第二十二章 函数（复习课件）数学人教版新教材八年级下册

单元复习课件 第二十二章 函数 人教版2024·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 了解变量与常量的意义；了解自变量和函数的相关概念；理解函数的图象的概念；掌握画函数图象的一般步骤,能画出一些简单的函数图象； 3.在实际问题中，能够确定自变量的取值范围；能根据所给函数图象读出一些有用的信息；能对函数关系进行分析，对变量的变化情况进行初步讨论. 2. 了解函数的三种表示方法及其优点；能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系； 单元学习目标 函数 概念 函数图象画法 函数三种表示方法 变量与常量：在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数 值发生变化的量为变量. 函数与函数值：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是 自变量，y是x的函数.如果当x=a时，y=b，那么b叫作当自变量的值 为a时的函数值 解析式法：两个变量之间的关系有时可以用含有这两个变量及数学 运算符号的等式来表示 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格来表 示函数关系 列表、描点、连线 图象法：用图象表示函数关系的方法 单元知识图谱 变量与常量 定义：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为______，数值发生变化的量为______ 函数 定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量(假定为和)，对于的 ____ ___ ，都有 ___确定的值与其 __，那么我们就说是 ,是的 __．如果当时，那么叫作当自变量的值为时的函数值. 常量 变量 每一个确定的取值 对应 自变量 函数 唯一 考点串讲 函数的三种表示方法 （1）用含自变量的数学式子表示____________之间的关系，这样数学式子叫作函数解析式． （2）对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的_________坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 (3)通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法。 横、纵 函数与自变量 考点串讲 画函数图象的一般步骤: 第一步:______—根据自变量的值确定唯一对应的函数值; 第二步:______—在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点; 第三步:_______—按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 列表 描点 连线 考点串讲 解析式法 优点：简单明了，能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合进行理论分析和推导计算，清楚认识变化趋势. 缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算. 考点串讲 图象法 优点：形象直观，可以形象地反映函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化. 缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值. 考点串讲 列表法 优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便. 缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，从表中看不出变量之间的对应规律. 考点串讲 题型一、常量与变量的关系 例1.半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 B 方法指导：重点看其在整个变化的过程中是否改变. 题型剖析 1.把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．在这个变化过程中，变量为______，常量为______． 2.一物体自高处自由落下，其运动的距离与它下落的时间的关系式是（其中g取），其中变量是_________，常量是__________． x，y 10 ，g h，t 针对训练 3.将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为．设x张白纸黏合后的总长度为，则y与x之间的关系式为_______________，其中常量是__________，变量是____________． x，y ，12 针对训练 题型二、函数的概念 例2.下列关系式中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． D 方法与规律 判断表达式是否为函数的方法 一、指一个变化的过程中 二、两个变量 三、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应 题型剖析 1.下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A A B C D 2.下列关于变量，的关系，其中不是的函数的是（   ） B A B C D 针对训练 3.下列选项中，不能表示y是x的函数的是（    ） 0 5 10 15 3 3.5 4 4.5 A B C D C 针对训练 题型三、求自变量取值范围 例3.(1)函数 的定义域是_________________ (2)函数 中，自变量的取值范围是________________________________． 方法与规律 1.分式有意义即分母不为0； 2.二次根式有意义即被开方数非负; 3.零次幂和负指数幂有意义即底数不为0. 且， 且 题型剖析 1.下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ） A．中，x取 B．y=中，x取 C．中，x取全体实数 D．y=中，x取 2.在函数中，自变量x的取值范围是_____________ 3.函数中自变量x的取值范围是____________________ 4. 在函数中，自变量的取值范围_________________ 且 且 D 且 针对训练 题型四、求自变量的值或函数值 例4.已知函数， 则当函数值为3时，自变量的值为__________． 则当函数值为8时，自变量的值为__________． 5或 方法与规律：遇分段函数时，当时，代入满足对应自变量条件的分段函数的分支，求解即可；当代入分段函数的两个分支，分别求解的值，并验证是否满足对应的自变量条件． 6 题型剖析 题型四、求自变量的值或函数值 1.已知一个函数的图象经过点，则该函数的表达式不可能是（   ） A． B． C． D． 2.当时，的值为__________ 3. [跨学科试题·物理]铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为，当时，______g． 1 158 D 题型剖析 题型五、函数与图象 例5.某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能 大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A A B C D 方法与规律：本题主要考查了用图象表示变量间的关系，解题的关键是理解题意，数形结合 根据容器上宽下窄，可知水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低 题型剖析 1.如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ） A B C D B 针对训练 2.如图，有一只蚂蚁从点O 出发，沿着半圆的边线爬了一圈，又回到了点O．下面可以描述蚂蚁与点O距离变化关系的是图（   ） D A B C D 针对训练 3.某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A B C D B 针对训练 方法与规律：解决此类用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的关键 题型六、函数与解析式 例6.阅读下列问题，试写出函数的表达式 (1)小明每分钟走,他行走的路程随时间的变化而变化； (2)一根弹簧的原长为，挂上重物后弹簧的长度随所挂重物的质量的变化而变化，每挂物体，弹簧伸长； (3)一个长方体盒子的高为，底面是正方形，底面边长改变时，该长方体盒子的体积也随之改变． 解(1)：根据题意可得，； (2)：根据题意可得，; (3)：根据题意可得，． 题型剖析 1.已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为_____________，自变量x的取值范围是___________． 2.某旅游景区原来的门票价格为每张80元．临近春节，该景区推出优惠方案：每张门票打九折．某公司组织员工去该景区旅游．设员工人数为人，购买门票的总金额为元．则与之间的函数关系式_____________；当时，则的值为_________． 2160 针对训练 3.如图，在矩形中，，，，分别是和上的任意一点，且，线段交于点，交于点，且是线段的垂直平分线．设，，求关于的函数解析式． 解：如图，连接，． 是线段的垂直平分线， ，即． 在矩形中，，， 针对训练 ． ，，， ，，． 在中，． 在中，． ， ， 整理，得； 针对训练 例7.某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________； (2)这批练习本一共有多少本？ 减少 解：∵，，， ，∴这批练习本一共有2000本． 题型七、函数与列表 题型剖析 例7.某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系． 解：由题意可得，， ∴与成反比例关系． 题型七、函数与列表 题型剖析 1.声音在空气中的传播速度与空气温度的关系如下表： 空气温度/℃ 0 10 20 声速/（） 319 325 331 337 343 当空气温度为30℃时，声音在空气中的传播速度为_______． 349 2.今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系： 销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24 当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元． 150 针对训练 3.海阳绿茶是国家地理标志产品，冲泡时需兼顾香气释放和避免茶汤苦涩，最适宜的水温为80°~85°．为使冲泡出来的绿茶口感更佳，小颖在泡茶时，记录了烧水壶的水温T(单位：)随烧水时间t(单位：)变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的． t/min 0 2 4 6 8 T/℃ 17 31 45 59 73 (1)求水温T与时间t之间的表达式； 解：根据表格可知，时间每增加两分钟 水温增加，即时间每增加一分钟水温增加， 当时，得． ∴水温T与时间t之间的表达式为． 针对训练 (2)为使水温达到海阳绿茶最适宜的冲泡温度，至少需要烧水多长时间？ 解：当时，即，解得． 所以，至少需要烧水9min． (3)烧水后，请通过计算说明此时水温是否适合冲泡海阳绿茶． 解：当时，． 所以，此时水温不适合冲泡海阳绿茶． 针对训练 题型八、从函数图象获取信息 例8.如图中的图象（折线）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（）和行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在行驶途中停留了；    ②汽车共行驶了； ③汽车回来时的平均速度是去时的2倍；    ④汽车自出发后至之间的行驶速度为． 其中正确的说法有________________ ①②③④ 题型剖析 1.经科学家研究证实，蝉在气温超过时才会活跃起来，此时它会边吸树木的汁液边鸣叫．如图所示是某地一天的气温变化图象，在这一天中，听不到蝉的鸣叫的时间最多有（　　） A．10小时 B．22小时 C．8小时 D．12小时 D 针对训练 2.九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 供水时间x() 0 2 4 6 8 箭尺读数y() 6 18 30 42 54 D 针对训练 3.如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为___________． 24 针对训练 如图描述了小明昨天放学回家的行程情况，请根据图象回答： (1)小明在途中逗留了______； (2)小明回家的平均速度是______； (3)如果他按照刚出学校时的速度一直走到家，______就可以到家； 10 15 针对训练 如图描述了小明昨天放学回家的行程情况，请根据图象回答： (4)今天小明放学后是匀速径直回家的，从学校走到家一共用了15min，请你在图中画出小明回家的路程与时间关系示意图． 针对训练 题型九、动点问题的函数图象 例9.如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D． B 题型剖析 1.如图（1），点P从的顶点B出发，沿B→C→A的方向匀速运动到点A，图（2）是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点．根据图象回答下列问题： （1）________； （2）的面积为________． 30 336 针对训练 2.如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则_______，的面积为___________． 22 针对训练 3.如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为___________． 针对训练 4.已知动点H以的速度在如图①所示的边框（边框拐角处都互相垂直）上，沿匀速运动，的面积关于时间的函数关系的图象如图②所示．已知，有下列说法：①动点H的运动速度为；②的长为；③b的值为13；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．其中正确的是__________． ①②③④ 针对训练 例10.画出函数的图象． (1)列表： 题型十、画函数图象 x … －2 －1 0 1 2 … y …           … (2)描点：根据表中数据描出各点． (3)连线：用平滑的线依次连接各点． －6 －3 0 3 6 题型剖析 1.函数的学习，我们经历了“认识函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数的图象与性质解决问题”的研究路径． 我们可以借鉴这种研究路径探究函数的图象与性质． 探究过程： 第一步：列表． x … 1 2 4 … y … 1 2 __ __ 2 1 … 针对训练 第二步：描点、连线，画出的部分函数图象如图所示． x … 1 2 4 … y … 1 2 4 4 2 1 … 针对训练 第三步：观察图象，总结性质．根据以上信息，解答下列问题： (1)参考反比例函数性质的表述，请你写出函数的两条性质； 解：函数的性质为： ①该函数图象关于y轴对称： ②该函数图象分别位于第一、二象限； 针对训练 第三步：观察图象，总结性质．根据以上信息，解答下列问题： (2)类比二次函数图象的平移方式，函数的图象可以由函数的图象平移得到．请你直接写出一种平移方式． 解：把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可以得到函数的图象． 针对训练 2.请按要求在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象． (1)列表． (2)描点、连线． (3)判断点，是否在函数的图象上． 解：当时， ； 当时， ． 故点不在函数的图象上，点在函数的图象上． 针对训练 3.6月13日，某港口的潮水高度和时间的部分数据及函数图象如下． 【数学活动】 根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象． … 11 12 13 14 15 16 17 18 … … 189 137 103 80 101 133 202 260 … 针对训练 【数学应用】 根据研究，当潮水高度超过时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？ … 11 12 13 14 15 16 17 18 … … 189 137 103 80 101 133 202 260 … 根据图象，可知当潮水高度超过时，和．所以时和时适合货轮进出此港口 针对训练 1.下列函数经过点的是（    ） A． B． C． D． 2.将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） C A B C D B 课堂总结 3.已知变量，之间的关系式为．若，则_________________． 4.已知m是函数自变量取值范围内的一个非负整数，则的平方根是________． 5.如图，下列图形都是由形状相同的小五角星按照一定规律排列构成的，设图形的序号为，构成对应图形的小五角星的个数为．观察图形，总结出与之间的关系式为____________ 5或1或 课堂总结 6.莲都城区某一天气温（简称气温）随时间变化如图所示． 请观察图象，解答下列问题： (1)气温y（）是时间t（）的函数吗？为什么？ 解(1)：气温y（）是时间t（）的函数， 理由：根据图象可知，对于每一时间t都对应一个气温y，符合函数的定义，所以气温y（）是时间t（）的函数； 课堂总结 (2)求当时的函数值，并说明函数值的实际意义． (3)这一天内，有几次气温为15（）？ 解(2)：由图象得出当时的函数值为20，函数值的实际意义为10时的时候气温为； (3)：根据图象可知，一天内有4次气温为． 课堂总结 如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米， 图2中______ ，______ ； 240 课堂总结 (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 解(2)：设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时， 由题意得，， 解得， ∴小敏加速前行驶了2小时， ∴小敏加速前一共行驶了， ∴小敏加速后，S与t的函数关系式为 ； 课堂总结 (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； 解(3)：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴当小云与小敏之间的距离为450千米时，， ∴， 解得； 课堂总结 (4)当小云与小敏之间的距离在千米 （包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 解(4)：当时， 小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴由（2）可知，当二人相距时，， 则当二人相距时， 解得， ∴当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时． 课堂总结 感谢聆听! $