．若，，三点不重合且共线，则 10．已知向量，则（   ） A．的最大值为 B．曲线关于点对称 C．在上单调递增 D．在上有5个零点 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（   ） A． B．角A的取值范围为 C．的取值范围为 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 13．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为_____. 14．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角为． 16．（15分）已知的内角所对的边分别为. (1)若，求； (2)证明：. 17．（15分）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，，，的面积为，求边的长. 18．（17分）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 19．（17分）在锐角中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)求的最大值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级下册数学单元自测 第六章 平面向量及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立； 反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立， 故“”是“且”的充分不必要条件， 故选：A. 2．已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】A 【分析】由两边平方可得，，由此可求结论, 【详解】由， 所以， 所以，， 所以，又， 所以． 3．若向量，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，可得坐标，根据数量积的坐标公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，， 因为，所以， 则，解得. 4．在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理角化边，求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】 根据正弦定理，结合条件，可得： ，即. 又已知，代入得：，因此. 由余弦定理， 代入， ， 因此. 5．在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 6．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 7．记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理以及余弦的和差角公式可得，进而根据诱导公式以及辅助角公式得，根据三角函数的有界性得，即可求解角的大小，即可得解. 【详解】由题意及正弦定理，得， 又，所以，则， 因为， 所以， 所以， 又，所以， 所以，又， 所以当且仅当时，， 又，且，所以，， 所以，则， 故的面积． 故选:C 8．内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件结合余弦定理得，由，得，从而确定的范围，由，得，计算即可. 【详解】， 又， ，整理得： ， ， ， ， 当且仅当时等号成立， 又，， ，为钝角， ，， ，， ，即， ，，解得：， ， ， ． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知，，，，那么（    ） A． B．若，则， C．若是中点，则，两点重合 D．若，，三点不重合且共线，则 【答案】ACD 【分析】利用向量坐标运算分别对每个选项进行计算或推理：A直接作差验证；B根据平行条件列方程，举反例排除；C由中点条件建立方程组求解；D利用三点共线的向量条件列式讨论，排除重合情形后得到结果. 【详解】因为，，，所以，，所以，故A正确； 若，则，当，时也符合，故B错误； 因为，是中点， 所以， 所以解得，所以，，两点重合，故C正确； 若，，三点共线，则存在实数，使得，而，，所以， 所以，且，则或，而时，，此时，重合，所以， 故D正确． 故选：ACD. 10．已知向量，则（   ） A．的最大值为 B．曲线关于点对称 C．在上单调递增 D．在上有5个零点 【答案】ABC 【分析】根据向量数量积的坐标表示、正弦函数的性质逐项计算判断即可. 【详解】由题意得，， 所以的最大值为，A正确； 因为，所以的图象关于点对称，所以B正确； 当时，，在上单调递增，C正确； 令，则，即. 所以在上的零点为，共4个，D错误． 故选：ABC． 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（   ） A． B．角A的取值范围为 C．的取值范围为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，利用二倍角公式及余弦定理化简可得，对于B，利用余弦定理，结合基本不等式求出的范围即可；对于C，根据，可得，结合，再建立不等式求解；对于D，根据积化和差，先化简，再代入利用正弦定理结合基本不等式求最值即可． 【详解】， 由正弦定理得， 即， ，故A错误； ， ，，故B正确； 由，则，令, 又，即， ，即， 解得，又， ； 同理，即， ，即， 解得（舍去）或， 综上，，故 所以， 故C正确； ， ，当时取等， 即的最大值为，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 【答案】/ 【分析】先利用三角形面积公式求得，再由余弦定理求出，根据题设条件和等面积列式求解即得的长. 【详解】设中角所对的边分别为， 依题知，则有， 由余弦定理， ， 即解得． 设，则由可得 ， 化简得，解得. 即角平分线的长为． 故答案为：. 13．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为_____. 【答案】/ 【分析】根据给定条件可得点是线段上靠近点的四等分点，再利用三角形面积公式求得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，所以， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 14．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积，则的最大值为________． 【答案】 【分析】由余弦定理结合三角形面积公式可得，，则可使用两角和差公式将转化为，使用辅助角公式将之转化为，则当时取最大值1，此时取最大值. 【详解】联立，得， 又因为，则有， 因为，所以有，即， 因为，所以， 因为，，则， 则， 由辅助角公式可得，其中， 因为，所以， 当时取最大值1，此时取最大值， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角为． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】(1)根据向量平行得到夹角，根据向量数量积的公式即可得； (2)根据向量模的求法及数量积计算可得； (3)根据向量垂直性质，及数量积可得夹角余弦值，进一步得到夹角. 【详解】（1）若，则与的夹角为0或． 所以或． （2）因为 ， 所以． （3）若，则，即， 所以， 即，所以， 又，所以． 16．（15分）已知的内角所对的边分别为. (1)若，求； (2)证明：. 【答案】(1)5 (2)证明见解析 【分析】（1）由条件及余弦定理直接可得； （2）由条件及正弦定理，及三角形的恒等变换可得. 【详解】（1）因为，再由余弦定理得， 化简整理得. （2）因为，再由正弦定理得，， 又因为在三角形中，所以， ，所以， 所以 17．（15分）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，，，的面积为，求边的长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可求解； （2）利用正弦定理角化边，结合面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】（1）， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. （2）因为， 又为的内角，则 故， 所以，所以. 设角所对边分别为， 因为，由正弦定理得.① 因为三角形的面积为，所以.② 由①②解得：， 由余弦定理得， 所以. 18．（17分）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 19．（17分）在锐角中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，结合三角形内角和公式和两角和的三角函数公式可求角. （2）利用余弦定理，结合（1）的结论，可求的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 在中，， 代入整理可得， 又，则，可得，即， 又，则，则，可得. （2）由余弦定理可得. 因为为锐角三角形，且，所以，， 所以. 由，所以，所以，即. 所以当，即时，即为等边三角形时，取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $