第8章 实数 单元培优训练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第8章 实数 单元培优训练 一．选择题 1．下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B． C．0.101001 D． 2．估计在哪两个相邻整数之间（　　） A． B． C． D． 3．化简的结果是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．9 4．如图，在数轴上表示实数的点可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．下列说法中正确的有（　　）． ①0.1是0.01的算术平方根；②的算术平方根是9；③一个数的立方根等于它本身，这个数是0或1；④有理数与数轴上的点一一对应． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．实数a，b在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（　　） A．﹣a B．a+b C．a﹣b D．|a|﹣|b| 7．已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 8．对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2，已知，min{，x}＝x，min{，y}，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 二．填空题 9．计算的结果是　 　 ． 10．若实数x，y同时满足x+y＝6，|x|﹣y＝4，则　 　 ． 11．比较大小：2 　 　 ． 12．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|b﹣a|+|a+c|﹣|c﹣b|的值等于 　 　 ． 13．将长方形①，正方形②，正方形③，长方形④和长方形⑤按如图所示放入正方形ABCD中，若正方形ABCD的面积为，则长方形⑤与正方形②的周长之差为　 　 ． 14．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和n+1之间，那么n的值是　 　 15．已知的整数部分为a，小数部分为b，x，y为有理数，若x，y，a，b满足，则x+y的值为　 　 ． 三．解答题 16．计算： （1）； （2）． 17．解方程： （1）（x+1）2＝25； （2）8x3+27＝0． 18．已知一个正数的平方根分别是a+2和2a﹣5，b﹣3的立方根为﹣2． （1）求b的值； （2）求这个正数； （3）求4a﹣b的平方根． 19．【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为64＜67＜81， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中0＜s＜1； ②，其中0＜t＜1． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以67＝（8+s）2， 即67＝64+16s+s2． 因为s2比较小， 将s2忽略不计， 所以67≈64+16s， 即16s≈67﹣64， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）； 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 20．我们规定，若实数a，b满足a﹣m＝m﹣b，则称a与b是关于m的对称数． （1）若a与8是关于4的对称数，则a的值是　 　 ； （2）若与是关于m的对称数，求m的值； （3）若有理数x，y满足，判断与是否是关于7的对称数． 21．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫作虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫作复数，a叫这个复数的实部，b做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： （2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i．（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等； ③若两个复数．它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭； （1）填空：①（1+i）（1﹣i）＝　 　 ，②（2+i）2＝　 　 ． （2）复数4+bi与复数a+5i共轭，则a+b＝　 　 ． （3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣4i，求a2+b2的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A B D C C D 二．填空题 9．12． 10．5． 11．＜． 12．﹣2a． 13．16． 14．3． 15．﹣5． 三．解答题 16．解：（1） ； （2） ＝4． 17．解：（1）开平方可得： x+1＝5或x+1＝﹣5， ∴x＝4或x＝﹣6； （2）8x3+27＝0， 8x3＝﹣27， ， 解得． 18．解：（1）∵b﹣3的立方根为﹣2， ∴b﹣3＝（﹣2）3＝﹣8， ∴b＝﹣5； （2）∵一个正数的平方根分别是a+2和2a﹣5， ∴a+2+2a﹣5＝0， 解得a＝1， ∴a+2＝3， ∴这个正数为32＝9； （3）∵a＝1，b＝﹣5， ∴4a﹣b＝4﹣（﹣5）＝9， ∴4a﹣b的平方根为±3． 19．解：（1）根据利用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2近似计算算术平方根的方法可得： 设，其中0＜t＜1， ∴， ∴化简，得67＝81﹣18t+t2， ∵t2比较小，将t2忽略不计， ∴67≈81﹣18t， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵8.18×8.18＝66.9124，8.19×8.19＝67.0761，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 20．解：（1）根据新定义可知a﹣4＝4﹣8， 解得a＝0， 故答案为：0； （2）根据新定义可知21﹣m＝m﹣11+2， 解得：m＝5； （3）与是关于7的对称数．理由如下： ， ∴2x+2yx， ∵x，y是有理数， ∴y＝2x，x＝2， ∴x＝2，y＝4， ∴x2，3y12， 27＝7﹣（12）， ∴7＝7﹣（）， 故与是关于7的对称数． 21．解：（1）①（1+i）（1﹣i） ＝1﹣i2 ＝1﹣（﹣1） ＝2， 故答案为：2； ②（2+i）2 ＝4+4i+i2 ＝4+4i﹣1 ＝3+4i， 故答案为：3+4i； （2）∵复数4+bi与复数a+5i共轭， ∴a＝4，b＝﹣5， ∴a+b＝4﹣5＝﹣1； 故答案为：﹣1； （3）∵（a+i）（b+i） ＝ab+（a+b）i+i2 ＝ab﹣1+（a+b）i ＝1﹣4i， ∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣4， ∴ab＝2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/16 23:22:50；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $