北京市海淀区2025-2026学年九年级下学期开学数学自测练习卷

2025-2026学年北京市海淀区九年级（下）开学数学自测练习卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列几何体中，俯视图是三角形的为(    ) A. B. C. D. 2.年月，中国北京的一家芯片设计公司宣布推出两款芯片，这标志着中国首款商用记忆计算芯片的问世将数据“”用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.如图，数轴上的点，表示的数分别是，如果，那么下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 4.下列事件中，是必然事件的是(    ) A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 个人参加一个聚会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数为次 D. 平面内，任意一个五边形的外角和等于 5.新定义运算：，例如，则方程的根的情况为(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 6.奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同为了提高安全性，系统自动排除以开头或以结尾的密码齐齐随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结、则下列说法错误的是(    ) A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系中，点，，若在直线上存在点满足，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.要使代数式有意义，则的取值范围是          ． 10.分解因式：           11.方程的解为          ． 12.如图，四边形内接于，连接，其中，，若点在上，连接，，则的度数为        ． 13.如图，点，是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，，若点，，，则        ． 14.某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌占考评．某参赛队歌曲内容获得分，演唱技巧获得分，精神面貌获得分．则该参赛队的最终成绩是          分． 15.如图点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为        ． 16.在数学中，“数字黑洞”指的是一类特殊的数字规律：当对某个范围内的数进行特定的重复运算时，无论初始数值如何最终都会收敛到一个固定数值或循环，就像被“黑洞”吸引无法逃脱一样某位同学对各位数字不同的两位数进行了如下操作：将其各位数字按照从大到小的顺序排列组成最大数，再按从小到大的顺序排列组成最小数若结果为一位数则补零，如补为，然后用最大数减去最小数得到新数，重复以上操作就创造了一个两位数的“数字黑洞”将数按照上面的操作重复进行次操作后得到的数是          ． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 先化简，再求值：，其中． 18.本小题分 解不等式组：． 19.本小题分 已知，求代数式的值． 20.本小题分 如图，在中，为边的中点，连接，过点作，过点作，与相交于点． 求证：四边形是菱形； 连接，若，，求和的长． 21.本小题分 计算： ； 已知：：：：，且，求的值． 22.本小题分 已知一次函数为常数，且的图象经过点． 若，求一次函数的表达式 若该一次函数的图象经过第四象限，且，求的取值范围． 23.本小题分 已知二次函数若二次函数图象经过点． 写出该二次函数图象上与对称的点的坐标______． 求二次函数的解析式，并写出顶点坐标． 当时，求函数的最大值与最小值的差______． 24.本小题分 日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点即与相切于点点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接、、，，． 求证：； 求的长． 25.本小题分 某食品厂研究两种天然防腐剂添加剂和添加剂对面包保质期的影响． 添加剂的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降添加剂的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：． 在固定工艺下，改变添加剂的添加浓度单位：，测得面包的保质期单位：天数据如下： 添加剂浓度 保质期天 以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接． 工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加元；而每延长天保质期，可减少元的损失若增加添加剂能使保质期延长超过______天，则增加浓度是有利的保留一位小数． 若面包从生产到售出的时间为天，若保质期不足天，则每短缺天会造成元的损失不足天的部分按比例计算当添加剂浓度为时，总成本添加剂成本与损失之和为______元 若要求面包保质期至少为天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂比选择添加剂可以节省______的添加剂保留整数． 当浓度在____________范围内时，添加剂的保质期至少比添加剂的保质期多天保留整数． 26.本小题分 在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于点，抛物线的顶点为，直线：． 当时，画出直线和抛物线，并直接写出直线被抛物线截得的线段长． 随着取值的变化，判断点，是否都在直线上，并说明理由． 若直线被抛物线截得的线段长不小于，结合函数图象，求出的取值范围． 27.本小题分 如图，在中，，点为边上一点，． 如图，若，，，求点到直线的距离； 如图，点为线段中点，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在线段上，连接，与线段交于点，连接，判断线段，的数量关系，并证明． 28.本小题分 如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图象经过点和  求一次函数的解析式；  将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值；  若直线经过点，且与线段有交点，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：俯视图是一个带圆心的圆，故不符合题意； B.俯视图是圆，故不符合题意； C.俯视图是正方形，故不符合题意； D.俯视图是三角形，故符合题意． 故选：． 根据俯视图是从上面往下看一一判断即可． 本题主要考查了判断简单几何体的三视图，掌握简单几何体的三视图是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：  故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3.【答案】  【解析】解：由数轴图可知，， 的值是正是负不能确定，，与的值大小不能确定，， 只有选项D正确符合题意． 故选：． 利用数轴知识解答． 本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 4.【答案】  【解析】解：射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意； B.若个人对应个月份，则至少有两人的出生月份相同，此事件必然发生，是必然事件，符合题意； C.投掷一枚均匀的硬币次，正面朝上的次数为次是随机事件，不符合题意； D.任意一个五边形的外角和等于，所以任意一个五边形的外角和等于，是不可能事件，不符合题意； 故选：． 根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义逐项判断即可求解． 本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为”、不可能事件“不可能事件发生的可能性为”，熟练掌握各定义是解题关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，新定义运算的综合，关键是熟练掌握根的判别式，先根据新定义可得一元二次方程，然后利用根的判别式进行判断根的情况即可得出结论． 【解答】 解：由题意可知，， 即． ， 原方程有两个相等的实数根， 故选B． 6.【答案】  【解析】解：每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同． 列举出所有等可能的结果如下： 由表格可知，所有两位字母不同的密码共种，其中满足“第一位不是”且“第二位不是”共有种有效密码， 他设置的密码不会被系统排除的概率是． 故选：． 先通过列表法列出所有两位字母不同的密码组合，总共有种等可能的结果；再依据“系统自动排除以开头或以结尾的密码”的排除规则，从所有组合中筛选出符合条件的有效密码，统计其数量；最后根据概率公式，计算出密码不被系统排除的概率． 本题考查概率公式，正确进行计算是解题关键． 7.【答案】  【解析】解：由作法得垂直平分，， ，，，所以选项正确，不符合题意； ，， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ，所以选项正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ． ，， ∽， ：：， ，故C选项正确，不符合题意； 不一定是， ，故D选项错误，符合题意． 故选：． 根据基本作图得到垂直平分，，再根据线段垂直平分线的性质得到，，，于是可对选项进行判断；通过证明为的中位线得到，所以，则可计算出，则，于是可对选项进行判断；通过证明∽，利用相似比得到；又不一定是，从而，故可判断． 本题主要考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是等腰直角三角形，切线的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，勾股定理，圆周角定理等有关知识，作等腰直角三角形，然后以为圆心，为半径作圆，求得直线与外接圆相切时的的值，即可求得的取值范围． 【解答】 解：如图，作等腰直角三角形， ，， ，， 在轴上， 当在上方时，以为圆心，为半径作圆，此时上存在点满足，设直线与相切，切点为，此时的值最大， 设直线与轴交于点，与轴交于点， 连接，则，直线， ，是等腰直角三角形， ，， ， 由直线可知， ， ， ， 当在下方时，同理得， 的取值范围是 9.【答案】且  10.【答案】  【解析】． 11.【答案】  【解析】本题考查解分式方程，先去分母化为整式方程，进而解整式方程即可求得方程的解．熟练掌握分式的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为，得， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：四边形为的内接四边形， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 根据圆内接四边形的性质可求得，根据等边对等角可得，求得，根据圆内接四边形的性质即可求解． 本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：，， ， 由条件可知， ， 把坐标代入得， 该反比例函数的表达式为：， ． 故答案为：． 先求长度，再求点坐标，进而得出函数解析式，可求得面积． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练运用反比例函数性质是解题的关键． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错． 根据加权平均数的计算公式列式计算可得． 【解答】 解：根据题意，该参赛队的最终成绩是：分． 15.【答案】  【解析】解：设，则， 由题知，，， 点的坐标为， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 16.【答案】  17.【答案】解：原式 ； 原式 ， 当时，原式．  【解析】先根据乘方的法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值及负整数指数幂的计算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； 先算括号里面的，再算除法，最后把的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值． 18.【答案】．  【解析】解：解不等式组：． ， 解不等式，得：； 解不等式，得：； 不等式组的解集为． 先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到各自的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的解集确定规则，得出不等式组的公共解集． 本题考查一元一次不等式，正确进行计算是解题关键． 19.【答案】．  【解析】解：， ， 原式 ． 首先得到，然后将化简为代数求解． 本题考查分式的值，正确进行计算是解题关键． 20.【答案】证明：，， 四边形是平行四边形， 在中，，为边的中点， ， 四边形是菱形； 解：， ， ， 设，， ， ， ， ． 如图，延长、交于点，作于点， 四边形是菱形， ， 又， 是的垂直平分线， ，， 又，是的中点， 是的中点， 是的中线， ，， ， 在中，．  【解析】根据直角三角形的性质和菱形的判定定理即可得到结论； 根据平行线的性质得到，设，，根据勾股定理即可得到，；延长、交于点，作于点，进而利用中位线的性质得到，，，最后利用勾股定理解答即可． 本题考查了菱形的判定，三角函数的定义，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 21.【答案】    【解析】解：原式 ； ：：：：， 设，，， ， ， 解得， ，，， ． 把三角函数值代入，再根据实数运算法则进行计算； 利用设法进行计算，即可解答． 本题考查了特殊角的三角函数值，一元一次方程的应用，熟知以上知识是解题的关键． 22.【答案】【小题】 一次函数的表达式为 【小题】 ．   23.【答案】 ，顶点坐标为    【解析】解：抛物线对称轴为直线， 二次函数图象经过点， 二次函数图象上与对称的点的坐标是，即； 故答案为：； 由条件可得， 解得：， 二次函数的解析式为， ， 顶点坐标为； 根据二次函数解析式可知抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，函数有最大值为， 当时，， 当时，， 当时，函数的最大值为，最小值为， 函数的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 先求出对称轴，再由对称性求解即可； 把代入，求出，即可求出函数解析式，再配方成顶点式，求出顶点坐标； 根据解析式得抛物线开口向下，对称轴为直线，则当时，函数有最大值为，当时，，当时，，则当时，函数的最大值为，最小值为，即可求解． 本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的最值．熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质是解题的关键． 24.【答案】如图，连接． 与相切于点， ， ， ， ． 又，    【解析】证明：如图，连接． 与相切于点， ， ， ， ． 又， ； 解：点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接、、，，． 根据可得 ， ， ； ， ，与相切，， ． 在中，， ， ， 在中，． 证明，得出，进而根据切线长定理可得，即可得证； 根据可得，切线长定理可得，进而根据勾股定理求出，，进而求得的长． 本题考查切线的性质，切线长定理的应用，正确进行计算是解题关键． 25.【答案】描点并连线为：       【解析】解：描点并连线为： 设增加添加剂能使保质期延长天，增加浓度是有利的，则， 解得， 即增加添加剂能使保质期延长超过天，增加浓度是有利的， 故答案为：； 由题意可得，当时，， 即当添加剂浓度为时，保质期为天， 此时总成本为：元． 故答案为：； 由表格可知，若选择添加剂，当时，， 即当保质期至少为天时，添加剂至少需要； 若选择添加剂，当时，，解得， 即当保质期至少为天时，添加剂至少需要， 所以选择添加剂比选择添加剂可以节省添加剂为， 故答案为：； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 由上可知，当时，， 当浓度在范围内时，添加剂的保质期至少比添加剂的保质期多天． 故答案为：；． 根据题意描点并连线即可； 设增加添加剂能使保质期延长天，增加浓度是有利的，根据损失大于成本列出不等式，求解即可； 即当添加剂浓度为时，保质期为天，根据总成本等于添加剂成本与损失之和列出式子求解即可； 分别求出保质期至少为天时，添加剂和添加剂的浓度，求差即可解答； 结合表格中添加剂的浓度，求出相应保质期下添加剂的浓度，找出符合题意要求的浓度范围即可． 本题考查二次函数的应用，函数的表示方法，二次函数函数图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 26.【答案】解：当时，抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 抛物线与直线的交点为，， 直线被抛物线截得的线段长为， 画出的两个函数的图象如图所示： 无论取何值，点，都在直线上．理由如下： 抛物线：与轴交于点， 点的坐标为， ， 抛物线的顶点的坐标为， 对于直线：， 当时，， 当时，， 无论取何值，点，都在直线上； 解方程组， 得或， 直线与抛物线的交点为，． 直线被抛物线截得的线段长不小于， ， ，， 或， 的取值范围是或．  【解析】当时，抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为，求出直线被抛物线截得的线段，再画出两个函数的图象即可； 先求出、两点的坐标，再代入直线的解析式进行检验即可； 先联立直线与抛物线的解析式，求出它们的交点坐标，再根据这两个交点之间的距离不小于列出不等式，求解即可． 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，函数的图象，都是基础知识，需熟练掌握． 27.【答案】  ；理由如下： 如图，连接，交于点， 设， ，点为线段中点， ， ，， ， ，， ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 点为线段中点，   【解析】解：如图，在中，，，，过点作延长线于点， 由勾股定理得：， ，， ， 解得：， 点到直线的距离为； ；理由如下： 如图，连接，交于点， 设， ，点为线段中点， ， ，， ， ，， ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 点为线段中点， ． 过点作延长线于点，利用勾股定理求得，再利用，即可求解； 连接，交于点，通过导角得出，可知，证明≌，可得，即可证明，得，再利用直角三角形证明，得，最后利用中位线证明即可． 本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，三角形的面积，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 28.【答案】解：把 和 代入可得，  ，  解得，  这个一次函数的解析式为：；  设平移后的直线的解析式为：，  ，，  线段的中点坐标为，  把代入，  得，  解得：；  把 代入 ，得 ，  ，  把 代入  得，，  解得；  把代入  得，  解得；  的取值范围是：．  【解析】把 和 代入可求得解析式； 设平移后的直线的解析式为，可得，，求出的中点坐标，代入可求解； 把点和、坐标代入，即可求得． 本题主要考查了一次函数的性质，灵活运用所学知识解决问题并认真计算是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $