2.3确定二次函数的表达式课后培优提升训练 2025—2026学年北师大版九年级数学下册

2.3确定二次函数的表达式课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级数学下册 一、选择题 1．已知二次函数 的图象经过点，，，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．老师在画二次函数（为常数，）的图象时列表如下： 甲、乙、丙、丁四位同学根据表格得到如下结论，甲：；乙：该函数的对称轴为直线；丙：当时，随的增大而减小；丁：该函数的图象开口向下，其中，所得到的结论不正确的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．二次函数的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y m n 有以下结论：①；②当时，y随x的增大而减小；③．正确的是（） A．① B．② C．③ D．②③ 4．设二次函数（是实数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： …… 0 1 2 3 …… …… 0 2 …… 若这三个实数的积为正数，则的取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．某景点的“喷水巨龙”喷嘴处的水流呈抛物线状流出，该水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系如图所示，为该水流的最高点， ，垂足为．已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象经过点，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 7．如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O，A，C，，则a的值为（   ） A． B． C． D． 8．若二次函数的图象过点和，且顶点在第四象限，则的值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．二次函数（、、为常数，）中的与的部分对应值如表，则关于的一元二次方程的解是___________． 0 2 1 10．如图，已知二次函数的图象经过两点，则该函数的解析式为____． 11．已知二次函数与x轴交于点和，则二次函数的顶点坐标为________． 12．如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为___________． 三、解答题 13．已知抛物线的顶点坐标为． (1)求该抛物线的表达式； (2)当时，抛物线的最大值与最小值的差记为；当时，抛物线的最大值与最小值的差记为； （i）若，比较与的大小关系并说明理由； （ii）若，且，求的值． 14．已知二次函数（b，c为常数），图象经过点，且． (1)若，二次函数对称轴为直线， ①求二次函数的表达式； ②若点B为二次函数图象上一点，且点B到x轴，y轴的距离相等，求点B的坐标； (2)若A为该二次函数图象的顶点，为图象上一动点，且点P到y轴的距离不大于1，n的最大值与最小值的差为6，求k的值． 15．已知二次函数． (1)当点在二次函数的图象上，求此函数图象的对称轴； (2)在（1）的基础上，若，当时，求函数的最大值与最小值； (3)若该函数当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则的取值范围是_____． 16．已知二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交点坐标为，对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式和顶点坐标； (2)若点向下平移6个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，直接写出n的取值范围． 17．二次函数（c为常数，且）的图象过点． (1)求此二次函数的表达式． (2)若过点与x轴平行的直线交此函数的图象于B，C两点，且该直线到x轴的距离等于线段的长，求t的值． (3)若点，都在此函数的图象上，其中，且满足，求m的取值范围． 18．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当点在这个函数图象上时， ①求抛物线的函数关系式． ②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标． (2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围． 参考答案 一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．B 5．D 6．A 7．B 8．C 二、填空题 9．或 10． 11． 12． 三、解答题 12．【详解】（1）解：由抛物线的顶点坐标为得：，， 解得，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：（i）， 理由：∵对称轴为直线， ∴抛物线在时，随的增大而减小；抛物线在时，随的增大而增大. ∴当时，，，，， ∴当时，抛物线的最大值为当时，即；抛物线的最小值为当时，即，此时最大值与最小值的差； 当时，抛物线的最大值为当时，即；最小值为为当时，即，此时最大值与最小值的差为， ∴； （ii）若，分三种情况讨论： ①当时，即时， 当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差； 当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差， ∵， ∴，解得，不符合条件，舍去； ②当且，即时， 当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差； 当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差， ∵， ∴，解得（舍去），； ③当且，即时， 当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差； 当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差， ∵， ∴，解得（舍去），； 综上所述，或． 14．【详解】（1）解：①∵二次函数过点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴二次函数的表达式为． ②设， 由题意得，点B的横坐标与纵坐标相等或互为相反数， a．当时， 解得：，，即点B的坐标为或； b．当时， 则，即方程无解． 综上所述，点B的坐标为或． （2）解：∵点A为该函数图象的顶点，为图象上一动点，且点P到y轴的距离不大于1， ∴设，，即 当时， ∵， ∴函数在处取到最小值2，在处取到最大值， ∴ ，解得：（舍）； 当时， ∵， ∴函数在处取到最小值，在处取到最大值， 则， 解得：． 综上所述，． 15．【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴此函数图象的对称轴为直线； （2）由（1）的二次函数的解析式为， ∵， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴时，有最小值，， ∵， ∴当时，，当时，， ∵， ∴当时，有最大值，， 综上，，； （3）∵二次函数的对称轴为直线， 又∵， ∴在直线的左边，随的增大而减小，在直线的右边，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴， 解得：． 16．【详解】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交点坐标为，对称轴为直线， ∴，， 解得：，， ∴二次函数的表达式为； ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵将点向下平移6个单位长度，向右平移个单位长度， ∴点平移后的点的坐标为， ∵点平移后恰好落在的图象上， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴的值为3； （3）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴该二次函数的图象开口向下，当时，函数取得最大值4， 又∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为9， 当时， 最大值与最小值的差为， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，最大值为4，最小值需为，即， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的取值范围为． 17．【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，则： ， 解得（舍去）或， ∴二次函数的表达式为； （2）解：在中，令得， 整理得：， ∴，， ∵直线到x轴的距离等于线段的长， ∴， ∴， ∴， 即， 解得或； （3）解：∵点，都在函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．【详解】（1）解：①代入点到得：，解得， ∴抛物线的函数关系式为； ②当时，， 解得，； 当时，， 解得； ∴点的坐标为或或； （2）解：抛物线，， ∴抛物线图象开口向上，顶点坐标为， ∵函数图象上只有两个点到轴的距离等于2， ∴， 解得； （3）解：①当时， 当顶点在直线上，符合条件， 即，解得； 当抛物线过点时，与抛物线有两个交点， 根据函数的对称性，只要时，，即符合条件， 则， 解得； 故抛物线与线段只有一个交点时，或； ②当时， 根据函数的对称性，只要时，，即符合条件， 则， 解得； 综上，的取值范围为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $