第五章 导数与函数的单调性讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦“导数与函数的单调性”核心知识点，系统梳理导数正负与函数单调增减的对应关系，明确利用导数判断单调性的步骤（定义域、求零点、划分区间），整合参数问题的恒成立与有解转化原则，以及导数绝对值与图像陡峭程度的关联，搭建导数概念到应用的学习支架。 该资料通过“例+变式”分层题型设计，从不含参单调性到含参分类讨论，培养学生数学思维。结合图像题引导学生用数学眼光观察函数与导函数关系，练习题覆盖选择、填空、解答，助力学生用数学语言表达解题过程。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺。

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 高二 选修 第5章 导数及其应用 （二）导数与函数的单调性 知识点1：函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系 f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递____ f′(x)<0 单调递____ 知识点2：利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点3：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行： （1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立； （2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立； （3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点； （4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立； （5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立. · 不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则. 知识点4：函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 题型一：利用导数求函数的单调性（不含参） 例1.函数在上的单调减区间为（ ） A． B． C． D． 变式1-1.已知函数f（x）与其导函数f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的单调递减区间为（　　） A．（0，1）和（4，+∞） B．（0，2） C．（﹣∞，0）和（1，4） D．（0，3） 变式1-2.若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D．， 题型二：由函数的单调性求参数 例2.若在上是减函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式2-1.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式2-2.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型三：函数与导函数图像的关系 例3.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是图中的（ ） A．B．C． D． 变式3.设函数的图象如图所示，则导函数的图象可能为（ ） A．B．C． D． 题型四：利用单调性比较大小 例4.已知函数，则的大小关系是 A． B． C． D． 变式4-1.为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，则（ ） A．， B．， C．， D．， 变式4-2.定义在R上的偶函数，其导函数，当x≥0时，恒有，若，则不等式的解集为（　　） A．(,1) B．(∞,)∪(1,+∞) C．(,+∞) D．(∞,) 题型五：含参分类讨论函数的单调性 例5.已知函数，.讨论函数的单调区间. 变式5.已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求整数k的最大值. 1.已知函数的导函数有下列信息： ①时，；②时，或；③时，或． 则函数的大致图像是图中的（ ）． A．B．C． D． 2.已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 3.设分别是定义在上的偶函数和奇函数，为其导函数．当时，且．则使得不等式成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5.（多选题）已知函数，则（ ） A．在定义域内单调性不变 B．在定义域内有零点 C．的导数在定义域内单调性不变 D．为奇函数 6.（多选题）已知函数，，是其导函数，恒有，则（ ） A． B． C． D． 7.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是____． 8.函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝，则不等式≤0的解集为________. 9.已知奇函数的导函数为，，若，则实数的取值范围为______. 10.求下列函数的单调区间： （1）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1； （2）f(x)＝sin x－x(0<x<π)． 11.已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 高二 选修 第5章 导数及其应用 （二）导数与函数的单调性 知识点1：函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系 f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递____ f′(x)<0 单调递____ 知识点2：利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点3：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行： （1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立； （2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立； （3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点； （4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立； （5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立. · 不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则. 知识点4：函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 题型一：利用导数求函数的单调性（不含参） 例1.函数在上的单调减区间为（ ） A． B． C． D． 求导，令导函数小于零，解不等式即可【详解】解：由已知令，且 则，即单调减区间为故选：C. 变式1-1.已知函数f（x）与其导函数f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的单调递减区间为（　　） A．（0，1）和（4，+∞） B．（0，2） C．（﹣∞，0）和（1，4） D．（0，3） 【详解】根据导函数和函数的关系可判断两函数如图：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，所以，故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，故选：A 变式1-2.若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D．， 先利用导数求出函数在处的切线方程，然后将点代入切线方程，即可求出的值，最后利用导数的符号大于零即可求解．【详解】由题意得，所以，且．故函数在,处的切线为：，将点代入得．则，由得且．故的单调递减区间为，．故选：D． 题型二：由函数的单调性求参数 例2.若在上是减函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】由题知，，.若在上是减函数，则在上恒成立，由得，，当时，，所以.故选：C. 变式2-1.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】，当，解得：，由条件可知，所以 ，解得：.故选：D 变式2-2.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】若在区间内存在单调递增区间，则有解， 故 令 在递增 , 故 故选：D 题型三：函数与导函数图像的关系 例3.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是图中的（ ） A．B．C． D． 【详解】解：由函数的图象的增减变化趋势，判断函数取值的正、负情况如下表： x 递减 递增 递减 所以当时，函数的图象在x轴下方；当时，函数的图象在x轴上方；当时，函数的图象在x轴下方．故选：A. 变式3.设函数的图象如图所示，则导函数的图象可能为（ C ） A．B．C． D． 题型四：利用单调性比较大小 例4.已知函数，则的大小关系是（ A ） A． B． C． D． 变式4-1.为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，则（B） A．， B．， C．， D．， 变式4-2.定义在R上的偶函数，其导函数，当x≥0时，恒有，若，则不等式的解集为（　　） A．(,1) B．(∞,)∪(1,+∞) C．(,+∞) D．(∞,) 【详解】当时，，又，∴，即在上单调递减．∵是定义在R上的偶函数，∴是定义在R上的偶函数，由不等式，则有， ∴，解得：．∴不等式的解集为．故选：A 题型五：含参分类讨论函数的单调性 例5.已知函数，.讨论函数的单调区间. 【分析】求导可得，对和的大小进行分类讨论可得函数的单调区间. 【详解】函数定义域是，， ①当时，即时，当或时，；当时，. 此时，的增区间是和，减区间是，②当时，对任意的恒成立，此时，函数增区间，无减区间； ③当时，即时，当或时，；当时，. 此时，函数的增区间是和，减区间是.综上，当时，函数的增区间是和，减区间是；当时，函数的增区间是； 当时，函数的增区间是和，减区间是； 变式5.已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求整数k的最大值. 【分析】（1）由得.当时，，故在上单调递增；当时，令，解得.故在上单调递减，在上单调递增；当时，，故在上单调递减. （2）原不等式等价于对于恒成立.令，则.令，则，所以在上单调递增.又，，所以存在，使得， 且在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，所以，所以，经验证时，恒成立，所以整数k的最大值为1. 1.已知函数的导函数有下列信息： ①时，；②时，或；③时，或． 则函数的大致图像是图中的（ C ）． A． B． C． D． 2.已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ D ） A． B． C． D． 求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在上有交点，即求. 【详解】函数的定义域为，，令，若在上不单调，则函数与x轴在上有交点，又，则，解得，故在上不单调的一个充分不必要条件是．故选：D． 3.设分别是定义在上的偶函数和奇函数，为其导函数．当时，且．则使得不等式成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 构造，由题设条件判断、上的单调性，根据等价于，结合单调性即可求的范围.【详解】令，当时，， ∴，单调递减，∵分别是定义在上的偶函数和奇函数， ∴，故在上是奇函数， ∴时，单调递减，由题设知：要使成立，即成立， 当时，有；当时，有；∴. 故选：D 4.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】由，得， 由在上单调递减，得在上恒成立，即在上恒成立.令，在上，∴在上单调递减，即， ∴，故的取值范围.故选：. 5.（多选）已知函数，则（ ） A．在定义域内单调性不变 B．在定义域内有零点 C．的导数在定义域内单调性不变 D．为奇函数 AC【详解】，其中， 令，则，当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数，故时，，时，， 故时，，所以在，上均为增函数，故A正确， 设，，令，则，当时，，故在，上均为增函数， 故当时，；当时，，故当时，；当时，，故在，上均为增函数，故C正确.令，故（舍），故B错误.，故，故不是奇函数，故D错误.故选：AC. 6.（多选）已知函数，，是其导函数，恒有，则（ ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，，又，所以． 构造函数，，则，所以在上为增函数，因为，所以，所以，即，故A正确；因为，所以，所以，即，故B错误； 因为，所以，所以，即，故C错误；因为，所以，所以，即，故D正确，故选：AD. 7.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是____． ， 【详解】解：在上是增函数，， ，由基本不等式得：（当且仅当，即时取“”， ，，解得，故答案为：，， 8.函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝，则不等式≤0的解集为________. 解：根据函数图像可知，函数在和上递减，所以不等式≤0的解集为.故答案为：. 9.已知奇函数的导函数为，，若，则实数的取值范围为______. 【详解】因为时，，所以在上单调递增.又是奇函数，由，得，所以，解得， 所以实数的取值范围为.故答案为： 10.求下列函数的单调区间： （1）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1； （2）f(x)＝sin x－x(0<x<π)． （1）增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2) ；（2）单调递减区间为(0，π) ． 【详解】解:（1）＝6x2＋6x－36．由>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2； 由<0解得 －3<x<2．故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2)． （2）＝cos x－1．因为0<x<π，所以cos x－1<0恒成立，故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)，无增区间． 11.已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围． 【详解】（1）当a＝﹣3时，函数f（x）＝x﹣﹣4lnx（x＞0）， ＝1+﹣＝＝，由＞0，可得0＜x＜1或x＞3， 由＜0，可得1＜x＜3，所以f（x）的单调递增区间为（0，1），（3，+∞）；递减区间为（1，3）； （2）＝1﹣﹣＝，x＞0，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增， 即为≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即a≤x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4在区间（0，+∞）上恒成立， 由（x2﹣4x）min＝﹣4，得a≤﹣4， 即a∈. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $