精品解析：四川雅安市宝兴县灵关中学2025-2026学年九年级下学期数学三月综评试题

2025-2026学年九年级下学期数学三月综评试题 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的． 1. 气温零上，记作，气温零下，应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数的应用，理解题意，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．根据正数和负数表示相反意义的量：零上记作正，则零下记作负，即可得到答案． 【详解】解：气温零上，记作，气温零下，应记作． 故选：C． 2. 一直尺与一直角三角板按如图所示方式摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先标注字母，由证明，再利用三角形的内角和定理求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B 【点睛】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的证明是解本题的关键． 3. 如图是一个立方体的表面展开图，将它折成一个立方体后，数字2的对面是数( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图的特点，正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答即可． 【详解】解：由正方体展开图的特点可知，，5和6是对面，1和3是对面，2和4是对面， 故选B． 4. 温州某风景区在“十一”黄金周期间，每天接待的旅游人数统计如下表． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数（万） 2 2 2 从表中看出旅游人数的众数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个． 【详解】解：在这一组数据中2是出现次数最多的，故众数是2， 故选：A． 5. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 9 B. 3 C. 5 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴即， ∴． ∴ 故选：D． 6. 如图，一个几何体是由6个相同的小立方块组成的，从正面看这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层最右侧是一个小正方形， 如图： 故选：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图；熟练掌握组合体的三视图是解题的关键． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算规则与同类项的概念，需依据同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则及同类项定义，对每个选项进行判断 【详解】∵同底数幂相除，底数不变，指数相减 ∴，故A选项正确 ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ∴，故B选项错误 ∵与不是同类项，不能直接合并 ∴无法化简为，故C选项错误 ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘 ∴，故D选项错误 故选：A 8. 下列优秀传统文化产物中，未利用轴对称进行设计的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D，选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 9. 平面直角坐标系中，点，若轴，轴，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质，正确把握点的坐标特点是解题关键． 根据平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等进行求解即可． 【详解】解：∵点，轴， ∴， ∵轴， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：D． 10. 一元二次方程有两个相等的实数根，则m等于（　　） A. 1或 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】该方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，再根据“有两个相等的实数根”列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 即， ∵方程有两个相等的实数根，且，，， ∴， 解得：或，均满足， ∴为或． 11. 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据图中两把刻度尺A刻度尺上长度为24与B刻度尺上长度32相等，A刻度尺长度为9对应B刻度尺上长度为，列出方程即可． 【详解】解：根据图可知：， 即， 故选：A． 12. 已知抛物线的顶点为M，直线与该抛物线交于点M和，若，则直线与x轴交点的横坐标p的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点M的坐标是，再求出抛物线与x轴交于点，再求出，，求得，当，，解得，则，进一步即可得到p的取值范围． 【详解】解：∵， ∴点M的坐标是， ∵， ∴， ∴在第一象限， 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴交于点， ∵直线与该抛物线交于点M和， ∴①，②，③， ∴④， 由①④得， 当时，， 与矛盾， ∴， ∴， 把代入得，， ∵，， 解得， ∴， 当，，解得， ∴直线与x轴交点的横坐标， ∴， 即， 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数和一次函数的性质、解不等式组等知识，读懂题意准确计算是解题关键． 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上． 13. 如图，天坛祈年殿的圆形三重檐象征“天圆”，其底座实际为十二边形，呼应中国传统历法中的“十二月”与“十二时辰”．该底座所有内角之和为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角和公式：，解题的关键是熟练掌握此公式．根据多边形内角和公式直接计算即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 14. 正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，一粒大豆随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么大豆最终停留在黑色区域的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，用黑色区域的面积除以正方形地板的面积即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的面积为9，黑色区域的面积为：， 因此大豆最终停留在黑色区域的概率是， 故答案为：． 15. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定分子分母的公因式，系数的最大公约数为，相同字母取最低次幂，可得公因式为，根据分式的基本性质， 【详解】根据分式的基本性质，约去公因式，得： ． 16. 若与互为同类项，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵与互为同类项， 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，可得： ， 移项计算得：． 17. 如图，在正方形中，对角线和相交于点O，点E、点F 分别在和上，，连接交于点N，连接和交于点M， 则下列结论中：①；② ；③连接，；④；⑤ ．其中正确的是_______________．（只填序号） 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了四边形综合应用，正方形性质、三角形全等、三角形相似、等腰直角三角形等知识点的应用是本题的解题关键. 证明 得到再证明得到，根据同角的余角相等即可证明①正确；由为等腰直角三角形，得出 再由，得出验证②错误；由利用勾股定理即可验证③正确； 证明得到再通过等式性质整理，可验证④正确； 根据④中结论，代入得到，可得到⑤正确. 【详解】∵四边形为正方形， ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵四边形为正方形， ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 故①正确; ∵, ， ， ， ，故②错误； 如图， 在中， 在中， ， 而在中， 在中， ， ，故③正确； ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, 即 ， ∵, ∴， ， ∵, 故④正确； ∴， ， ， ， ，故⑤正确; 故答案为: ①③④⑤. 三．解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程． 18. （1）计算； （2）解不等式组，并将其解集表示在数轴上． 【答案】（1）−1； （2）， 将其解集表示在数轴上，如图， 【解析】 【分析】本题考查有理数混合运算，解一元一次不等式，解题的关键是掌握零指数幂运算法则与解一元一次不等式组的方法． （1）根据零指数幂运算法则，绝对值的性质，有理数乘方法则计算，再计算加减即求解； （2）求出各个不等式的解集，再利用数轴寻找公共部分即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 由①得， 由②得， 将其解集表示在数轴上，如图， ∴不等式组的解集为． 19. 学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长t（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：，B：，C：，D：），并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）小明一共抽样调查了 名同学； （2）将条形统计图补充完整； （3）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）40 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合条形图统计图和扇形统计图，将B组的人数除以其百分比得到答案即可； （2）根据（1）中算出的总人数减去已知的人数，补全条形图即可； （3）先画出树状图，列出所有的可能情况，再找出恰好选中1名男生和1名女生的情况数，得到概率即可． 【小问1详解】 解：小明一共抽样调查的同学有（名）； 【小问2详解】 解：C组的人数为：（名）， 补充完整条形统计图，如图即为所求； 【小问3详解】 解：从2名男生和2名女生中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，作树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中1男1女的结果数为8， ∴恰好选中1男1女的概率为． 20. 如图，在长方形中，，，点是对角线的中点．动点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动；同时动点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长交于点，连接并延长交于点，设运动时间为．解答下列问题： （1）的长为 ，的长为 ； （2）当为等腰直角三角形时，求的值； （3）设四边形的面积为，求与之间的关系式． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线段间的关系表示即可； （2）根据矩形的性质证出，利用等腰三角形的性质即可得解； （3）证明，得出四边形是平行四边形，再证明和，即可得解． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ， 点是对角线的中点， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ． 【小问3详解】 解：四边形是矩形， ， ， ，， ， ， 由（2）知，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 同理， 矩形的面积的面积的面积， 即y与t之间的关系式为． 21. 如图1，在中，，D是的中点，E是的中点，过点C作交的延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）请在图2的中，作出正方形，使它的一个顶点与顶点C重合，另外三个顶点分别在三边上，请在图2上作出这个正方形．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】（1） 证明：∵E是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵D是的中点， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵，D是的中点， ∴ ∴四边形是菱形； （2） 如图： 【解析】 【分析】（1）根据条件证明，可证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质即可证明； （2）先作的平分线，交于点F，再作线段的垂直平分线，分别交于点E，G，正方形即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 先作的平分线，交于点F，再作线段的垂直平分线，分别交于点E，G，正方形即为所求； 【点睛】本题考查了菱形的判定，直角三角形的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，点A与点B的坐标分别为和． （1）填空： ， ， ． （2）结合图象写出不等式组的解集． （3）连结、，求的面积． 【答案】（1），2， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，函数与不等式的关系，分割法求三角形面积，是解题的关键． （1）把点代入即可得出m的值，再把点、代入反比例函数即可得出k、n的值； （2）直线在双曲线下方部分的图象上对应的x值，即可得出答案； （3）根据一次函数解析式求得点C坐标，由求出即可． 【小问1详解】 ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ∴，， 解得：，，， 故答案为：，2，； 【小问2详解】 由图象可知，不等式组的解集是，或． 【小问3详解】 ∵一次函数的解析式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 23. 如图，在中，是的直径，点是直径上的一个动点，过点的弦，交于点，连接，点为的中点，连接并延长，交于点，交于点． （1）如图，连接，过点的直线交的延长线于点．当点与圆心重合时，若，求证：是的切线； （2）在点运动的过程中，（为常数），求的值； （3）如图，连接，当是等腰三角形时，求的正切值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的正切值为或 【解析】 【分析】（）连接，根据圆周角定理，结合等角的余角，求得，进而得到，即可得证； （）过点作，垂足为，易得是的中位线，进而推出，证明，得到，即可得出结果； （）分点在圆心的左侧和点在圆心的右侧，两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 证明：连接，如图， 则， ∴， 当点与圆心重合时，是的直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，如图， 则， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是的直径，弦， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当点在圆心的左侧时，，连接，如图， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，点为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②当点在圆心的右侧时，，如图， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，点为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的正切值为或． 24. 综合与探究 如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为点B，点D在y轴上，且． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t，当时，求四边形的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值； （3）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t，点Q在直线上，若以为边，点为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】（1） （2），当时，S有最大值，为 （3）所有符合条件的点P的坐标为)或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将四边形看成两个三角形即和拼成，分别求出它们的面积并求和，可得四边形的面积，求出点B的坐标从而得到长度，从而解决的面积，过点P作轴，交于点E，用待定系数法求出直线的解析式，从而表示出的长度，继而求出的面积，从而得解； （3）用t表示出点P的坐标和点Q的坐标，再分点P在点Q上方和上方两种情况讨论并分别求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得， 解得 ∴所求抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 连接，在中， 令，得， 解得，， ∴． ∵， ∴直线的函数表达式为． ∵，， ∴，， 过点P作轴，交于点E(如图)． ∵，则． ∴． ∴． 即． ∵，且， ∴当时，S有最大值，为． 【小问3详解】 以为边，以点为顶点的四边形是平行四边形， 则，且． ∵点P在抛物线上，点Q在直线上， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为． 分两种情况讨论： 如图2，当点P在点Q上方时， ∴， 即，解得：，． ∴，； 如图3，当点P在点Q下方时， ∴， 即，解得：，． ∴，． 综上所述，所有符合条件的点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积的综合问题，二次函数与平行四边形的综合问题，二次函数的图象与性质等知识，根据题意正确作出辅助线和良好的综合能力和解题能力是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下学期数学三月综评试题 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的． 1. 气温零上，记作，气温零下，应记作（ ） A. B. C. D. 2. 一直尺与一直角三角板按如图所示方式摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个立方体的表面展开图，将它折成一个立方体后，数字2的对面是数( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 温州某风景区在“十一”黄金周期间，每天接待的旅游人数统计如下表． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数（万） 2 2 2 从表中看出旅游人数的众数是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 9 B. 3 C. 5 D. 14 6. 如图，一个几何体是由6个相同的小立方块组成的，从正面看这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列优秀传统文化产物中，未利用轴对称进行设计的是（ ） A. B. C. D. 9. 平面直角坐标系中，点，若轴，轴，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 一元二次方程有两个相等的实数根，则m等于（　　） A. 1或 B. C. 1 D. 2 11. 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线的顶点为M，直线与该抛物线交于点M和，若，则直线与x轴交点的横坐标p的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上． 13. 如图，天坛祈年殿的圆形三重檐象征“天圆”，其底座实际为十二边形，呼应中国传统历法中的“十二月”与“十二时辰”．该底座所有内角之和为________度． 14. 正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，一粒大豆随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么大豆最终停留在黑色区域的概率是________． 15. 化简：________． 16. 若与互为同类项，则_____． 17. 如图，在正方形中，对角线和相交于点O，点E、点F 分别在和上，，连接交于点N，连接和交于点M， 则下列结论中：①；② ；③连接，；④；⑤ ．其中正确的是_______________．（只填序号） 三．解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程． 18. （1）计算； （2）解不等式组，并将其解集表示在数轴上． 19. 学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长t（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：，B：，C：，D：），并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）小明一共抽样调查了 名同学； （2）将条形统计图补充完整； （3）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 20. 如图，在长方形中，，，点是对角线的中点．动点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动；同时动点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长交于点，连接并延长交于点，设运动时间为．解答下列问题： （1）的长为 ，的长为 ； （2）当为等腰直角三角形时，求的值； （3）设四边形的面积为，求与之间的关系式． 21. 如图1，在中，，D是的中点，E是的中点，过点C作交的延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）请在图2的中，作出正方形，使它的一个顶点与顶点C重合，另外三个顶点分别在三边上，请在图2上作出这个正方形．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，点A与点B的坐标分别为和． （1）填空： ， ， ． （2）结合图象写出不等式组的解集． （3）连结、，求的面积． 23. 如图，在中，是的直径，点是直径上的一个动点，过点的弦，交于点，连接，点为的中点，连接并延长，交于点，交于点． （1）如图，连接，过点的直线交的延长线于点．当点与圆心重合时，若，求证：是的切线； （2）在点运动的过程中，（为常数），求的值； （3）如图，连接，当是等腰三角形时，求的正切值． 24. 综合与探究 如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为点B，点D在y轴上，且． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t，当时，求四边形的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值； （3）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t，点Q在直线上，若以为边，点为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $