第8讲 利用导数研究函数的性质-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

第8讲　 利用导数研究函数的性质 备考指南 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考重点考查内容，多以选择题、填空题的形式考查，或以解答题的形式出现，难度中等. 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 一 典例·讲解 典例精析 强技提能 二 课后·训练 巩固强化 综合测评 三 目录 / CONTENTS 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 目 录 1. 函数f（x）＝x＋ ＋2ln x的单调递减区间是（　　） A. （－3，1） B. （0，1） C. （－1，3） D. （0，3） 求单调区间：解f'（x）＞0或 f'（x）＜0（一定注意函数的定义域）. √ 解析： 　由题知f'（x）＝1－ ＋ ＝ （x＞0），令f'（x）＜0，得 解得0＜x＜1，所以f（x）的单调递减区间为（0，1）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. 已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝x3＋x2f'（1）＋ 2x－1，则f'（2）＝（　　） A. 1 B. －9 C. －6 D. 4 √ f'（x）是一个函数，f'（x0）是函数f'（x）在x0处的函数值（常数），不一定为0. 解析： 因为f（x）＝x3＋x2f'（1）＋2x－1，所以f'（x）＝3x2＋2xf' （1）＋2，把x＝1代入f'（x），得f'（1）＝3×12＋2f'（1）＋2，解得f' （1）＝－5，所以f'（x）＝3x2－10x＋2，所以f'（2）＝－6. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. 已知函数f（x）＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f（x）的 极大值为（　　） A. 2 B. － C. 3＋ln 2 D. －2＋2ln 2 √ f（x）在x＝a处取得极值⇔f'（a） ＝0且x＝a两侧的单调性相反. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　f'（x）＝ ＋2ax－3，∵f（x）在x＝2处取得极小值，∴f' （2）＝4a－2＝0，解得a＝ ，∴f（x）＝2ln x＋ x2－3x，f'（x）＝ ＋x－3＝ ，∴f（x）在区间（0，1），（2，＋∞）上单调 递增，在区间（1，2）上单调递减，∴f（x）的极大值为f（1）＝ －3 ＝－ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. 函数f（x）＝ x3－4x＋4在[0，3]上的最值是（　　） A. 最大值是4，最小值是－ B. 最大值是2，最小值是－ C. 最大值是4，最小值是－ D. 最大值是2，最小值是－ √ 将函数f（x）在[a，b]内的各极值与区间端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为f（x）＝ x3－4x＋4，x∈[0，3]，所以f'（x）＝x2－ 4，由f'（x）＝x2－4＞0，得2＜x≤3，由f'（x）＝x2－4＜0，得0≤x＜ 2，所以f（x）在[0，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，又f（0） ＝4，f（2）＝－ ，f（3）＝1，所以f（x）在[0，3]上的最大值是4， 最小值是－ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 5. （2025·浙江台州一模）若f（x）＝ ＋ax在R上单调递减，则实数 a的最大值为 ⁠. － f（x）在（a，b）上单调递增⇔f'（x）≥0在（a，b）上恒成立（参变分离）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：因为f（x）＝ ＋ax在R上单调递减，所以f'（x）≤0在R上恒 成立，所以f'（x）＝ ＋a≤0在R上恒成立，所以a≤－ 在R上恒成立，令g（x）＝－ ，则g（x）＝－ ＝－ ＝－ ≥－ ＝－ ，当且仅当ex＝ ，即x＝0时等号成立，所以a≤－ ，故实数a的最大值为－ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 典例·讲解 典例精析 强技提能 目 录 考点一　利用导数研究函数的单调性 考向1　判断函数的单调性 【例1】　（2025·山东临沂二模节选）已知函数f（x）＝ax2－（a＋2） x＋ln x，当a＞0时，讨论f（x）的单调性. 【通性通法】　导数与函数中分类讨论的界点 （1）根据二次项系数确定分类“界点”； （2）根据判别式确定分类“界点”； （3）根据导函数的零点与定义域的关系确定分类“界点”. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解：当a＞0时，对函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋ln x求导得， f'（x）＝2ax－（a＋2）＋ ＝ ＝ ＝ ＝ （x＞0）， 若a＝2，则f'（x）＝ ≥0（x＞0），此时f（x）在定义域（0， ＋∞）上单调递增， 若0＜a＜2，则 ＞ ，当0＜x＜ 或x＞ 时，f'（x）＞0，当 ＜x＜ 时，f'（x）＜0，此时f（x）在（0， ），（ ，＋∞）上单调递增，在 （ ， ）上单调递减， 高考专题辅导与测试·数学 目 录 若a＞2，则0＜ ＜ ，当0＜x＜ 或x＞ 时，f'（x）＞0，当 ＜x＜ 时，f'（x）＜0，此时f（x）在（0， ），（ ，＋∞）上单调递增，在 （ ， ）上单调递减. 综上所述，若a＝2，则f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递增； 若0＜a＜2，则f（x）在（0， ），（ ，＋∞）上单调递增，在（ ， ）上单调递减； 若a＞2，则f（x）在（0， ），（ ，＋∞）上单调递增，在（ ， ） 上单调递减. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 考向2　单调性的应用 【例2】　（1）若函数f（x）＝ex＋ax－ x2存在单调递减区间，则实数 a的取值范围是（　　） A. （－1，＋∞） B. （0，＋∞） C. （－∞，－1） D. （－∞，0） √ 【通性通法】　函数f（x）在区间D上存在单调递增（或递减）区间，可转化为f'（x）＞0（或f'（x）＜0）在x∈D上有解. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　函数f（x）的定义域是R，f'（x）＝ex＋a－x，若f（x）存 在单调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1 －ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x） 在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g （0）＝－1，故a＜－1.故选C. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）（2025·黑龙江齐齐哈尔二模）已知函数f（x）＝2x－ sin 2x，则不 等式f（x2）＋f（2x－3）＜0的解集为 ⁠. 【通性通法】　利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常要构造函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式. （－3，1） 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：f（x）＝2x－ sin 2x的定义域为R，∵f'（x）＝2－2 cos 2x＝2（1 － cos 2x）≥0，∴函数f（x）是R上的增函数，∵f（－x）＝－2x－ sin （－2x）＝－（2x－ sin 2x）＝－f（x），∴函数f（x）是奇函数， ∴由f（x2）＋f（2x－3）＜0得f（x2）＜－f（2x－3）＝f（3－2x）， ∴x2＜3－2x⇒x2＋2x－3＜0⇒（x－1）（x＋3）＜0⇒－3＜x＜1，∴不 等式f（x2）＋f（2x－3）＜0的解集为（－3，1）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练1】　（1）（2025·北京通州一模）已知函数f（x）＝ x2＋ cos x， 则f（－2），f（3），f（π）的大小关系是（　　） A. f（－2）＜f（3）＜f（π） B. f（π）＜f（3）＜f（－2） C. f（3）＜f（－2）＜f（π） D. f（－2）＜f（π）＜f（3） √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为f（－x）＝ x2＋ cos x＝f（x），所以函数f（x）为偶函 数，f'（x）＝x－ sin x，令g（x）＝x－ sin x，x∈（0，＋∞），则g' （x）＝1－ cos x≥0，x∈（0，＋∞），所以函数g（x）＞g（0）＝0， 即当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，＋∞）上 单调递增，所以f（－2）＝f（2）＜f（3）＜f（π）.故选A. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝ 的单调递减区间为（　　） A. （0，4） B. （－∞，1），（ ，4） C. （0， ） D. （0，1），（4，＋∞） √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 由题图可知，先减后增的曲线为f'（x）的图象，先增后减再增 的曲线为f（x）的图象，当0＜x＜1或x＞4时，f'（x）＜f（x），即g' （x）＝ ＜0，则函数g（x）＝ 的单调递减区间为 （0，1），（4，＋∞）.故选D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）若函数f（x）＝ －ln x在区间（m，m＋ ）上不单调，则实数m 的取值范围为 ⁠. 【瓶颈突破】　若函数y＝f（x）在区间（a，b）上不单调，则转化为f'（x）＝0在（a，b）上有解（需验证解的两侧导数值是否异号）. （ ，1） 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：由题可得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－ ＝ ，易知当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，＋∞）时，f' （x）＞0，即函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调 递增.若函数f（x）＝ －ln x在区间（m，m＋ ）上不单调，则需满足 0≤m＜1＜m＋ ，解得 ＜m＜1，所以实数m的取值范围为（ ，1）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 考点二　利用导数求函数的极值、最值 考向1　利用导数求函数的极值 【例3】　（1）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x ＋ ＋ （a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　） A. bc＞0 B. ab＞0 C. b2＋8ac＞0 D. ac＜0 √ √ √ 【瓶颈突破】　函数f（x）既有极大值也有极小值等价转化为函数f'（x）在（0，＋∞）上有两个零点. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为函数f（x）＝aln x＋ ＋ （a≠0），所以函数f （x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ，因为函数f（x）既 有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正 实根x1，x2，则 即 所以 故选B、C、D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）（2024·新高考Ⅱ卷16题节选）已知函数f（x）＝ex－ax－a3.若f （x）有极小值，且极小值小于0，求实数a的取值范围. 【通性通法】　对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点附近两侧的导数值异号.f'（x0）＝0是x0为函数极值点的必要不充分条件，因此需要检验参数的值. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解：易知函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－a. 当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在R上是增函数，无极值； 当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞ln a，由f'（x）＜0，得x＜ln a， 所以函数f（x）在区间（－∞，ln a）上单调递减，在区间（ln a，＋∞）上单调递增，所以f（x）的极小值为f（ln a）＝a－aln a－a3. 由题意知a－aln a－a3＜0（a＞0），等价于1－ln a－a2＜0（a＞0）. 法一（导数法）　令g（a）＝1－ln a－a2（a＞0），则g'（a）＝－ －2a＜0，所以函数g（a）在（0，＋∞）上是减函数， 高考专题辅导与测试·数学 目 录 又g（1）＝0，故当0＜a＜1时，g（a）＞0；当a＞1 时，g（a）＜0. 故实数a的取值范围为（1，＋∞）. 法二（图象法）　由1－ln a－a2＜0（a＞0），得ln a＞－ a2＋1（a＞0）. 如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间（0，＋∞）上的大致图象， 由图易知当a＞1时，ln a＞－a2＋1，即1－ln a－a2＜0. 所以实数a的取值范围为（1，＋∞）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 考向2　利用导数研究函数的最值 【例4】　已知函数f（x）＝x3－3x2＋3在区间（a，a＋6）上存在最小 值，则实数a的取值范围为（　　） A. [－1，2） B. ［－ ，1） C. ［－2， ） D. [－1，1） √ 【通性通法】　求函数在开区间上的最值问题时，不仅要研究其极值，还需研究其单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象求解. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 f（2）＝－1.又因为当x3－3x2＋3＝－1，即x3＋1＋ 3（1－x2）＝（x＋1）·（x－2）2＝0时，解得x＝ －1或x＝2，可作出f（x）的图象如图所示，故要 使函数f（x）＝x3－3x2＋3在区间（a，a＋6）上 存在最小值，则有 解得－1≤a＜2，即实数a的取值范围为[－1，2）.故选A. 解析： 　由题意得f'（x）＝3x2－6x＝3x（x－2）.令f'（x）＞0，得x＜0或x＞2，令f'（x）＜0，得0＜x＜2，则f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞），单调递减区间为（0，2），即x＝2时，函数取得极小值 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练2】　（1）已知函数f（x）＝ex－ax2在R上无极值，则a的取值范 围是（　　） A. B. C. ［0， ］ D. √ 【瓶颈突破】　若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内一定不具有单调性，反之，若函数在某区间上单调，则函数在此区间内没有极值. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 则g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，从而g（x）≥g（1）＝ ，故a≤ ；当x＜0时，由f'（x）≥0得a≥ ，又 ＜0，则a≥0.综上，a的取值范围是［0， ］. 解析： 　由题意得f'（x）＝ex－2ax，故f'（0）＝1＞0，因为函数f （x）＝ex－ax2在R上无极值，所以f'（x）≥0在R上恒成立，当x＞0 时，a≤ ，设g（x）＝ （x＞0），则g'（x）＝ ＝ ，当0＜x＜1时，得g'（x）＜0，当x＞1时，得g'（x）＞0， 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）（2025·江苏宿迁二模）若函数f（x）＝ 有最大值， 则实数k的最大值为（　　） A. B. C. D. √ 【瓶颈突破】　f（x）＝kx，x＜2时不存在最值. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　当x≥2时，f（x）＝ ，则f'（x）＝ ，当2≤x＜e时，f' （x）＞0，此时函数f（x）单调递增，当x＞e时，f'（x）＜0，此时函数 f（x）单调递减，则函数f（x）在x＝e处取得极大值，且极大值为f （e）＝ ，因为函数f（x）＝ 有最大值，则 解 得0≤k≤ ，因此实数k的最大值为 .故选C. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 课后·训练 巩固强化 综合测评 （时间：60分钟，满分：92分） 目 录 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 1. 函数f（x）＝－2ln x－x－ 的单调递增区间是（　　） A. （0，＋∞） B. （－3，1） C. （1，＋∞） D. （0，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　f'（x）＝－ －1＋ ＝ ＝ ，x＞0.令f' （x）＞0， 得0＜x＜1，∴f（x）的单调递增区间是（0，1）.故选D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. 已知函数f（x）＝ x3＋（a－1）x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值 范围是（　　） A. [0，1] B. （－∞，0]∪[1，＋∞） C. [0，2] D. （－∞，0]∪[2，＋∞） √ 解析： 　由f（x）＝ x3＋（a－1）x2＋x＋1，得f'（x）＝x2＋2（a－ 1）x＋1.根据题意得[2（a－1）]2－4≤0，解得0≤a≤2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. （2025·江苏无锡质检）当x＝2时，函数f（x）＝x3＋bx2－12x取得极 值，则f（x）在区间[－4，4]上的最大值为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 √ 解析： 　f'（x）＝3x2＋2bx－12，∵f（x）在x＝2处取得极值，∴f' （2）＝12＋4b－12＝0，∴b＝0，则f（x）＝x3－12x，由f'（x）＝0， 得x＝±2，f（x）在[－4，－2）上单调递增，在（－2，2）上单调递 减，在（2，4]上单调递增，又f（－2）＝－8＋24＝16，f（4）＝64－48 ＝16，∴f（x）max＝16.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. 已知a＝ln ，b＝ ，c＝ ，则下列结论正确的是（　　） A. c＜b＜a B. b＜a＜c C. a＜b＜c D. c＜a＜b √ 解析： 　设f（x）＝ （x＞0），则f'（x）＝ ＝ ，当x∈ （0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，＋∞）时，f' （x）＜0，f（x）单调递减.a＝ln ＝ ln 2＝ ln 2＝ ln 4＝f（4）， 又b＝ ＝f（3），c＝ ＝f（e），e＜3＜4，且f（x）在（e，＋∞） 上单调递减，所以f（4）＜f（3）＜f（e），所以a＜b＜c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 5. （2025·江苏扬州第二次调研）若函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值 点，则实数a的取值范围为（　　） A. a＞－2 B. a＞－ C. a＜－2 D. a＜－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　由函数f（x）＝eax＋2x，可得f'（x）＝aeax＋2，若a≥0，则 f'（x）＞0恒成立，此时f（x）单调递增，无极值点，故a＜0，令f'（x） ＝aeax＋2＝0，解得x＝ ln（－ ），当x＞ ln（－ ）时，f'（x）＞ 0，当x＜ ln（－ ）时，f'（x）＜0，故x＝ ln（－ ）是f（x）＝eax ＋2x的极值点，由于函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，∴ ln （－ ）＞0⇒ln（－ ）＜0⇒0＜－ ＜1，解得a＜－2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 6. （2025·辽宁锦州模拟）若函数f（x）＝xe2a－x－b（x－1）2在R上单 调，a，b为实数，则（　　） A. a≥b B. a≤b C. a≥－b D. a≤－b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　f'（x）＝e2a－x－xe2a－x－2b（x－1）＝（1－x）（e2a－x＋ 2b），因为f（x）在R上单调，所以f'（x）无变号零点，则x＝1是方程 e2a－x＋2b＝0的解，故e2a－1＋2b＝0，即b＝－ e2a－1，a－（－b）＝a － e2a－1，令g（a）＝a－ e2a－1，则g'（a）＝1－e2a－1，令g'（a）＝ 0，解得a＝ ，a∈（－∞， ）时，g'（a）＞0，a∈（ ，＋∞）时， g'（a）＜0，所以g（a）在（－∞， ）上单调递增，在（ ，＋∞）上 单调递减，g（a）max＝g（ ）＝0，所以a－（－b）≤0，即a≤－b； a－b＝a＋ e2a－1，令h（a）＝a＋ e2a－1，h（a）在R上单调递增， 无最值，则a，b大小不确定.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 二、多项选择题（每小题6分，共12分） 7. （2025·全国Ⅱ卷10题）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0 时，f（x）＝（x2－3）ex＋2，则（　　） A. f（0）＝0 B. 当x＜0时，f（x）＝－（x2－3）e－x－2 C. f（x）≥2当且仅当x≥ D. x＝－1是f（x）的极大值点 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　A. 根据奇函数的定义有f（0）＝0，故A正确；B. 当x＜0 时，－x＞0，所以f（－x）＝（x2－3）e－x＋2，因为f（－x）＝－f （x），所以f（x）＝－（x2－3）e－x－2，故B正确；C. 当x＞0时，f' （x）＝（x2＋2x－3）ex＝（x－1）（x＋3）ex，所以函数f（x）在 （0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，又f（ ）＝2，所以 由f（x）≥2得x≥ ；当x＜0时，f（－1）＝2（e－1）＞2，满足f （x）≥2，但－1∉[，＋∞），故C错误；D. 由C知，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 8. （2025·山东山师附中一模）已知函数f（x）＝ln ＋ax＋b（x－ 1）3，则（　　） A. 函数f（x）的定义域为（0，2） B. 当a＝0，b＝0时，函数f（x）在定义域上单调递增 C. 曲线y＝f（x）是中心对称图形 D. 若b＝0，且f'（x）≥0，a的最小值是0 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　对于A，由函数解析式可得 ＞0，解得0＜x＜2，所以函 数f（x）的定义域为（0，2），显然A正确；对于B，当a＝0，b＝0时f （x）＝ln ＝ln x－ln（2－x），易知函数y＝ln x单调递增，y＝ln（2 －x）单调递减，所以函数f（x）在定义域上单调递增，B正确；对于C， 令g（x）＝ln ，g（2－x）＝ln ，g（x）＋g（2－x）＝0，因此 g（x）的图象关于点（1，0）中心对称，易知f（x）＝g（x）＋a（x －1）＋a＋b（x－1）3满足f（x）＋f（2－x）＝2a，可得f（x）的图 象关于点（1，a）中心对称，可得C正确；对于D，b＝0时，f（x）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 ln ＋ax，其中x∈（0，2），则f'（x）＝ ＋ ＋a＝ ＋a，x∈（0，2），因为x（2－x）≤（ ）2＝1，当且仅当x＝1时等号成立，故f'（x）min＝2＋a，而f'（x）≥0成立，故a＋2≥0，即a≥－2，所以a的最小值为－2，即D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 三、填空题（每小题5分，共10分） 9. （2025·全国Ⅱ卷13题）若x＝2是函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x －a）的极值点，则f（0）＝ ⁠. 解析：f'（x）＝（x－2）'[（x－1）（x－a）]＋（x－2）[（x－1） （x－a）]'＝（x－1）（x－a）＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'，因 为x＝2是函数f（x）的极值点，所以f'（2）＝0，即（2－1）（2－a）＝ 0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f（x）＝（x－1）（x－2）2，所 以f（0）＝－4. －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（x）＝f（－x），对 等式两边求导有f'（x）＝－f'（－x）　①.因为y＝f'（x）＋ex是偶函 数，所以f'（x）＋ex＝f'（－x）＋e－x　②.由①②得f'（x）＝ （e－x－ ex）＝ .当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当 x∈（0，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.又f（a）＞f（2a－ 1），所以｜a｜＜｜2a－1｜，解得a＞1或a＜ . 10. （2025·贵州贵阳适应性考试）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且 y＝f'（x）＋ex也是偶函数，若f（a）＞f（2a－1），则实数a的取值范 围为 ⁠. （－∞， ）∪（1，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 四、解答题（共30分） 11. （15分）（2025·广东湛江二模）已知函数f（x）＝－x2＋（a2＋a） ln x＋（1－a）x. （1）若a＝1，求f（x）的极值； 解： 当a＝1时，f（x）＝－x2＋2ln x，定义域为（0，＋∞）， 则f'（x）＝－2x＋ ＝ . 当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，＋∞） 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. 故当x＝1时，f（x）取得极大值－1，无极小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若a≥－ ，求f（x）的单调区间. 解： 由f（x）＝－x2＋（a2＋a）ln x＋（1－a）x，x＞0， 得f'（x）＝－2x＋ ＋1－a＝ ＝ . 令（x＋a）（2x－a－1）＝0，得x＝－a或x＝ . 若a≥0，则－a≤0， ＞0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 当x∈（0， ）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（ ，＋ ∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. 若－ ＜a＜0，则 ＞－a＞0， 当x∈（0，－a）和（ ，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（－a， ）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 若a＝－ ，则 ＝－a＝ ，f'（x）≤0在x∈（0，＋∞）上恒成立，f （x）单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 综上所述，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0， ），单调递减 区间为（ ，＋∞）； 当－ ＜a＜0时，f（x）的单调递增区间为（－a， ），单调递减区 间为（0，－a）和（ ，＋∞）； 当a＝－ 时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 12. （15分）（2025·上海高考19题）已知f（x）＝x2－（m＋2）x＋mln x，m∈R. （1）若f（1）＝0，求不等式f（x）≤x2－1的解集； 解： 由题设条件可得，f（1）＝1－（m＋2）＝0，解得m＝－1， 所以f（x）＝x2－x－ln x. 由f（x）≤x2－1，可得ln x＋x－1≥0， 令g（x）＝ln x＋x－1，则g'（x）＝ ＋1＞0在（0，＋∞）上恒成立， 所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增， 易知g（1）＝0，所以g（x）≥0即g（x）≥g（1），可得x≥1. 综上，不等式f（x）≤x2－1的解集为[1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若函数y＝f（x）满足在（0，＋∞）上存在极大值，求m的取值 范围. 解： f'（x）＝2x－（m＋2）＋ ＝ ＝ . ①当 ＞1，即m＞2时，由f'（x）＞0得x∈（0，1）∪（ ，＋∞）；由 f'（x）＜0得x∈（1， ）.故f（x）在（0，1），（ ，＋∞）上单调 递增，在（1， ）上单调递减，此时f（x）在x＝1处取得极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 ②当0＜ ＜1，即0＜m＜2时，由f'（x）＞0得x∈（0， ）∪（1，＋ ∞）；由f'（x）＜0得x∈（ ，1）.故f（x）在（0， ），（1，＋ ∞）上单调递增，在（ ，1）上单调递减，此时f（x）在x＝ 处取得极 大值. ③当 ＝1，即m＝2时，f'（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，即f（x）在 （0，＋∞）上单调递增，此时函数f（x）在（0，＋∞）上无极大值. ④当 ≤0，即m≤0时，由f'（x）＜0得x∈（0，1）；由f'（x）＞0得 x∈（1，＋∞）.故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调 递增，此时f（x）在x＝1处取得极小值，无极大值. 综上可知，m的取值范围为（0，2）∪（2，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【高考新风向】（每小题5分，共10分） 13. 〔创新交汇〕P是平面直角坐标系xOy内一点，我们以x轴正半轴为始 边，射线OP为终边构成角θ∈[0，2π]，OP的长度r作为θ的函数，若其 解析式为r＝｜2 sin 2θ｜＋｜ sin 4θ｜，则P的轨迹可能为（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　r（θ）＝｜2 sin 2θ｜＋｜ sin 4θ｜，r（θ＋ ）＝ ＋ ＝｜2 sin 2θ｜＋｜ sin 4θ｜＝r（θ），可以得到r是以 为周期的函数，所以P的轨迹在四个象 限内应相似，故排除C、D；由于A、B项均关于y＝x对称，所以仅研究θ∈［0， ］，此时，令r＝2 sin 2θ＋ sin 4θ，r'＝4（ cos 2θ＋ cos 4θ），令 cos 2θ＝t∈[0，1]，令f（t）＝2t2＋t－1＝0，解得t＝ （t＝－1舍去），则f（t）在 上小于等于0，在（ ，1］上大于0，即r（θ）在（0， ）内单调递增，在（ ， ）内单调递减，在［0， ）内有且仅有一个极值点，所以OP不会一直增大，B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 14. 〔创新定义〕（2025·江西南昌模拟）我们约定：若两个函数的极值点 个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同， 则称这两个函数的图象“相似”.已知f（x）＝ex－ ex2＋（x－1）2，则 下列给出的函数中其图象与y＝f（x）的图象“相似”的是（　　） A. y＝x2 B. y＝－x2 C. y＝x3－3x D. y＝－x3＋3x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　f'（x）＝ex－ex＋2x－2，则f'（1）＝0，令 f'（x）＝0，则ex＝（e－2）x＋2，如图，在同一平面 直角坐标系中，分别作出函数y＝ex，y＝（e－2）x＋ 2的大致图象，由图可知，函数y＝ex与y＝（e－2）x ＋2的图象有两个交点，则函数y＝f'（x）有两个零点1，x0，且x0＜0，令f'（x）＞0，则x＞1或x＜x0，令f'（x）＜0，则x0＜x＜1，所以f（x）在（－∞，x0），（1，＋∞）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，所以图象从左到右看，f（x）先有极大值点x0，再有极小值点1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法一　A错误，函数y＝x2在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单 调递增，所以函数y＝x2有极小值点，无极大值点；B错误，函数y＝－x2 在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，所以函数y＝－ x2有极大值点，无极小值点；C正确，对y＝x3－3x求导，得y'＝3x2－3＝3 （x＋1）（x－1），当x＜－1或x＞1时，y'＞0，当－1＜x＜1时，y'＜ 0，所以函数y＝x3－3x在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，在 （－1，1）上单调递减，所以图象从左到右看，函数y＝x3－3x先有极大 值点－1，再有极小值点1；D错误，y＝－x3＋3x＝－（x3－3x），则由C 选项可得，图象从左到右看，函数y＝－x3＋3x先有极小值点－1，再有极 大值点1.故选C. 法二　根据二次函数的图象性质可排除A、B. 三次函数y＝ax3＋bx2＋cx ＋d（a≠0）的图象在a＜0时为倒“N”型，图象从左到右看先有极小值 点，再有极大值点，排除D. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $