专题03 因式分解章末易错必刷题型专训（56题14个考点）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版）

专题03 因式分解章末易错必刷题型专训（56题14个考点） 【易错必刷一 判断是否是因式分解】 1．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）下列从左到右的变形，是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①②都是因式分解 B．①②都是整式的乘法 C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列各式从左到右是因式分解的是_______． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 4．（24-25八年级下·江苏常州·课堂例题）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【易错必刷二 已知因式分解的结果求参数】 5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知多项式分解因式为，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（2025八年级·江苏常州·模拟预测）若多项式因式分解得，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如果，那么的值为_______． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【易错必刷三 公因式】 9．（24-25八年级上·山东泰安·期中）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·广西来宾·月考）整式，下列结论：①A，B的公因式为；②A，B的公因式为．判断正确的是（    ） A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 11．（24-25八年级下·江苏南京·单元测试）将多项式分解因式，应提取的公因式是_________________． 12．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）找出的公因式． 【易错必刷四 提公因式法分解因式】 13．（25-26八年级下·江苏常州·随堂练习）下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 15．（24-25八年级下·河北保定·期末）和的公因式为______________． 16．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）利用因式分解进行计算： (1)； (2)． 【易错必刷五 判断能否用公式法分解因式】 17．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）下列多项式不能用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·山东泰安·期中）下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列多项式：①，②，③，④能用公式法因式分解的有个（    ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级下·江苏南京·期末）分解因式： (1)； (2)． 【易错必刷六 平方差公式分解因式】 21．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）请你估计一下的值应该最接近于（   ） A．1 B． C． D． 23．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）规律探究题计算：_____． 24．（25-26八年级下·江苏常州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【易错必刷七 完全平方公式分解因式】 25．（25-26八年级下·江苏常州·周测）下列各式能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·四川巴中·期中）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 27．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 28．（2026八年级下·江苏常州·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【易错必刷八 综合运用公式法分解因式】 29．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）下列多项式能因式分解的是（    ） A．x2﹣y B．x2+1 C．x2+y+y2 D．x2﹣2xy+y2 30．（24-25八年级上·湖北随州·期末）在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（  ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级上·山东济宁·期末）分解因式：________________． 32．（24-25八年级下·江苏常州·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷九 综合提公因式和公式法分解因式】 33．（24-25八年级下·江苏常州·期末）对进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级上·河北邢台·期末）淇淇的因式分解为：，被覆盖处应为（    ）． A． B． C． D． 35．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）分解因式： ___________（要求因式任意一项系数都是有理数）． 36．（25-26八年级上·山东淄博·期末）分解因式： (1)； (2)． 【易错必刷十 因式分解在有理数简算中的应用】 37．（2025·河北唐山·三模）与相等的是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）计算：的值为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）分解因式：________________________． 分解因式：________________________． 计算：的结果是________________________． 40．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． (1)上述分解因式的方法是_______； (2)分解因式的结果是_______； (3)利用（2）中结论计算：． 【易错必刷十一 十字相乘法】 41．（24-25八年级上·山东东营·期中）若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（   ） A．6 B． C． D．8 42．（24-25八年级上·福建三明·期中）分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式． 这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”． 为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分成两列（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行因式分解． 则代数式因式分解的结果为_______． 44．（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）综合实践． 通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步领悟代数推理在数学学习中的重要地位． 我们发现：，反过来，多项式可以分解为，利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解． (1)多项式因式分解结果为__________； (2)多项式因式分解结果为__________； (3)我们知道：，可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请对多项式进行因式分解． 【易错必刷十二 分组分解法】 45．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 46．（24-25八年级上·山东烟台·期中）观察下列分解因式的过程：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（    ） A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形 C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形 47．（24-25八年级下·上海·期中）因式分解（直接写出答案） （1）_______． （2）_______． （3）_______． （4）_______． 48．（25-26八年级上·四川眉山·期中）我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法等方法．当不能直接运用以上方法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如： ， ． 根据上面的方法因式分解： (1)； (2)． 【易错必刷十三 因式分解新定义运算】 49．（25-26八年级下·江苏常州·月考）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 50．（24-25八年级上·山东淄博·期中）将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（    ） A． B． C． D． 51．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___． 52．（24-25八年级上·四川眉山·期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则求的值； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【易错必刷十四 因式分解的应用】 53．（25-26八年级上·江苏南通·期末）多项式有一个因式是，则的值是（    ） A． B． C． D． 54．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图是一个由4个完全相同的小长方形（长为，宽为）拼成的大正方形，下列是表示阴影部分的面积，且因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 55．（25-26八年级上·北京·月考）已知，，，则______． 56．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上材料提供的方法，解答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提公因式法        B．公式法    C．换元法 (2)老师说，该同学因式分解的结果不彻底，请你写出因式分解的最后结果：_________． (3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 因式分解章末易错必刷题型专训（56题14个考点） 【易错必刷一 判断是否是因式分解】 1．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）下列从左到右的变形，是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟记因式分解的定义是解题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、右边为，是多项式，不是积的形式； B、右边为，是差的形式，不是积的形式； C、右边为，是积的形式，等式也成立，因此是分解因式的变形． D、右边为，是平方差形式，不是积的形式； 故选：C． 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①②都是因式分解 B．①②都是整式的乘法 C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解与整式的乘法；因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式的乘法是将整式的积化为多项式．对于①，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式的乘法；对于②，左边是多项式，右边是积的形式，属于因式分解． 【详解】解：对于①：左边为，是整式的积，右边为，是多项式，从左到右是整式的乘法． 对于②：左边为，是多项式，右边为，是整式的积，从左到右是因式分解． ①是整式的乘法，②是因式分解， 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列各式从左到右是因式分解的是_______． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 4．（24-25八年级下·江苏常州·课堂例题）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【答案】（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，据此求解即可． 【详解】（1）左边不是多项式，不是因式分解； （2）从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； （3）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （4）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （5）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （6）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解． ∴（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【易错必刷二 已知因式分解的结果求参数】 5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知多项式分解因式为，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解：由多项式分解因式为，得 ． ，， 故选：D． 6．（2025八年级·江苏常州·模拟预测）若多项式因式分解得，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法运算．根据因式分解的定义，列出等式，利用等式性质分别求出m和n的值，再求解即可． 【详解】解：由已知， 故可得，， ∴，， ∴， 故选：D 7．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如果，那么的值为_______． 【答案】 【分析】将原式展开，根据对应项系数相等列式即可求出m、n的值，即可求解． 【详解】解：原式可化为x2+mx-15=x2+（3+n）x+3n， ∴， 解得， ∴nm=（-5）-2=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，因式分解与多项式的乘法是互为逆运算的性质，掌握因式分解-十字相乘法，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）是解本题的关键． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【答案】(1)4 (2)另一个因式为，b值为1 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系： （1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴另一个因式为，b值为1． 【易错必刷三 公因式】 9．（24-25八年级上·山东泰安·期中）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公因式，根据系数的最大公约数和相同字母的最低指数求解即可，掌握公因式的含义是解题的关键． 【详解】解：多顶式中，各项系数的最大公约数是，各项都含有的相同字母是，字母的指数最低是，字母的指数最低是， ∴它的公因式是， 故选：． 10．（24-25八年级下·广西来宾·月考）整式，下列结论：①A，B的公因式为；②A，B的公因式为．判断正确的是（    ） A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，公因式的定义；根据提公因式法，公因式的定义，判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴A，B的公因式为， 故选：B． 11．（24-25八年级下·江苏南京·单元测试）将多项式分解因式，应提取的公因式是_________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握提公因式法因式分解是解题关键．各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，提公因式的方法为：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑．公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数．据此即可获得答案． 【详解】解：， 所以，将多项式分解因式，应提取的公因式是． 故答案为：． 12．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）找出的公因式． 【答案】 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 【详解】解：将看成一个整体， 所以的公因式为． 【易错必刷四 提公因式法分解因式】 13．（25-26八年级下·江苏常州·随堂练习）下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 根据提公因式法因式分解的方法逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原计算错误，符合题意； D、，正确，不符合题意． 故选：C． 14．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可．熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：甲同学：∵ 原式 ， ∴ 正确； 乙同学：原式 ， ∴ 正确． 故甲乙均对． 故选：C． 15．（24-25八年级下·河北保定·期末）和的公因式为______________． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解及公因式定义，熟记公因式的定义是解题的关键． 先将两个多项式因式分解，然后根据公因式定义：每个单项式中都有的因式，即可得到答案． 【详解】解：，， ∴和的公因式为， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）利用因式分解进行计算： (1)； (2)． 【答案】(1)260 (2)2009 【分析】本题主要考查了运用提取公因式法分解因式、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用提取公因式是解题的关键． （1）先把39分解成，然后提取公因式13，再进行计算求值即可； （2）先提取公因式，然后再运用有理数乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【易错必刷五 判断能否用公式法分解因式】 17．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）下列多项式不能用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的结构逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 能用完全平方公式因式分解，故该选项不符合题意；     B. ，能用完全平方公式因式分解，故该选项不符合题意； C. ，平方项异号，不能用完全平方公式因式分解，故该选项符合题意；     D. ，能用完全平方公式因式分解，故该选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键． 18．（24-25八年级上·山东泰安·期中）下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的因式分解．A、B选项考虑利用完全平方公式分解，C、D选项考虑利用平方差公式分解． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不是平方差的形式，不能运用公式法因式分解，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 19．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列多项式：①，②，③，④能用公式法因式分解的有个（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公式法因式分解的方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：，符合题意； ，符合题意； ，符合题意； ，不能用公式法进行因式分解，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查公式法因式分解．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键． 20．（24-25八年级下·江苏南京·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式4，再应用完全平方公式进行因式分解即可得出答案； （2）应用平方差公式进行求解即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法与公式法进行求解是解决本题的关键． 【易错必刷六 平方差公式分解因式】 21．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用．根据平方差公式，解答即可． 【详解】解：A．，为两平方项相加，无法用平方差公式分解，故本选项不符合题意； B．，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； C．，符合平方差公式，故本选项符合题意； D．，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； 故选：C． 22．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）请你估计一下的值应该最接近于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，利用平方差公式分解分子中的每一项，通过约分简化表达式即可得到答案． 【详解】解： ， 故选；D． 23．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）规律探究题计算：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式．先利用平方差公式分解，再计算即可得到结果． 【详解】解： 故答案为： 24．（25-26八年级下·江苏常州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用多项式乘多项式进行展开，再合并同类项，最后运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）运用完全平方公式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【易错必刷七 完全平方公式分解因式】 25．（25-26八年级下·江苏常州·周测）下列各式能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，完全平方式：即两数的平方和与这两数积的两倍的和或差。判断时先看是否有两数的平方和，再看是否有这两数的积的两倍的和或差即可。根据完全平方公式特点，即可判断出答案． 【详解】解：、两数的平方和为：，两数积的两倍的和或差为：，故原式不能用完全平方公式，选项不符合题意； 、先把多项式变形为：，没有两数的平方和，故原式不能用完全平方公式，选项不符合题意； 、两数的平方和为：，两数积的两倍的和或差为：，故原式不能用完全平方公式，选项不符合题意； 、先把多项式变形为：，两数的平方和为：，两数积的两倍的和或差为：，故原式能用完全平方公式，选项符合题意． 故选：． 26．（24-25八年级下·四川巴中·期中）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可得解． 【详解】解：∵可以用完全平方式来分解因式， ， 即， ，解得或． 故选：D ． 27．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，该表达式符合完全平方公式的形式，因此可转化为两数和的平方． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为 4. 28．（2026八年级下·江苏常州·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）直接利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接利用完全平方公式分解因式即可； （4）直接利用完全平方公式分解因式即可； （5）直接利用完全平方公式分解因式即可； （6）直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【易错必刷八 综合运用公式法分解因式】 29．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）下列多项式能因式分解的是（    ） A．x2﹣y B．x2+1 C．x2+y+y2 D．x2﹣2xy+y2 【答案】D 【分析】直接利用完全平方公式或平方差公式分解因式进而得出答案． 【详解】解：A、x2﹣y，无法分解因式，故此选项不合题意； B、x2+1，无法分解因式，故此选项不合题意； C、x2+y+y2，无法分解因式，故此选项不合题意； D、x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 30．（24-25八年级上·湖北随州·期末）在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答． 【详解】a2-6ab+5b2 =a2-6ab+9b2-4b2 =(a-3b)2-(2b)2 =(a-3b+2b)(a-3b-2b) =(a-b)(a-5b)； 故选：D． 【点睛】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 31．（24-25八年级上·山东济宁·期末）分解因式：________________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键． 32．（24-25八年级下·江苏常州·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）用提公因式法分解因式即可； （4）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 【易错必刷九 综合提公因式和公式法分解因式】 33．（24-25八年级下·江苏常州·期末）对进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键． 先提取公因式a，然后再运用完全平方公式分解即可． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 34．（25-26八年级上·河北邢台·期末）淇淇的因式分解为：，被覆盖处应为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的实际运用．熟悉运用提取公因式，利用公式法进行因式分解，是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解：因式分解， 提取公因式，得：， 根据平方差公式因式分解，得：． 故选：． 35．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）分解因式： ___________（要求因式任意一项系数都是有理数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．先提公因式将原式变为，然后分别用完全平方公式和平方差公式，分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 36．（25-26八年级上·山东淄博·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）直接利用平方差公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再由完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： 【易错必刷十 因式分解在有理数简算中的应用】 37．（2025·河北唐山·三模）与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 38．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 【详解】原式 ， 故选：C． 39．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）分解因式：________________________． 分解因式：________________________． 计算：的结果是________________________． 【答案】 404600 【分析】观察式子形式，采取合适的因式分解方法即可． 【详解】解：； ； ； 故答案为：；；404600． 【点睛】本题考查了因式分解的相关方法：提公因式法、公式法等，掌握相关方法是解题关键． 40．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． (1)上述分解因式的方法是_______； (2)分解因式的结果是_______； (3)利用（2）中结论计算：． 【答案】(1)提公因式法 (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想． （1）根据其式子特点直接分析求解，即可解题； （2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果； （3）由（2）中得到的规律，变形求解，即可解题． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）解： ， ， 同理可得： ， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【易错必刷十一 十字相乘法】 41．（24-25八年级上·山东东营·期中）若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（   ） A．6 B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握十字相乘的方法分解因式是解本题的关键． 直接利用十字相乘解题即可． 【详解】解：∵把多项式分解因式后含有因式， ∴， ∴， 故选：D． 42．（24-25八年级上·福建三明·期中）分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解，先运用多项式乘多项式求得，的值，再对原式进行因式分解． 【详解】解：李想同学看错了a的值，分解的结果是，但是正确，则； 王敏同学看错了b的值，分解的结果是，但是正确，则， ∴， 故选：B． 43．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式． 这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”． 为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分成两列（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行因式分解． 则代数式因式分解的结果为_______． 【答案】 【分析】本题考查了用十字相乘法分解因式，理解题意是关键．仿照题中分解方法进行即可． 【详解】解： ． 故答案为： 44．（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）综合实践． 通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步领悟代数推理在数学学习中的重要地位． 我们发现：，反过来，多项式可以分解为，利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解． (1)多项式因式分解结果为__________； (2)多项式因式分解结果为__________； (3)我们知道：，可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请对多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解． （1）仿照题干因式分解即可； （2）设，仿照题干因式分解即可； （3）根据将原多项式化为，整理得到，进而求解即可 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：设，则原式， 故答案为：； （3）解：∵ ∴ 【易错必刷十二 分组分解法】 45．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 46．（24-25八年级上·山东烟台·期中）观察下列分解因式的过程：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（    ） A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形 C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形 【答案】A 【分析】先利用分组分解法进行因式分解，然后求解即可得出a、b、c之间的关系，根据构成三角形三边的要求，即可得出． 【详解】解：， ， ， ∴或， 当时，围成一个等腰三角形； 当时，不能围成三角形； 故选：A． 【点睛】题目主要考查利用分解因式求解、构成三角形的三边关系，理解题中例题的分组分解因式法是解题关键． 47．（24-25八年级下·上海·期中）因式分解（直接写出答案） （1）_______． （2）_______． （3）_______． （4）_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）运用平方差公式进行因式分解； （2）运用完全平方公式进行因式分解； （3）先提公因式后，运用十字相乘法进行因式分解； （4）先分组运用完全平方公式分解后，再运用平方差公式金色因式分解． 【详解】解：（1）． 故答案为： （2）． 故答案为： （3）． 故答案为： （4）． 故答案为： 48．（25-26八年级上·四川眉山·期中）我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法等方法．当不能直接运用以上方法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如： ， ． 根据上面的方法因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法，掌握分组分解法的原则是使因式分解先在组内，再在组间进行是正确解答的关键． （1）将前两项为一组，后两项为一组，先在组内提公因式，再在组间提公因式即可； （2）通过添加项与，再进行分组进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【易错必刷十三 因式分解新定义运算】 49．（25-26八年级下·江苏常州·月考）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式法因式分解以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且， 、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为正整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是②③． 故选：C． 50．（24-25八年级上·山东淄博·期中）将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，能够根据所给的单项式画出几何图形，画出图形，根据图形因式分解即可，利用等积法进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：如图： ∴， 故选：C． 51．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___． 【答案】13 【分析】本题考查了新定义——“完美数”，熟练掌握完全平方公式的应用，是解题的关键． 利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完美数”的定义得，从而得到k的值． 【详解】解： ， ∵S为“完美数”， ∴， ∴， 故答案为：13． 52．（24-25八年级上·四川眉山·期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则求的值； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式把左边分解因式，再利用非负数的性质可得答案； （4）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； （4）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数． 【易错必刷十四 因式分解的应用】 53．（25-26八年级上·江苏南通·期末）多项式有一个因式是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式的性质，若是多项式的因式，则当时，该多项式的值为，代入计算即可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵多项式有一个因式是， ∴当时，， 将代入得：， 即， ∴， 故选：． 54．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图是一个由4个完全相同的小长方形（长为，宽为）拼成的大正方形，下列是表示阴影部分的面积，且因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，以及阴影部分为边长为的小正方形，列出等式即可． 【详解】解：由题意，， ∴ 整理，得； 故选C． 55．（25-26八年级上·北京·月考）已知，，，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．通过计算，和的值，利用进行求解． 【详解】解：，，， ，，， ， 故答案为：3． 56．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上材料提供的方法，解答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提公因式法        B．公式法    C．换元法 (2)老师说，该同学因式分解的结果不彻底，请你写出因式分解的最后结果：_________． (3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握换元法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）根据因式分解的方法即可得出答案； （2）利用公式法将因式分解不彻底的结果进行因式分解即可； （3）仿照题意进行因式分解即可求解． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的公式法； 故选：B． （2）解：设， 原式 ， ∴因式分解的最后结果为． 故答案为：． （3）解：设， 原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $