精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年下学期高三模拟检测数学试题

玉溪一中2025—2026学年下学期高三模拟检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解出各个集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，则， 因为，所以，故A正确. 故选：A 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算化简后即可求解. 【详解】复数， 故虚部为. 故选：A 3. 记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设该圆锥的高为，根据球体与圆锥的表面积公式与体积公式列式，结合推得，代入所求式化简计算即得. 【详解】依题意，，设该圆锥的高为，则，. 由可得，化简得， 故. 4. 如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆台上面部分的体积，根据小球的体积恰好等于的体积求出球的半径. 【详解】如图，，又放入的球的半径为， 由于圆台的体积， 由题可知：，则，此时小球恰好与上下底面相切； 下面考虑当小球与侧棱相切时，设球心为，球的半径为，则， 由于，则， 则， 那么，则，那么在上方， 即该小球先与上下底面相切． 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角平方和公式和二倍角正切公式即可求解. 【详解】由与联立，结合可解得： ，，， 再由二倍角公式可得， 故选：B. 6. 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 【答案】B 【解析】 【分析】利用取倒数法并构造新数列求其通项公式，再由等比数列求和公式结合数列的单调性解不等式即可. 【详解】由，可得， 易知，两侧同时除，可得，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则， 故， 故， 易知单调递增，，所以. 故选：B 7. 已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（ ） A. 116 B. 115 C. 114 D. 113 【答案】C 【解析】 【分析】由可得函数的周期为， 再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解. 【详解】由，得， 即， 所以， 所以函数的周期为， 又为偶函数， 则， 所以， 所以函数也为偶函数， 又， 所以，， 所以， 又，即，所以， 又，， ， 所以 故选：. 8. 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出、关于的等式，从而可得出、的关系式. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，焦距为，在中，由余弦定理得， 由椭圆和双曲线的定义得，解得. 代入， 得， 即，， 即，，因此，. 故选B. 【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若样本数据，，，的平均数为，则数据，，，，的平均数为 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，设，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式判断A，根据正态分布曲线的性质判断B，根据二项分布均值和方差的计算公式和方差的性质判断CD. 【详解】若样本数据，，，的平均数为，则， 所以数据，，，，的平均数为，A正确； 若随机变量，则正态分布曲线关于直线对称， 因为，所以，B正确； 若随机变量，则 ，C错误； 若随机变量， ， 又，则 ，D错误． 故选：AB 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 当时，平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，时，与重合，故只需验证面是否成立即可，对于B，由不与平面平行，即点到面的距离不为定值，由此即可推翻B，对于C，考虑两种极端情况的线面角，由于是连续变化的，故与平面所成的角也是连续变化的，由此即可判断；对于D，求出平面的法向量，而显然球心坐标为，求出球心到平面的距离，然后结合球的半径、勾股定理可得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积. 【详解】如图所示建系，， 所以， 从而， 所以， 又面， 所以面， 时，与重合，平面为平面， 因为面，平面，A对. 不与平面平行，到面的距离不为定值， 三棱锥的体积不为定值，B错. 设面的法向量为， 则，令，解得， 即可取， 而， 所以与平面所成角的正弦值为， 又， 所以， 所以， 又面， 所以面， 当在时，与平面所成角的正弦值为，此时与平面所成角小于， 当在时，与平面所成角为， 所以存在使与平面所成角为，C正确. ， 设平面的法向量为， 不妨设，则. ，则，平面的法向量，显然球心， 到面的距离，外接球半径， 截面圆半径的平方为，所以，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是利用向量法求出球心到截面的距离，由此即可顺利得解. 11. 定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 的图象在处的切线方程为 C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数 【答案】BCD 【解析】 【分析】先判断函数的对称性，周期性，对A，利用周期可得；对B，求出表达式，然后求导计算；对C，作出两个函数图象判断即可；对D，作出图形，然后分情况讨论，利用导数计算判断. 【详解】由函数为上的奇函数，所以， 由，所以函数关于对称，且，则，所以4为函数的一个周期. 对A，，则，，所以， 由当时，，所以，错误； 对B，由A可知：当时，，所以当时，， 所以当时，，则， ，， 所以函数的图象在处的切线方程为，即，正确； 对C，作出函数与图象， 函数图象关于对称，当时，图象共有5个交点，由为奇函数，所以当时，图象也有5个交点，所以图象所有交点的横坐标之和为10，正确； 对D，如图： 当时，；当时，， 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以； 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以； 所以函数的图象与直线恰有一个公共点，则实数，正确。 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据互斥事件的知识列方程进行求解. 【详解】依题意，，解得. 故答案为： 13. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值. 【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD. ， 得即故. 【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题. 14. 已知实数满足，则的最大值为______；的取值范围为______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】第一空：直接由基本不等式即可求解；第二空：首先将目标式子化为关于的代数式，通过三角换元得的范围，进一步取到倒，结合对勾函数性质得，从而即可得解. 【详解】由题意，等号成立当且仅当，即的最大值为1； 由题意， 因为，所以设， 所以， 所以， 所以， 令，，所以， 又， 所以， 所以. 故答案为：1；. 【点睛】关键点点睛：第二空的关键是首先画出关于的代数式，并求出的范围，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用等差数列性质公式计算即可. （2）运用分组求和，结合等差等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 设的公差为d，因为，所以， 又，则， 故， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得： 16. 如图，直三棱柱中，分别为 和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 因为，，故， 由直三棱柱的性质可得，故， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证，再利用线面平行的判定定理可证平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，根据可求的长，再求出平面的法向量后可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故，设. 由直三棱柱可得平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 故，且. 因为，故即，故（舍去）， 故，，又. 设平面的法向量为，则, 所以，取， 故与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 17. 已知函数． （1）若函数与的图象关于点对称，求的解析式； （2）当时，求的最大值； （3）判断函数在的零点个数，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）1，理由如下： 令，则，整理得， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 又，，所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点. 当时，，，两个不等式等号无法同时成立， ，此时函数无零点， 综上所述，在上存在唯一零点， 即函数在上的零点个数为． 【解析】 【分析】（1）由对称性可得，计算即可得； （2）求导后可得函数单调性，即可得其最大值； （3）令，可得，构造函数，借助导数可研究其单调性，利用单调性与零点存在性定理即可得解. 【小问1详解】 由题意得，； 【小问2详解】 由题意得，，，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为； 【小问3详解】 略 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 某选数游戏规则：给定个不同数（参与者不知道具体数值但知道的大小），屏幕每次随机出现一个数，参与者需通过按Y键选择该数，或按N键跳过继续查看下一个数，一旦按Y键选择，该游戏结束；若前个数均被跳过，系统将自动选定最后一个数．最终所选数若为这个数中最大的，则参与者获胜，反之则失败．小王参与该游戏时决定采取如下策略：对于给定的，前个数均按N键跳过（，表示直接选取第一次出现的数），从第个数开始，若当前数比前面所有已出现的数都大则按Y键选择，否则按N键继续观察下一个数，如此重复直至游戏结束，记小王获胜概率为． （1）当时，写出的值； （2）当时，求，并证明当最大时，满足 （3）已知当时，（为欧拉常数）．在本次游戏中，如果，最大时，求的估计值． 【答案】（1）；； （2）， 证明: ， 同理 ， 因此，当时，最大. （3）. 【解析】 【分析】（1）设三个数是1，2，3，通过列举法，由古典概率模型计算公式求解即可； （2）设最大数在（ ）次出现，要想获胜，前个数中的最大值必出现在前次中，且第次取到最大值，得到 ，结合 ， ，即可求证； （3）由（2）得到 ，再由条件得到 ①， ②， ③，联立可得， ，即可求解. 【小问1详解】 不妨设三个数是1，2，3，三个数的大小排列有6种情形：123，132，213，231，312，321. 当时，取到最大的情形有：312，321. 所以； 当时，取到最大的情形有：132，213，231，所以； 当时，取到最大的情形有：123，213. 所以. 【小问2详解】 当最大数在第 次出现时，均有可能获胜.设最大数在（ ）次出现，要想获胜，前个数中的最大值必出现在前次中，且第次取到最大值，所以 证明略. 【小问3详解】 首先对于，当最大时， . 否则若 ， 则 . ①， ②， ③， ①②得 ，所以 ， ①③得 ，所以 ， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年下学期高三模拟检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 3. 记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 7. 已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（ ） A. 116 B. 115 C. 114 D. 113 8. 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若样本数据，，，的平均数为，则数据，，，，的平均数为 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，设，则 10. 如图，在棱长为2的正方体中， 为的中点，点 满足，则（ ） A. 当时，平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得 与平面所成的角为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 11. 定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 的图象在处的切线方程为 C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则__________. 13. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 .若，则的值是_____. 14. 已知实数满足，则的最大值为______；的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，直三棱柱中，分别为 和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）若函数与的图象关于点对称，求的解析式； （2）当时，求的最大值； （3）判断函数在的零点个数，并说明理由． 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 19. 某选数游戏规则：给定个不同数（参与者不知道具体数值但知道的大小），屏幕每次随机出现一个数，参与者需通过按Y键选择该数，或按N键跳过继续查看下一个数，一旦按Y键选择，该游戏结束；若前个数均被跳过，系统将自动选定最后一个数．最终所选数若为这个数中最大的，则参与者获胜，反之则失败．小王参与该游戏时决定采取如下策略：对于给定的，前个数均按N键跳过（，表示直接选取第一次出现的数），从第个数开始，若当前数比前面所有已出现的数都大则按Y键选择，否则按N键继续观察下一个数，如此重复直至游戏结束，记小王获胜概率为． （1）当时，写出的值； （2）当时，求，并证明当最大时，满足 （3）已知当 时， （ 为欧拉常数）．在本次游戏中，如果，最大时，求的估计值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $