微突破1 切线与公切线问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

微突破1　切线与公切线问题 备考指南 曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点，一般单独考 查，难度较小，也可与函数的单调性、极值、最值综合考查，难度较大. 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 一 典例·讲解 典例精析 强技提能 二 课后·训练 巩固强化 综合测评 三 目录 / CONTENTS 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 目 录 1. （2025·广东湛江二模）已知函数f（x）＝ex＋2x，则曲线y＝f（x） 在点（0，f（0））处的切线方程为（　　） A. y＝2x＋1 B. y＝3x＋1 C. y＝2x D. y＝3x 曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）. √ 解析： 　由f（x）＝ex＋2x，得f'（x）＝ex＋2，则f（0）＝1，f'（0） ＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝3x＋1. 故选B. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. 已知曲线y＝ln x与曲线y＝a（x－ ）在交点（1，0）处有相同的切 线，则a＝（　　） A. 1 B. √ 若两曲线共切点，则切 线为两曲线的公切线. 解析： 　因为（ln x）'＝ ，［a（x－ ）］'＝a（1＋ ），曲线y＝ln x与曲线y＝a（x－ ）在交点（1，0）处有相同的切线，所以2a＝1，a ＝ .故选B. C. － D. －1 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. （2025·全国Ⅰ卷12题）若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切 线，则a＝ ⁠. 若直线是曲线的切线，则切 点既在切线上又在曲线上. 解析：y'＝ex＋1，又切线斜率为2，则ex＋1＝2，得切点横坐标为x＝0， 又切点在直线y＝2x＋5上，则切点坐标为（0，5），又切点也在曲线上， 代入得a＝4. 4 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. 曲线y＝ex－2＋1过坐标原点的切线方程为 ⁠. y＝x 求切线时要注意是过点处的切线还是在点处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点. 解析：由y＝ex－2＋1，可得y'＝ex－2，设切点坐标为（t，et－2＋1），可得 切线方程为y－（et－2＋1）＝et－2（x－t），把原点（0，0）代入切线方 程，可得0－（et－2＋1）＝et－2（0－t），即（t－1）et－2＝1，解得t＝ 2，所以切线方程为y－（e0＋1）＝e0（x－2），即y＝x. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【思维建模】　求曲线y＝f（x）的切线方程的三种类型及方法 （1）已知切点P（x0，f（x0）），求切线方程：求出切线的斜率f' （x0），由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率k，求切线方程：设切点为P（x0，f（x0）），通过 方程k＝f'（x0）解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点（非切点），求切线方程：设切点为P（x0，f （x0）），利用导数求得切线斜率f'（x0），再由斜率公式求得切线斜率， 列方程（组）解得x0，再由点斜式或两点式写出方程. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 典例·讲解 典例精析 强技提能 目 录 【例】　（1）（2024·全国甲卷理6题）设函数f（x）＝ ，则曲线 y＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 （　　） A. B. √ C. D. 解析：f'（x）＝ ，所以f'（0）＝3， 所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0），即 3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1），（－ ，0），所 以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ×1× ＝ .故选A. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）（2025·辽宁省部分重点中学协作体考试）过原点且与曲线y＝x sin x 相切的直线有（　　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 √ 解析： 　设切点为（x0，x0 sin x0），因为曲线y＝x sin x，所以y'＝ sin x ＋x cos x，所以 ＝ sin x0＋x0 cos x0，所以x0 cos x0＝0，所以x0＝0或 cos x0＝0，当x0＝0时，k＝0，所以切线方程为y－0＝0（x－0），即y＝ 0；当x0＝ 时，k＝1，所以切线方程为y－0＝1（x－0），即y＝x；当 x0＝－ 时，k＝－1，所以切线方程为y－0＝－1（x－0），即y＝－x， 所以切线有3条.故选C. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）（2024·新高考Ⅰ卷13题）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也 是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝ ⁠. ln 2 【通性通法】　求两曲线不共切点的 公切线的一般思路 （1）分别设出两曲线的切点； （2）分别求两曲线的切线方程； （3）由公切线转化为两切线方程对 应项系数相同，然后求解即可. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'｜x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在 （0，1）处的切线方程为y＝2x＋1，由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝ ，设 切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a），由 两曲线有公切线得y' ＝ ＝2，解得x0＝－ ，则切点为（－ ， a＋ln ），由切点在直线y＝2x＋1上得，a＋ln ＝0，故a＝ln 2. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练】　（1）（2025·河南郑州一模）已知曲线f（x）＝x3－x＋3在点 P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为（　　） A. （1，3） B. （－1，3） C. （1，3）或（－1，3） D. （1，－3） √ 解析： 　设切点P（x0，y0），f'（x）＝3x2－1，又直线x＋2y－1＝0的 斜率为－ ，∴f'（x0）＝3 －1＝2，∴ ＝1，∴x0＝±1，又切点P （x0，y0）在y＝f（x）上，∴y0＝ －x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当 x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为（1，3）或（－1，3）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若直线l与曲线y＝ 和圆x2＋y2＝ 都相切，则直线l的方程为 （　　） A. y＝2x＋1 B. y＝2x＋ C. y＝ x＋1 D. y＝ x＋ √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则 ＝ 　①.设直线l与曲线y＝ 的切点坐标为（x0， ）（x0＞0）， 则y' ＝ ＝k　②， ＝kx0＋b　③.由②③可得b＝ ， 将b＝ ，k＝ 代入①得x0＝1或x0＝－ （舍去），所以k＝b＝ ，故直线l的方程为y＝ x＋ .故选D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）已知曲线f（x）＝x2－4x＋4，g（x）＝x－1，则f（x）和g（x） 的公切线的条数为（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 √ 【通性通法】　两曲线公切线条数的判断方法 （1）由两曲线公切线的几何特征，构建等量关系式f'（x1）＝g'（x2）＝ ； （2）解上述方程组，当无解时，两曲线不存在公切线；当有一解时，公切线只有一条；当有两个不同的解时，公切线有两条. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 设公切线与f（x）和g（x）分别相切于点（m，f（m））， （n，g（n）），f'（x）＝2x－4，g'（x）＝－x－2，g'（n）＝f'（m） ＝ ，解得m＝－ ＋2，代入化简得8n3－8n2＋1＝0，构 造函数h（x）＝8x3－8x2＋1，则h'（x）＝8x（3x－2），所以h（x） 在（－∞，0），（ ，＋∞）上单调递增，在（0， ）上单调递减，极大 值h（0）＞0，极小值h（ ）＜0，当x→－∞时，h（x）→－∞；当 x→＋∞时，h（x）→＋∞，故函数h（x）的图象和x轴有3个交点，方 程8n3－8n2＋1＝0有三个解，故公切线有3条. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 课后·训练 巩固强化 综合测评 （时间：30分钟，满分：46分） 目 录 一、单项选择题（每小题5分，共25分） 1. 已知函数f（x）＝2x，则函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切 线方程为（　　） A. x－y－1＝0 B. x－y＋1＝0 C. x·ln 2－y－1＝0 D. x·ln 2－y＋1＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ 解析： 　函数f（x）＝2x，求导得f'（x）＝2xln 2，则f'（0）＝ln 2，而 f（0）＝1，所以所求切线方程为y－1＝ln 2·（x－0），即x·ln 2－y＋1 ＝0. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. 若直线y＝kx与曲线y＝ln x相切，则k＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　设切点为（x0，ln x0），令f（x）＝ln x，则f'（x）＝ ，∴f' （x0）＝ ＝k，∴ 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. （2025·北京市第二中学二模）已知过点A（a，0）作曲线y＝（1－ x）ex的切线有且仅有2条，则a的取值范围为（　　） A. （－∞，－3） B. （1，＋∞） C. （－∞，－3）∪（1，＋∞） D. （－∞，－1）∪（3，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 设切点为（x0，（1－x0） ），由已知得y'＝－xex，则切线 斜率k＝－x0 ，切线方程为y－（1－x0） ＝－x0 （x－x0），直 线过点A（a，0），则－（1－x0） ＝－x0 （a－x0），化简得 －（a＋1）x0＋1＝0，切线有且仅有2条，即Δ＝（a＋1）2－4＞0，化简 得a2＋2a－3＞0，即（a＋3）·（a－1）＞0，解得a＜－3或a＞1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. 已知函数f（x）＝ex－ax＋b（a，b∈R），g（x）＝x2＋x，若这 两个函数的图象在公共点A（1，2）处有相同的切线，则a－b＝（　　） A. e－2 B. e＋2 C. e D. e2 √ 解析： 　因为f（x）＝ex－ax＋b（a，b∈R），g（x）＝x2＋x，所 以f'（x）＝ex－a，g'（x）＝2x＋1，因为f（x），g（x）在公共点A （1，2）处有相同的切线，所以 即 所以a －b＝e－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 5. 已知函数f（x）＝ln x与g（x）的图象关于直线y＝x对称，直线l与g （x），h（x）＝ex＋1－1的图象均相切，则l的倾斜角为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为函数f（x）＝ln x与g（x）的图象关于直线y＝x对称，所 以f（x）＝ln x与g（x）互为反函数，所以g（x）＝ex，则g'（x）＝ ex.由h（x）＝ex＋1－1，得h'（x）＝ex＋1，设直线l与函数g（x）＝ex 的图象的切点坐标为（x1， ），与函数h（x）＝ex＋1－1的图象的切点 坐标为（x2， －1），则直线l的斜率k＝ ＝ ，故x1＝x2＋ 1，显然x1≠x2，故k＝ ＝ ＝1，所以直线l的倾斜角为 .故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 二、多项选择题（6分） 6. 若过y轴上一点P（0，m）最多可作出n（n∈N*）条直线与函数f （x）＝xex的图象相切，则（　　） A. n可以取到3 B. m＋n＜3 C. 当n＝1时，m的取值范围是（－∞，－ ） D. 当n＝2时，m存在且唯一 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 设切点为（x0，x0 ），f'（x）＝（x ＋1）ex，则 ＝（x0＋1） ，所以－m＝ .令g（x）＝x2ex，则g'（x）＝（x2＋2x）·ex， 易得g（x）在（－∞，－2），（0，＋∞）上单调递 增，在（－2，0）上单调递减，极大值为g（－2）＝4e－2，极小值为g（0）＝0，当x→－∞时，g（x）→0，作出g（x）的图象如图所示，显然当m∈（－4e－2，0）时，g（x）＝－m有三个解，即有三条切线，n＝3；当m＝0时，g（x）＝－m有一个解，即有且仅有一条切线，n＝1；当m＞0时，g（x）＝－m无解，即不存在切线，不符合题意；当m＝－4e－2时，g（x）＝－m有两个解，即有两条切线，n＝2；当m＜－4e－2时，g（x）＝－m有一个解，即有一条切线，n＝1，所以A、B、D正确，C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 三、填空题（每小题5分，共15分） 7. 过点（－1，0）作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线方程为 ⁠ ⁠. 解析：y＝x3－x，y'＝3x2－1，设切点坐标为（x0， －x0），则切线斜 率为3 －1，得切线方程为y－（ －x0）＝（3 －1）（x－x0），代 入点（－1，0），得2 ＋3 －1＝0，即（x0＋1）2（2x0－1）＝0，解 得x0＝－1或x0＝ ，当x0＝－1时，切线方程为2x－y＋2＝0；当x0＝ 时，切线方程为x＋4y＋1＝0. 2x －y＋2＝0（或x＋4y＋1＝0） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 8. 已知直线l与曲线C1：y＝x2和C2：y＝－ 均相切，则该直线与两坐标 轴围成的三角形的面积为 ⁠. 解析：由已知得C1，C2的导函数分别为y'＝2x，y'＝ ，设C1，C2上的切 点分别为（x1，y1），（x2，y2），则有2x1＝ ＝ ＝ ，解得 故l：y＝4x－4，且直线l与坐标轴的交点坐标分别 为（1，0），（0，－4），围成的三角形面积为 ×1×4＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 9. （2025·山东青岛一模）已知函数f（x）＝｜ln x｜图象的两条切线相互 垂直，并分别交y轴于A，B两点，则｜AB｜＝ ⁠. 解析：设函数f（x）在点P（x1，f（x1））和Q （x2，f（x2））（x1＜x2）处的两条切线互相垂直，如 图，可得f（x）＝｜ln x｜的零点为1，故不妨设0＜x1 ＜1，x2＞1，则P（x1，－ln x1），Q（x2，ln x2），当 x∈（1，＋∞）时，f（x）＝ln x，f'（x）＝ ，当x∈（0，1）时，f（x）＝－ln x，f'（x）＝－ ，则kAP＝－ ，kBQ＝ .所以kPA·kQB＝－1，即x1x2＝1.因为lPA：y－（－ln x1）＝－ （x－x1），即y＝－ x ＋1－ln x1，lQB：y－ln x2＝ （x－x2），即y＝ x＋ln x2－1，则A（0，1－ln x1），B（0，ln x2－1），因为0＜x1＜1，且x1x2＝1，故｜AB｜＝1－ln x1－（ln x2－1）＝2－ln x1x2＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $