第九章 统计（单元自测·培优卷）高一数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一年级下册数学单元自测 第九章 统计 （参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D C B D D D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．140 13．3.6 14．18 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）(1)200 (2)答案见解析 (3)560 【详解】（1）由条形图和扇形图，选择劳技的人数为60人，百分率是， 则被调查学生的总人数为：（人）；（3分） （2）选择文学的百分率是，由（1）知被调查学生的总人数为人； 则选择文学的学生人数为：（人）， 选择体育的学生人数：（人）， 完成的条形图如下： （3）选择体育类的百分比为， 所以估计全校选择体育类的学生有（人） .（13分） 16．（15分）(1)，平均数为69.5； (2)21.9. 【详解】（1）由题意知，解得. 估计这200名候选者面试成绩的平均数，即估计这200名候选者面试成绩的平均数为69.5.（5） （2）设第四组、第五组测试候选者成绩的平均数和方差分别为，，，， 则，，，， 且这两组的频率之比为4:1，则这两组的平均数， 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的测试成绩的方差 . 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差为21.9.（15分） 17．（15分）(1) (2)77400元，85200元，种植园选择方案②收入更多 【详解】（1）由分层随机抽样，知，所以．（2分） （2）按照方案①：由题意可知20000个香瓜中， 200克的有（个），300克的有（个）， 400克的有（个），500克的有（个）， 600克的有（个）， 则以5元/500克收购获得的收入为 77400（元）. 按照方案②：质量低于350克的香瓜有（个）， 质量高于或等于350克的香瓜有（个）， 则对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购获得的收入为（元）. 因为， 所以该种植园选择方案②收入更多.（15分） 18．（17分）(1)； (2)； (3)证明见解析 【详解】（1）由题意可得平均数 ； 又落在区间、、的概率分别为， 所以中位数落在区间， 中位数为；（7分） （2）平均值， 方差；（12分） （3）根据方差的定义，总样本方差为 由， 可得， 同理可得， 因此， .（17分） 19．（17分）(1)一区有420个，二区有200个 (2) 【详解】（1）由频率分面上直方图可知，一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以一区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个， 二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个；（7分） （2）频率分面上直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为 ， 二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为 ， 所以 ， 因为，所以， 即.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一年级下册数学单元自测 第九章 统计 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（    ）． A．325个 B．300个 C．225个 D．175个 2．国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（居民消费水平）（    ）    A．2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高 B．2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高 C．2018年至2022年我国居民消费水平数据的极差为6463元 D．2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多 3．若样本数据：1，2，a，6，7的平均数为4，则此样本的第百分位数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，若样本数据的平均数为，则（    ） A．12 B．10 C．2 D．11 5．高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则（    ） A．该组数据的平均数为7，众数为 B．该组数据的第60百分位数为6 C．评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 D．如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小 6．在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（   ） A． B．众数小于平均数 C．中位数超过75分 D．估计全校有640名考生及格 7．某实验室从“芯片算力，功耗控制，集成度，兼容性，稳定性”五个维度，对自研芯片，进行性能测评，评分结果的雷达图如下，则下列说法中正确的是（   ） A．在“稳定性”维度，芯片的评分为4分 B．在“功耗控制”维度，芯片的评分高于芯片的评分 C．在“芯片算力”维度，芯片的评分低于芯片的评分 D．芯片的性能评分的波动性低于芯片的性能评分的波动性 8．在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量．已知抽取的男生有人，其体重的平均数和方差分别为，抽取的女生有人，其体重的平均数和方差分别为，则估计该校高三年级学生体重的方差为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分 92 93 95 96 98 99 100 人数 5 7 8 14 13 下列结论正确的是（    ） A．众数为99 B．极差为9 C．分位数为96 D．平均数大于中位数 10．某汽车配件工厂在生产过程中，随机抽取100件同款零件测得其综合指标值，并按，分成六组，得到如下频率分布直方图.规定：综合指标值小于60的为二等品，综合指标值不小于60的为一等品，则下列说法正确的是（    ） A． B．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71（同一组数据用该组区间的中点值作代表） C．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为78 D．从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有15000件 11．一组样本数据， 其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，由这组数据得到一组新样本数据，其中 ，其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知总体是由编号为的300个个体组成.现采用随机数表法从中抽取10个个体，从如下随机数表的第1行的第3个数字开始，依次从左到右选取三个数字，则选出的第4个个体的编号是__________. 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 13．盒子中装有除编号（1到6）外完全相同的6个小球，从中有放回地摸球5次，记录摸到球的编号，若已知5个编号的中位数为3，唯一众数为2，则平均数最大可能为______. 14．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量(单位：克)与药物功效 (单位：药物单位)之间具有关系．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）： 根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)求本次被调查的学生人数． (2)将条形统计图补充完整． (3)若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数． 16．（15分）某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选者的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差. 17．（15分）南昌某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，称得其质量（单位：克）分别在，，，，中，经统计绘制频率分布直方图如图所示：    (1)在样本中，用分层随机抽样的方法从质量在中的香瓜中随机抽取了n个香瓜，其中质量在中的香瓜有6个，求n的值． (2)某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本估计总体，该种植园中大概共有香瓜20000个，经销商提出以下两种收购方案，方案①：所有香瓜以5元/500克收购；方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购．请分别计算两种方案该种植园获得的收入，并说明种植园选择哪种方案收入更多． 18．（17分）据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映､预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图.      (1)估计观看此电影的观众的年龄的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差； 附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差. (3)证明：. 19．（17分）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级下册数学单元自测 第九章 统计 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（    ）． A．325个 B．300个 C．225个 D．175个 【答案】C 【分析】根据分层抽样计算规则计算可得. 【详解】根据分层随机抽样可知低能量密度锂电池的产量为（个）． 故选：C 2．国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（居民消费水平）（    ）    A．2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高 B．2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高 C．2018年至2022年我国居民消费水平数据的极差为6463元 D．2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多 【答案】D 【分析】对于AB选项，由统计图可得答案；对于C选项，结合题目数据可得答案；对于D选项，由统计图数据结合居民消费水平计算公式可得答案. 【详解】对于A，2019年的居民消费水平比2020年的居民消费水平高，故A错误； 对于B， 2018年至2022年我国城镇居民消费水平不是逐年提高，故B错误； 对于C，2018年至2022年我国居民消费水平数据的极差为6473元，故C错误； 对于D，设我国农村人口数为，城镇人口数为， 则，化简得， 所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多，故D正确． 故选：D 3．若样本数据：1，2，a，6，7的平均数为4，则此样本的第百分位数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由平均数求未知量，再排序后根据百分位数定义计算. 【详解】由已知可求得：平均数，解得. 排序后数据：1，2，4，6，7共5个数据，，则此样本的第位数为， 故选：C. 4．已知样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，若样本数据的平均数为，则（    ） A．12 B．10 C．2 D．11 【答案】B 【分析】依题意总平均数等于总数据和除以总数据的个数，直接解出即可. 【详解】根据题意可得，解得. 故选：B. 5．高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则（    ） A．该组数据的平均数为7，众数为 B．该组数据的第60百分位数为6 C．评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 D．如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小 【答案】D 【分析】首先将数据从小到大排列，再根据平均数，众数，中位数，方差的定义计算可得. 【详解】选项A,这组数据从小到大排列为， 故平均数为， 众数为和，中位数为，故A错误； 选项B，，则第百分位数为，故B错误； 选项C：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故C错误； 选项D，方差为， 如果再增加一位评委给该班也打7分，则平均分不变也为7， 此时的方差为，故D正确. 6．在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（   ） A． B．众数小于平均数 C．中位数超过75分 D．估计全校有640名考生及格 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，可判断A不正确；求得数据的众数和平均数的值，可判定B不正确；根据中位数的计算方法，求得数据的中位数，可判定C错误；求得落在中的人数为，结合分层抽样，列出方程，求得及格的人数，可判定D正确. 【详解】对于A，根据频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A不正确； 对于B，由频率分布直方图，可得数据的众数为， 平均数， 众数大于平均数，所以B错误； 对于C，由频率分布直方图，可得中位数为，所以C错误； 对于D，由频率分布直方图，可得落在中的人数为， 设全校有人及格，则，解得，即估计全校有640名考生及格，所以D正确. 故选：D. 7．某实验室从“芯片算力，功耗控制，集成度，兼容性，稳定性”五个维度，对自研芯片，进行性能测评，评分结果的雷达图如下，则下列说法中正确的是（   ） A．在“稳定性”维度，芯片的评分为4分 B．在“功耗控制”维度，芯片的评分高于芯片的评分 C．在“芯片算力”维度，芯片的评分低于芯片的评分 D．芯片的性能评分的波动性低于芯片的性能评分的波动性 【答案】D 【分析】根据雷达图，逐项分析即可得解. 【详解】由雷达图可知，在“稳定性”维度，芯片的评分为8分,故A错误； 在“功耗控制”维度，芯片的评分与芯片的评分相同，故B错误； 在“芯片算力”维度，芯片的评分高于芯片的评分，故C错误； 由雷达图，芯片的各项性能评分比较均衡，其波动性低于芯片的性能评分的波动性，故D正确. 故选：D 8．在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量．已知抽取的男生有人，其体重的平均数和方差分别为，抽取的女生有人，其体重的平均数和方差分别为，则估计该校高三年级学生体重的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分层随机抽样样本平均数公式和方差公式即可算出答案. 【详解】记总样本的平均数为，则， 所以总样本的方差， 所以估计该校高三年级学生体重的方差为． 故选：C． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分 92 93 95 96 98 99 100 人数 5 7 8 14 13 下列结论正确的是（    ） A．众数为99 B．极差为9 C．分位数为96 D．平均数大于中位数 【答案】AC 【详解】根据题意，总共有50名市民， 所以成绩为或的共人， 则99分有14人，众数为99，A正确； 极差为，B错误； 因为，则第13个数分值为96，C正确； 中位数是第25和第26两个数的平均数，由于这两个数都是99， 所以中位数为99， 设成绩为的有个人， 平均数为 ， 所以平均数小于中位数，D错误. 10．某汽车配件工厂在生产过程中，随机抽取100件同款零件测得其综合指标值，并按，分成六组，得到如下频率分布直方图.规定：综合指标值小于60的为二等品，综合指标值不小于60的为一等品，则下列说法正确的是（    ） A． B．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71（同一组数据用该组区间的中点值作代表） C．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为78 D．从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有15000件 【答案】ABD 【分析】由频率分布直方图面积和为1，可判断A，由平均数计算公式可判断B，由中位数计算方法可判断C，由频率分布直方图确定频率，即可判断D. 【详解】由，得，A正确； 平均数为， 所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71，B正确； 因为， 所以中位数在第4组， 设中位数为，则， 解得，所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为73.33，C错误； 由频率分布直方图可知100件零件中二等品有件，一等品有件， 故从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有件，D正确. 故选：ABD. 11．一组样本数据， 其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，由这组数据得到一组新样本数据，其中 ，其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】不妨设，再利用平均数定义、方差性质、百分位数定义与极差定义逐项计算并判断即可. 【详解】不妨设，则； 对A：，故A正确； 对B：由方差性质可得，故B错误； 对C：若为整数，则， ； 若不为整数，则，其中表示不大于的最大整数， ，故C正确； 对D：，，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知总体是由编号为的300个个体组成.现采用随机数表法从中抽取10个个体，从如下随机数表的第1行的第3个数字开始，依次从左到右选取三个数字，则选出的第4个个体的编号是__________. 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 【答案】140 【分析】由随机数表法结合题设可得答案. 【详解】由题可得，读取的第一个数为，保留；第二个数为572，舍去；第三个数为080，保留；第四个数为263，保留；第五个数为140，保留. 则选出的第4个个体的编号是140. 故答案为：. 13．盒子中装有除编号（1到6）外完全相同的6个小球，从中有放回地摸球5次，记录摸到球的编号，若已知5个编号的中位数为3，唯一众数为2，则平均数最大可能为______. 【答案】3.6 【分析】依题意，5个数排序后中位数为3，唯一众数为2，可推得这5个数为，其中为大于3且不相等的两个数，其中，，且，即可求解． 【详解】由题可知摸到的号码为2，2，3，，，其中，，且， 为使平均数最大， ，，其平均数最大为. 14．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量(单位：克)与药物功效 (单位：药物单位)之间具有关系．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为__________. 【答案】18 【分析】设6个样本分别为，则，，进而得，再计算即可. 【详解】设该药品一个批次的6个样本分别为， 因为这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克， 所以，方差， 所以，即 所以 则这批中医药的药物功效的平均值 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）： 根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)求本次被调查的学生人数． (2)将条形统计图补充完整． (3)若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数． 【答案】(1)200 (2)答案见解析 (3)560 【分析】（1）结合题中给出的条形图和扇形图，选择劳技的人数和百分率都知道，即可求出被调查的学生人数； （2）有了总体，由扇形图可知选择文学的百分率是，即可求出选择文学的人数，再用学生总人数减去艺术、劳技、文学、其他的人数，得到选择体育的人数，并据此画完该条形图； （3）根据用样本估计总体的方法，先计算选择体育类的百分率，再乘以全校总人数即可. 【详解】（1）由条形图和扇形图，选择劳技的人数为60人，百分率是， 则被调查学生的总人数为：（人）； （2）选择文学的百分率是，由（1）知被调查学生的总人数为人； 则选择文学的学生人数为：（人）， 选择体育的学生人数：（人）， 完成的条形图如下： （3）选择体育类的百分比为， 所以估计全校选择体育类的学生有（人） . 16．（15分）某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选者的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差. 【答案】(1)，平均数为69.5； (2)21.9. 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求出值，再根据平均数的计算公式计算平均数. （2）求出总平均数，根据方差公式计算总体方差. 【详解】（1）由题意知，解得. 估计这200名候选者面试成绩的平均数，即估计这200名候选者面试成绩的平均数为69.5. （2）设第四组、第五组测试候选者成绩的平均数和方差分别为，，，， 则，，，， 且这两组的频率之比为4:1，则这两组的平均数， 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的测试成绩的方差 . 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差为21.9. 17．（15分）南昌某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，称得其质量（单位：克）分别在，，，，中，经统计绘制频率分布直方图如图所示：    (1)在样本中，用分层随机抽样的方法从质量在中的香瓜中随机抽取了n个香瓜，其中质量在中的香瓜有6个，求n的值． (2)某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本估计总体，该种植园中大概共有香瓜20000个，经销商提出以下两种收购方案，方案①：所有香瓜以5元/500克收购；方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购．请分别计算两种方案该种植园获得的收入，并说明种植园选择哪种方案收入更多． 【答案】(1) (2)77400元，85200元，种植园选择方案②收入更多 【分析】（1）由分层抽样的性质可求解； （2）分别算出两个方案的收益，比较，即可得结论. 【详解】（1）由分层随机抽样，知，所以． （2）按照方案①：由题意可知20000个香瓜中， 200克的有（个），300克的有（个）， 400克的有（个），500克的有（个）， 600克的有（个）， 则以5元/500克收购获得的收入为 77400（元）. 按照方案②：质量低于350克的香瓜有（个）， 质量高于或等于350克的香瓜有（个）， 则对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购获得的收入为（元）. 因为， 所以该种植园选择方案②收入更多. 18．（17分）据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映､预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图.      (1)估计观看此电影的观众的年龄的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差； 附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差. (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据评论分布直方图中均值与中位数的计算方式可求； （2）利用分层抽样的均值与方程计算公式可求； （3）根据方差的定义直接证明. 【详解】（1）由题意可得平均数 ； 又落在区间、、的概率分别为， 所以中位数落在区间， 中位数为； （2）平均值， 方差； （3）根据方差的定义，总样本方差为 由， 可得， 同理可得， 因此， . 19．（17分）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围. 【答案】(1)一区有420个，二区有200个 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率，再乘以500，可求出500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； （2）根据频率分面上直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率，二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率，从而可表示出，再根据可求出其范围. 【详解】（1）由频率分面上直方图可知，一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以一区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个， 二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个； （2）频率分面上直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为 ， 二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为 ， 所以 ， 因为，所以， 即. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级下册数学单元自测 第九章 统计 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（    ）． A．325个 B．300个 C．225个 D．175个 2．国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（居民消费水平）（    ）    A．2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高 B．2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高 C．2018年至2022年我国居民消费水平数据的极差为6463元 D．2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多 3．若样本数据：1，2，a，6，7的平均数为4，则此样本的第百分位数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，若样本数据的平均数为，则（    ） A．12 B．10 C．2 D．11 5．高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则（    ） A．该组数据的平均数为7，众数为 B．该组数据的第60百分位数为6 C．评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 D．如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小 6．在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（   ） A． B．众数小于平均数 C．中位数超过75分 D．估计全校有640名考生及格 7．某实验室从“芯片算力，功耗控制，集成度，兼容性，稳定性”五个维度，对自研芯片，进行性能测评，评分结果的雷达图如下，则下列说法中正确的是（   ） A．在“稳定性”维度，芯片的评分为4分 B．在“功耗控制”维度，芯片的评分高于芯片的评分 C．在“芯片算力”维度，芯片的评分低于芯片的评分 D．芯片的性能评分的波动性低于芯片的性能评分的波动性 8．在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量．已知抽取的男生有人，其体重的平均数和方差分别为，抽取的女生有人，其体重的平均数和方差分别为，则估计该校高三年级学生体重的方差为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分 92 93 95 96 98 99 100 人数 5 7 8 14 13 下列结论正确的是（    ） A．众数为99 B．极差为9 C．分位数为96 D．平均数大于中位数 10．某汽车配件工厂在生产过程中，随机抽取100件同款零件测得其综合指标值，并按，分成六组，得到如下频率分布直方图.规定：综合指标值小于60的为二等品，综合指标值不小于60的为一等品，则下列说法正确的是（    ） A． B．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71（同一组数据用该组区间的中点值作代表） C．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为78 D．从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有15000件 11．一组样本数据， 其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，由这组数据得到一组新样本数据，其中 ，其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知总体是由编号为的300个个体组成.现采用随机数表法从中抽取10个个体，从如下随机数表的第1行的第3个数字开始，依次从左到右选取三个数字，则选出的第4个个体的编号是__________. 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 13．盒子中装有除编号（1到6）外完全相同的6个小球，从中有放回地摸球5次，记录摸到球的编号，若已知5个编号的中位数为3，唯一众数为2，则平均数最大可能为______. 14．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量(单位：克)与药物功效 (单位：药物单位)之间具有关系．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）： 根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)求本次被调查的学生人数． (2)将条形统计图补充完整． (3)若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数． 16．（15分）某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选者的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差. 17．（15分）南昌某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，称得其质量（单位：克）分别在，，，，中，经统计绘制频率分布直方图如图所示：    (1)在样本中，用分层随机抽样的方法从质量在中的香瓜中随机抽取了n个香瓜，其中质量在中的香瓜有6个，求n的值． (2)某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本估计总体，该种植园中大概共有香瓜20000个，经销商提出以下两种收购方案，方案①：所有香瓜以5元/500克收购；方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购．请分别计算两种方案该种植园获得的收入，并说明种植园选择哪种方案收入更多． 18．（17分）据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映､预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图.      (1)估计观看此电影的观众的年龄的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差； 附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差. (3)证明：. 19．（17分）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $