第二章二次函数 单元复习卷2025-2026学年北师大版数学九年级下册

第二章二次函数单元复习卷北师大版2025—2026学年九年级数学下册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象如图所示，其对称轴为有下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线经过点则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上．若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，线段的端点为，抛物线与线段有交点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 8．如图，二次函数的图象交轴于点，对称轴为，下列四个结论中：①；②；③；④图象上有两点和，若，且，则．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．若二次函数图象与轴有一个交点为，则与轴另一个交点坐标为_____． 10．如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 11．已知，是抛物线上的两个点，则b的值为______． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点．动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒2个单位的速度运动．过点P作直线，垂足为Q，再将绕点P旋转，设点P的运动时间为t秒．若旋转后的点Q落在该抛物线上，则t的值为______． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点在二次函数的图象上，为二次函数的图象的顶点． (1)求的面积； (2)点是轴上一动点，当和相似时，求点坐标． 14．在二次函数中，x与y的几组对应值如表所示． x … 0 1 … y … 0 … (1)求二次函数的表达式，并求二次函数图象的顶点坐标； (2)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为4，求n的值． 15．已知二次函数（）． (1)若，直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标； (2)当时，设是该二次函数图象与轴交点的横坐标，记，求的值． 16．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接，顶点为M． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)已知点P是抛物线上的一点，连接，若，求点P的坐标． (3)如图2，若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，有最大值吗?如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 17．抛物线经过，两点． (1)当时，求抛物线的表达式； (2)求一元二次方程的根； (3)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． 18．已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点E为抛物线的顶点． (1)①求抛物线的表达式及顶点E的坐标； ②判断点D是否在抛物线上； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线，点N是射线上一动点，且满足．求的最小值； (3)点P在抛物线对称轴上，若，则点P的坐标为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、选择题 1．C 2．D 3．B 4．D 5．A 6．A 7．C 8．B 二、填空题 9． 10．2 11． 12．或5 三、解答题 13．【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， 将代入 ， 得，解得， 函数表达式为， ∴点、、， 令直线表达式为， 由、， 得，解得， ∴直线表达式为， 过点作垂直于轴，交于点，如下图所示： 当时，， ∴， ∴， ∴， 故的面积为． （2）解：， ， ， 设点坐标为，根据题意，可判断出有可能的相似情况有如下三种： 当时， 有，即， 由，解得， 由，解得或， 故该情况下； 当时， 有，即， 由，解得，该方程无解， 则不存在该情况； 当时， 有，即， 由，解得， 由，解得或， 故该情况下； 综上，点的坐标为或． 14．【详解】（1）解：由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线， 可设二次函数为． 又图象过，， ，解得， 二次函数为． 顶点坐标为． （2）解：二次函数的图象向右平移n个单位长度后，得到新函数为． 此时对称轴是直线，函数图象开口向上． ①当时，即， 当时，y取最大值为；当时，y取最小值为． 又最大值与最小值的差为4， ． ，不合题意． ②当时，即， 当时，y取最大值为；当时，y取最小值为． 又最大值与最小值的差为4， ． （不合题意，舍去）或， ③当时，即， 当时，y取最大值为；当时，y取最小值为． 又最大值与最小值的差为4， ． 或（不合题意，舍去）． ④当时，即， 当时，y取最小值为；当时，y取最大值为． 又最大值与最小值的差为4， ． ，不合题意． 综上，或． 15．【详解】（1）∵将代入中， ∴， ∵设顶点为， ∴，， ∴顶点坐标为． （2）∵将代入中， ∴， ∵是该二次函数图象与轴交点的横坐标， ∴，解得：， ∵整理得：， ∴ ， ∴， 当，， 当，， ∴综上，或． 16．【详解】（1）解：设，把代入得， ∴． ∴抛物线的解析式为， ∴顶点M的坐标为； （2）解：①当点P在上方时，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点； ②当点P在下方时，交x轴于H， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 设直线解析式为：， 把点H代入得：， 解得：， 所以直线解析式为． 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， ∴综上所述，点P的坐标为或； （3）解：过D点作轴，交于点H，如图所示： 设，直线的解析式为， 由点，知直线的解析式为：， ∴ ∴ ∵轴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，的值最大，． 17．【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴可设抛物线的交点式为， 当时，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，， 对于一元二次方程，化为， ∵， ∴或，解得，， 即方程的根为，． （3）解：抛物线对称轴为直线， ∵点、在抛物线上，且， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大， 则，解得或， ∴； 当时，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， 则，解得， ∴； 综上，的取值范围是或． 18．【详解】（1）解：①∵抛物线交x轴于点，点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为； ②对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴， 当时，， ∴点D是在抛物线上； （2）解：如图，在射线上取一点G，使．连接，，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴轴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴． 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． $