微突破1 ω的值（范围）问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word

微突破1　ω的值（范围）问题 【备考指南】　在三角函数的图象和性质中，求ω的值（范围）问题是近几年高考的一个热点内容，主要考查由三角函数的单调性、最值、零点等求ω的值（范围），难度中等. 1.若函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［，］上单调递减，则ω的取值范围是（　　） A.［0，］ B.［0，］ C.［，3］ D.［，3］ 1.若已知y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在区间[x1，x2]上单调递增，则[ωx1＋φ，ωx2＋φ]⊆［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z. 解析：D　令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ（k∈Z），得＋≤x≤＋，k∈Z，因为f（x）在［，］上单调递减，所以得6k＋≤ω≤4k＋3，k∈Z.又ω＞0，所以k≥0，又6k＋≤4k＋3，所以k＝0.从而≤ω≤3，故选D. 2.已知直线x＝，x＝π是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，＜φ＜）图象上两条相邻的对称轴，则φ＝（　　） A.π B. C. D. 2.利用最小正周期T，根据三角函数图象的两对称中心的距离、对称中心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，建立关于T，ω，φ的方程求解. 解析：A　由题意得π－＝＝，解得ω＝，故f（x）＝sin（x＋φ），则当x＝时，×＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ（k∈Z），又＜φ＜，故φ＝π.故选A. 3.已知函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0）在［0，］上的值域为［－，1］，则ω的取值范围为（　　） A.［，］ B.［，］ C.［，］ D.［，］ 3.由三角函数的最值（值域）求ω的值（范围），主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解. 解析：C　当x∈［0，］时，ωx－∈［－，－］.由f（x）在［0，］上的值域为［－，1］，知≤－≤，解得≤ω≤，故实数ω的取值范围是［，］. 4.设函数f（x）＝sin ωx，若函数f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是（　　） A.（1，2） B.[1，2） C.（2，3） D.[2，3） 4.已知函数的零点求ω的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围. 解析：D　若函数f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则ωπ∈[2π，3π），故2≤ω＜3. 【思维建模】　求ω的值（范围）问题的思路 【例】　（1）（2025·湖南九校联盟第二次联考）已知函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx，若沿x轴方向平移f（x）的图象，总能保证平移后的曲线与直线y＝1在区间[0，π]上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（　　） A.（1，） B.（2，） C.［1，） D.［2，） 解析：D　由f（x）＝sin ωx＋cos ωx可得f（x）＝2sin（ωx＋），若沿x轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数为g（x）＝2sin（ωx＋φ）.令g（x）＝1，即sin（ωx＋φ）＝，x∈[0，π]，取z＝ωx＋φ，则z∈[φ，ωπ＋φ].依题意知，sin z＝在[φ，ωπ＋φ]上至少有2解，至多有3解，则须使区间[φ，ωπ＋φ]的长度在2π到之间，即2π≤ωπ＜，解得2≤ω＜. 【瓶颈突破】　（1）对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，则需要确定含有k个零点的区间长度； （2）若在区间上至多含有k个零点，则需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值. （2）（2025·北京东城一模）已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0），若f（x）的最小正周期为π，则ω＝　　2　　；若存在x1，x2∈[π，2π]，使得｜f（x1）－f（x2）｜＝2，则ω的最小值为　　　　. 解析：因为函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝2，因为f（x）＝sin ωx（ω＞0）∈[－1，1]，又｜f（x1）－f（x2）｜＝2，所以f（x1），f（x2）为函数的最大值或最小值，要使ω最小，则最大值与最小值应在同一个周期内，由x∈[π，2π]，则ωx∈[ωπ，2ωπ]，则或解得≤ω≤，所以ω的最小值为. 【训练】　（1）已知ω＞0，函数f（x）＝cos的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有（　　） A.最小值2 B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1 解析：A　注意正、余弦型函数的对称中心与对称轴的最短距离为，依题意，可得－≥.将T＝代入上式，得ω≥2，故选A. （2）〔多选〕（2025·广东江门一模）已知函数f（x）＝2sin（2ωx＋）（ω＞0），则下列结论正确的是（　　） A.若f（x）相邻两条对称轴距离为，则ω＝2 B.当ω＝1，x∈［0，］时，f（x）的值域为[－，2] C.当ω＝1时，f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos（2x＋）的图象 D.若f（x）在区间［0，］上有且仅有两个零点，则5≤ω＜8 解析：BD　对于A，若f（x）相邻两条对称轴的距离为，则T＝2×＝π＝，故ω＝1，A错误；对于B，当ω＝1时，f（x）＝2sin（2x＋），当x∈［0，］时，2x＋∈［，］，则f（x）的值域为[－，2]，B正确；对于C，当ω＝1时，f（x）＝2sin（2x＋），f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝f（x＋）＝2sin［2（x＋）＋］＝2sin（2x＋）＝2cos（2x＋）的图象，C错误；对于D，当x∈［0，］时，2ωx＋∈［，＋］，若f（x）在区间［0，］上有且仅有两个零点，则2π≤＋＜3π，解得5≤ω＜8，故D正确. （3）若直线x＝是曲线y＝sin（ωx－）（ω＞0）的一条对称轴，且函数y＝sin（ωx－）在区间［0，］上不单调，则ω的最小值为　11　. 解析：因为直线x＝是曲线y＝sin（ωx－）（ω＞0）的一条对称轴，则ω－＝kπ＋，k∈Z，即ω＝4k＋3，k∈Z，由－≤ωx－≤，得－≤x≤，则函数y＝sin（ωx－）在［－，］上单调递增，而函数y＝sin（ωx－）在区间［0，］上不单调，则＜，解得ω＞9，所以ω的最小值为11. 【瓶颈突破】　根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数y＝sin（ωx－）含有数0的单调区间，列不等式求解即可. （时间：30分钟，满分：45分） 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 1.（2025·河南郑州模拟）若x1＝，x2＝是函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（　　） A.2 B. C.1 D. 解析：A　由题意知，f（x）＝sin ωx（ω＞0）的最小正周期T＝＝2（－）＝π，得ω＝2.故选A. 2.如图，函数f（x）＝2tan（ωx＋）（ω＞0）的部分图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且△ABC的面积为，则ω＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　根据题意，当x＝0时，f（0）＝2tan ＝2，又因为△ABC的面积为，所以S△ABC＝×2×AB＝，则AB＝，所以函数f（x）的周期为，可得周期T＝＝，解得ω＝2，故选B. 3.已知函数f（x）＝2cos（ωx－φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，在（0，）上单调递增，且∀x∈（0，），f（x）＜2，则ω的取值范围是（　　） A.［1，］ B.（1，2] C.（0，1] D.（0，2] 解析：D　因为函数f（x）为奇函数，所以φ＝kπ＋（k∈Z），由0＜φ＜π，得φ＝，则f（x）＝2sin ωx（ω＞0）.又函数f（x）在（0，）上单调递增，且∀x∈（0，），f（x）＜2，所以0＜ω≤，解得0＜ω≤2.故选D. 4.（2025·安徽安庆二模）已知函数f（x）＝sin（2ωx＋）（ω＞0）的图象关于点（，0）对称，且f（x）在（0，）上没有最小值，则ω的值为（　　） A. B. C. D. 解析：B　因为f（x）的图象关于点（，0）对称，所以f（）＝sin（＋）＝0，故＋＝kπ，k∈Z，即ω＝2k－，k ∈Z，当2ωx＋＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋，k∈Z时，函数f（x）取得最小值，因为f（x）在（0，）上没有最小值，所以≥，即ω≤，由ω＝2k－≤，解得k≤，故k＝1，得ω＝.故选B. 5.已知函数f（x）＝2cos（ωx－）＋1（ω＞0）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A.（0，］ B.（，］ C.（，］ D.［，＋∞） 解析：A　因为x∈（0，2π），ω＞0，所以ωx－∈（－，2ωπ－），令t＝ωx－，则t∈（－，2ωπ－），作出y＝2cos t＋1的部分图象如图所示，则f（x）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称轴等价于y＝2cos t＋1的图象在区间（－，2ωπ－）内至多存在3条对称轴，则2ωπ－∈（－，3π］，解得ω∈（0，］.故选A. 6.已知函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx（ω＞0），若∃x0∈［－，］使得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，则ω的最小值为（　　） A. B. C. D.1 解析：C　f（x）＝sin ωx＋cos ωx＝sin（ωx＋），因为∃x0∈［－，］使得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，所以函数f（x）在［－，］上存在最值，即函数f（x）在［－，］上存在对称轴，令ωx＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，因为－≤x≤，所以－≤＋≤，即－≤＋≤，则k∈Z，又ω＞0，故k＝0时，ω取最小值为. 二、填空题（每小题5分，共15分） 7.已知函数f（x）＝cos（ωx＋）＋cos（ωx－）（ω＞0）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围为　　［，］　　. 解析：因为f（x）＝cos（ωx＋）＋cos（ωx－）＝cos（ωx＋）＋sin（ωx＋）＝2cos（ωx＋－）＝2cos（ωx＋），令π＋2kπ≤ωx＋≤2π＋2kπ，k∈Z，因为ω＞0，所以≤x≤，k∈Z，因为f（x）在（，π）上单调递增，所以解得＋4k≤ω≤＋2k.由＋4k≤＋2k，得k≤，又k∈Z且ω＞0，所以k＝0，故≤ω≤. 8.已知f（x）＝sin ωx（ω∈N*），若在区间［0，］上存在两个不相等的实数a，b，满足f（a）＋f（b）＝2，则ω的值可以为　5（答案不唯一，大于等于5的正整数均可）　.（填一个值即可） 解析：因为0≤x≤，所以0≤ωx≤，又f（x）＝sin ωx（ω∈N*）在区间［0，］上存在两个不相等的实数a，b，满足f（a）＋f（b）＝2，所以≥，解得ω≥5（ω∈N*），所以ω的值可以为5. 9.已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx（ω＞0），若集合{x∈（0，π）｜f（x）＝－1}含有4个元素，则实数ω的取值范围是　（，］　. 解析：函数f（x）＝sin ωx－cos ωx＝2sin（ωx－），令2sin（ωx－）＝－1，得ωx－＝－＋2kπ或ωx－＝＋2kπ（k∈Z），所以x＝＋或x＝＋（k∈Z），设直线y＝－1与y＝f（x）在（0，＋∞）上从左到右的第四个交点为A，第五个交点为B，则xA＝＋，xB＝＋.由于方程f（x）＝－1在（0，π）上有且只有四个实数根，则xA＜π≤xB，即＋＜π≤＋，解得＜ω≤. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $