21.1.1四边形及其内角和（大单元教学课件）数学新教材人教版八年级下册

该初中数学课件聚焦“四边形及其内角和”，涵盖定义、内角和与外角和定理、不稳定性等核心知识。通过情境引入生活图形，类比三角形“定义→分类→性质→判定”的学习顺序，搭建旧知（三角形）到新知（四边形）的衔接支架。 其亮点在于运用类比迁移培养数学思维，通过分割法（连对角线、内取点等）证明内角和，发展几何直观与推理意识。结合伸缩衣架等实例体现不稳定性应用，强化应用意识。学生能提升逻辑推理与知识迁移能力，教师可依托结构化资源高效教学。

第二十一章 四边形 人教版(新教材) 八年级下册 21.1.1 四边形及其内角和 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 生活中还有很多类似的几何图形...... 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 三角形 相关定义 分类 性质 判定 相关定义 分类 性质 判定 21.1.1 四边形及其内角和 教学过程幻灯片内容 幻灯片1：情境导入——认识生活中的四边形 1. 展示生活实景图：教室窗户、课桌椅桌面、地砖、伸缩门、自行车车架等，引导学生观察：“这些物体的表面都呈现出什么共同的图形特征？” 2. 学生自由发言后，教师小结：“这些图形都是由四条线段围成的封闭图形，今天我们就一起来系统学习——四边形及其内角和。”（板书课题） 3. 提问引导思考：“你还能说出生活中哪些四边形的例子？这些四边形看起来形状各不相同，它们有哪些共同的基本特征呢？” 幻灯片2：探究新知1——四边形的定义与基本特征 1. 动手操作：请学生在练习本上画一个自己认识的四边形，同桌之间互相观察，讨论：“你画的四边形由什么组成？有几个顶点、几条边、几个角？” 2. 概念总结：结合学生发言，教师明确四边形的定义——由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做四边形。强调“不在同一直线”“首尾顺次相接”“封闭”三个关键条件。 3. 基本要素梳理：通过课件标注四边形的顶点、边、角，明确四边形有4个顶点、4条边、4个内角（简称“四角”）。 4. 即时判断：展示一组图形（包含封闭四边形、不封闭的四条线段、五条边的图形、四条线段但未首尾顺次相接的图形），让学生判断哪些是真正的四边形，巩固定义理解。 幻灯片3：探究新知2——四边形内角和的猜想 1. 复习旧知：提问“我们已经学过哪些基本图形的内角和？”（三角形内角和是180°），引导学生思考：“四边形的内角和会是多少呢？” 2. 初步猜想：请学生观察手中的长方形、正方形，提问“长方形和正方形的每个内角都是多少度？它们的内角和是多少？”（90°×4=360°）。引导学生猜想：“是不是所有四边形的内角和都是360°呢？” 3. 明确探究任务：“接下来我们就通过动手操作，验证这个猜想是否成立。” 幻灯片4：探究新知3——验证四边形内角和（小组合作） 1. 布置探究任务：请各小组选择不同形状的四边形（平行四边形、梯形、不规则四边形），通过剪拼、分割等方法，探究其内角和。提供两种思路参考： 思路1：剪拼法——将四边形的四个内角剪下来，拼一拼，看能否拼成一个已知内角和的图形（如周角）； 思路2：分割法——在四边形内部画一条对角线，将四边形分成两个三角形，利用三角形内角和推导四边形内角和。 2. 小组活动：学生动手操作，教师巡视指导，提醒学生记录操作过程和结果。 3. 成果展示：邀请2-3个小组分享探究过程： 剪拼法小组：展示拼出的周角（360°），说明“四边形四个内角拼在一起是周角，所以内角和是360°”； 分割法小组：展示对角线分割的图形，讲解“一条对角线把四边形分成2个三角形，每个三角形内角和180°，所以四边形内角和=180°×2=360°”。 幻灯片5：探究新知4——总结四边形内角和定理 1. 定理归纳：结合各小组验证结果，教师明确：任意四边形的内角和都是360°（板书定理）。 2. 方法优化：对比剪拼法和分割法，提问“哪种方法更简便、更具普遍性？”强调分割法的优势——无需剪拼，通过图形转化即可推导，适用于所有四边形。 3. 拓展思考：“如果在四边形内部画两条对角线，分成4个三角形，能推导内角和吗？”（引导学生发现：4个三角形内角和总和减去中间周角，仍得360°，进一步验证定理）。 幻灯片6：巩固应用1——基础题型练习 1. 例题1：已知一个四边形的三个内角分别是80°、100°、120°，求第四个内角的度数。 解题步骤：引导学生回忆四边形内角和定理，列出算式：360°-80°-100°-120°=60°，强调计算过程的规范性。 2. 练习1：一个平行四边形的一个内角是60°，求其他三个内角的度数。（提示：平行四边形对边平行，同旁内角互补） 3. 练习2：一个梯形的两个底角分别是70°和80°，如果它是等腰梯形，求另外两个内角的度数。 学生独立完成后，同桌互查，教师随机抽查并讲解解题思路。 幻灯片7：巩固应用2——综合拓展练习 1. 判断题： （1）任意四边形的内角和都是360°（√）； （2）一个四边形中最多有3个钝角（√，提示：钝角＞90°，3个钝角和＞270°，第四个角＜90°，符合条件）； （3）四边形的内角和是三角形内角和的2倍（√，180°×2=360°）。 2. 思考题：一个多边形从一个顶点出发可以分成3个三角形，这个多边形是几边形？它的内角和是多少？（引导学生推导：分成n个三角形的多边形是n+2边形，内角和180°×n，本题为五边形，内角和540°） 小组讨论后，教师引导学生建立“分割法”与多边形内角和的初步关联，为后续学习铺垫。 幻灯片8：课堂小结 1. 知识梳理：师生共同回顾本节课核心内容： （1）四边形的定义：不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形； （2）四边形的基本要素：4个顶点、4条边、4个内角； （3）核心定理：任意四边形内角和是360°； （4）探究方法：剪拼法、分割法（转化思想：将四边形转化为三角形解决问题）。 2. 感悟提升：引导学生总结“转化思想”的重要性——当遇到未知问题时，可将其转化为已知的、熟悉的问题来解决。 3. 课后思考：“五边形、六边形的内角和是多少呢？能不能用今天学的分割法推导出来？” 我们学习三角形的知识时，是按照什么顺序学习的？ 我们如何类比来学习四边形的知识？ 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形. 在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形. 什么叫做三角形？你能类比地说出四边形的概念吗？ 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 三角形 四边形 边 组成三角形的线段 叫作三角形的边 顶点 相邻两边的公共端点 叫作三角形的顶点 图形及记法 组成_______的各条线段叫作 四边形的边 每相邻两条_____________　 叫作四边形的顶点 A B C D 记作：_____________ 记作：△ABC 线段的公共端点　 四边形 四边形 ABCD 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 找出下面的四边形. × √ × × A C B D 记作： 四边形 ACBD 四边形 ADBC 字母必须按顺时针或逆时针的方向排列. 21.1.1 四边形及其内角和 概念 1 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 这两个四边形有什么不同？ A A B C D B C D 四边形 ABCD 都在 直线 CD 的同一侧， 也都在直线 AB， BC，AD 的同一侧. 四边形 ABCD 不都在直线 CD（或 BC）的同一侧. 如左图，画出四边形 ABCD 的任何一条边（例如 CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形. 凸四边形 特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形. 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 A B C D 连接 AC 和 BD，你能发现什么？ 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. AC 将四边形分为 _______ 和 _______ . BD 将四边形分为 _______ 和 _______ . △ABC △ACD △BDA △BDC 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 A B C D 内角 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角； 四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 请在图中分别画出四边形 ABCD 顶点 A，C 处的内角和外角. 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 我们知道，三角形的内角和是 180°，长方形的内角和是 360°. 那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？ 180° ？ 360° 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如何证明四边形的内角和为360°？ 四边形能否被分成两个三角形？ 证明：如图，连接 AC. 则四边形被分为两个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×2 = 360°. A B C D 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 四边形能否分成三个三角形？ 如图，在 BC 边上任取一点 E， 连接 AE，DE， 则该四边形被分成三个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×3 - (∠AEB+∠AED+∠CED) = 180°×3 - 180° = 360°. A B C D E 如何证明四边形的内角和为360°？ 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 四边形能否分成四个三角形？ 如图，在四边形 ABCD 内部任取一点 E， 连接 AE，BE，CE，DE， 把四边形分成四个三角形： △ABE，△ADE，△CDE，△CBE. 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×4 - (∠AEB + ∠AED +∠CED +∠CEB)= 720° - 360° = 360°. A B C D E 如何证明四边形的内角和为360°？ 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，在四边形外任取一点 P， 连接 PA、PB、PC、PD 将四边形变成 有一个公共顶点的四个三角形. 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×3 - 180° = 360°. A B C D P 点E能否移动到四边形的外部？ 如何证明四边形的内角和为360°？ 21.1.1 四边形及其内角和 内容概述 结论： 四边形的内角和为360°. 这四种方法都运用了转化与划归思想， 把四边形分割成三角形， 再用已学的三角形内角和定理求解. 360° 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 求下列图形中x的值. ∟ (1) (2) 解： (1)根据四边形的内角和为360°可得， 140+90+2x=360,解得x=65 (2)根据四边形的内角和为360°可得， 120+80+75+x=360解得x=85 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 根据四边形内角和定理，四边形的内角和为360°，结合角度比例设未知数列方程求解． 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 如图，在四边形的每个顶点处各取个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？ 解：从图中可知： (∠1 +∠5)+(∠2 +∠6)+(∠3 +∠7)+(∠4 +∠8) =4×180°=720°， 又因为∠5 +∠6 +∠7 +∠8=360°， 所以∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =720°-(∠5 +∠6 +∠7 +∠8)= 720°-360°=360°. 所以，四边形 ABCD 的外角和等于 360°. 四边形的外角和等于360°. 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． . 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，若 BE∥DF，求证：△DCF 为直角三角形． 证明：∵ 在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补， ∴∠ABC +∠ADC = 180°． ∵ BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC， ∴∠CDF +∠EBF = 90°． ∵ BE∥DF，∴∠EBF = ∠CFD， ∴∠CDF +∠CFD = 90°．∴△DCF 为直角三角形． 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 如图，在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 这是为什么呢？ 21.1.1 四边形及其内角和 四边形具有不稳定性 三角形的三边一旦确定，其形状和大小就确定了，所以三角形具有_______. 稳定性 四边形各条边的长确定后，其形状不能确定，因此四边形具有__________. 不稳定性 在日常生活中，四边形的不稳定性，也有较为广泛的应用. 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 小强同学为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个长方形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得 四边形的变化，下列判断错误的是（　　）. A.四边形ABCD由长方形变为平行四边形 B.BD的长度变大 C.四边形ABCD的面积不变 D.四边形ABCD的周长不变 原来长方形ABCD的面积等于BC乘AB，变化后平行四边形高度小于AB，所以四边形ABCD的面积变小了. A B C D C 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F． (1)若∠ABC＝42°，求∠ADF的度数； 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)求证：DF∥BE． 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 四边形的定义及相关概念 四边形的内角和定理 四边形及其内角和 四边形的外角和定理 四边形的不稳定性及生活应用 360° 360° 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习01 · 下列图形中是凸四边形的是(　　) 解析： 画出四边形 的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形. 因此C选项不是凸四边形； A,B选项不是四边形，故选D. 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习02 ·· 下列生活实物图中，运用了四边形的不稳定性的是(　　) 解析： 四边形各条边的长确定后，其形状不能确定，因此四边形具有不稳定性. 在日常生活中，四边形的不稳定性，也有较为广泛的应用，如伸缩衣架、伸缩门等，因此D选项正确. 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习03 ··· 详解 . 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习04 ···· 详解 若一个四边形的四个外角之比为1:2:3:4，则这四个外角中最大的外角的度数是( ) 解：设四个外角的度数分别为，∵任意四边形的外角和为， ∴． 解得， 最大的外角为． 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习05 ····· 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，∠A与∠1，∠2之间保持一种数量关系始终不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(　　) A．∠A＝∠1－2∠2 B．∠A＝2∠1－∠2 C．2∠A＝2∠1－∠2 D．2∠A＝∠1－∠2 详解 解：如图，设AE，CD交于点F. ∵∠CFE＝360°－∠B－∠C－∠1， ∠AFD＝180°－∠2－∠A，∠CFE＝∠AFD， ∴360°－∠B－∠C－∠1＝180°－∠2－∠A， 即360°－(∠B＋∠C)－∠1＝180°－∠2－∠A. F 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习05 ····· 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，∠A与∠1，∠2之间保持一种数量关系始终不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(　　) A．∠A＝∠1－2∠2 B．∠A＝2∠1－∠2 C．2∠A＝2∠1－∠2 D．2∠A＝∠1－∠2 详解 ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠B＋∠C＝180°－∠A. ∴360°－(180°－∠A)－∠1＝180°－∠2－∠A， 整理，得180°＋∠A－∠1＝180°－∠2－∠A， 即2∠A＝∠1－∠2. F 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习06 ······ 详解 学校有一块四边形试验田，分割成甲，乙两块，由图可知，x－y＝________． 解：如图所示，∠EDG＝180°－75°＝105°，∠DGF＝180°－x. 在四边形DEFG中， ∠EDG＋∠E＋∠F＋∠FGD＝360°， 即105°＋y＋75°＋180°－x＝360°. ∴x－y＝0°. F E G D H C 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习07 ······· 详解 解： (1)由题意得 x°＋x°＋150°＋80°＝360°，解得x＝65. 求出下列图形中x的值． (1) 　　　 　 (2) (2)由题意得 x°＋x°＋10°＋90°＋60°＝360°，解得x＝100. 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习08 ········ 详解 在四边形ABCD中，AD边最大，BC边最小．求证：∠B>∠D． A B C D 证明：连接BD，如图所示： ∵四边形ABCD中，AD边最大，BC边最小， ∴AD＞AB，CD＞BC， ∴∠ABD＞∠ADB，∠CBD＞∠CDB， ∴∠ABD∠CBD＞∠ADB∠CDB， ∴∠ABC＞∠ADC． 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习09 ········· 详解 (1)如图①，∠1，∠2都是四边形ABCD的外角，试探究，∠1，∠2与∠A，∠B之间的数量关系； 解:∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°， ∴∠A＋∠B＝360°－(∠BCD＋∠ADC)． ∵∠1＋∠ADC＝180°，∠2＋∠BCD＝180°， ∴易得∠1＋∠2＝360°－(∠BCD＋∠ADC)． ∴∠1＋∠2＝∠A＋∠B. 21.1.1 四边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习09 ········· 详解 (2)用你发现的结论解决下列问题：如图②，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数． 21.1.1 四边形及其内角和 解：∵在四边形ABCD中， ∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝42°， ∴∠ADC＝360°－∠A－∠ABC－∠C＝138°. 又∵DF平分∠CDA，∴∠ADF＝∠ADC＝69°. 证明：设∠ABC＝x，∵BE平分∠ABC， ∴∠EBA＝∠ABC＝x. ∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC＝360°－∠A－∠ABC－∠C＝180°－x. 又∵DF平分∠CDA，∴∠ADF＝∠ADC＝90°－x， ∴在Rt△DAF中，∠AFD＝90°－∠ADF＝x， ∴∠EBA＝∠AFD，∴BE∥DF. 解:∵∠B＋∠C＝240°， ∴根据(1)的结论有∠MDA＋∠NAD＝240°. ∵AE，DE分别是∠NAD，∠MDA的平分线， ∴∠DAE＝∠NAD，∠ADE＝∠MDA. ∴∠ADE＋∠DAE＝(∠MDA＋∠NAD)＝120°. ∴∠E＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝60°. $