河南省郑州市巩义市第一高级中学等五校2026届高三下学期开学考试数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在直角坐标系xOy中，点A，B满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 已知为纯虚数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 若函数是奇函数，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 若的展开式中常数项为180，则a的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 7. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的首项为0，从第2项起，每一项减其前一项的差为1或2，记的前n项和为，则使一定成立的正整数k的最大值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的最小正周期为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 直线是曲线的对称轴 C. 在上单调递增 D. 在上的值域为 10. 某摄影比赛组委会为防止AI作品弄虚作假，请技术专家来检测AI作品，专家的漏判率（将AI作品判定为正常摄影作品的概率）为10%，误判率（将正常摄影作品判定为AI作品的概率）为10%，假设本次比赛中每幅作品实际为AI作品的概率为5%，且每幅作品相互独立，则下列说法正确的是（ ） A. 专家随机抽取两幅作品，这两幅作品实际都是AI作品的概率为0.0025 B. 专家随机抽取一幅作品，该作品的判定结果与实际情况不一致的概率为0.2 C. 专家随机抽取一幅作品，该作品被判定为AI作品的概率为0.15 D. 若一幅作品被专家判定为AI作品，则该作品实际也是AI作品的概率为 11. 已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是的必要不充分条件 D. 的零点个数为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最大值为_______． 13. 已知正四棱台的体积为28，其中，则三棱锥的体积为________． 14. 已知P为抛物线上任意一点，，，若存在实数k，点满足，则m的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市文旅部门在电商平台推广当地的某种特产，并设置了该特产的客服热线，每月统计一次消费者投诉次数，得到下表所示的数据. 月份序号x 1 2 3 4 5 投诉次数y 120 100 80 70 55 （1）若关于的经验回归方程为，求； （2）从表中5个月份中任选3个，以表示所选月份中投诉次数小于100的月份个数，求的分布列与数学期望. 16. 已知数列的前n项和，等比数列满足，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 如图，直四棱柱内接于圆柱，且底面为矩形，B是圆柱底面圆O的圆周上一动点，AC是圆O的直径，且，E是AB的中点，Q是的中点． （1）证明：平面； （2）设，求平面与平面ABC的夹角的正弦值.（用表示） 18. 已知双曲线的右焦点为F，左顶点为，离心率为2，过点F且斜率存在的直线l与E的右支交于P，Q两点（点P在第一象限），M是PQ的中点，O为坐标原点． （1）求E的方程； （2）证明：； （3）过点F且与l垂直的直线m交直线OM于点N，证明：的面积大于． 19. 已知函数，. （1）若，证明：. （2）若曲线与关于直线对称，关于x的方程恰有三个不等实根，，，其中. （ⅰ）求a的取值范围； （ii）证明：． 附：若，则当时，． 高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】8 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）133 （2） 1 2 3 数学期望为 【16题答案】 【答案】（1）， （2）． 【17题答案】 【答案】（1） 如图，取的中点，连接， 则，且． 因为底面为矩形，所以，，且， 所以，且， 则四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 设点的坐标为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，，要证，即证， 由题意得，即证， 即证． 因为，所以， 因为点在上，所以， 所以，得证， 综上，可得． （3） 设的方程为，，， 联立方程得，整理得， 所以，， 所以 ， 设，则，， 直线的方程为． 因为，所以的方程为， 由可得即， 则有， 代入，则有， 所以， 所以，设，则， 设， 令，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 所以，故， 所以，即的面积大于． 【19题答案】 【答案】（1） 设， 则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 当时，，所以， 即． （2）（ⅰ）； （ii）由（ⅰ）知． 当时，，所以． 要证明，即证明， 由，得，代入待证不等式， 得，整理得． 设，则， 故在上单调递增，故，即． 故命题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $