第4讲 等差、等比数列-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

第4讲　等差、等比数列 备考指南 等差数列、等比数列是高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式以及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或解答题的形式考查，难度中等偏下. 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 一 典例·讲解 典例精析 强技提能 二 课后·训练 巩固强化 综合测评 三 目录 / CONTENTS 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 目 录 1. （2025·山东齐鲁名校大联考一模）已知正项等比数列{an}满足a1a9＝ ，a3＝ ，则a4＝（　　） A. B. C. D. √ 若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q：在等差数列中，am＋an＝ap ＋aq；在等比数列中，am·an＝ap·aq. 解析： 　因为正项等比数列{an}满足a1a9＝ ，所以 ＝ ，解得a5 ＝ ，又a3＝ ，所以a4＝ ＝ ，故选B. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. （2025·全国Ⅱ卷7题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3＝6，S5＝ －5，则S6＝（　　） A. －20 B. －15 C. －10 D. －5 √ 等差数列的前n项和公式： Sn＝ ＝na1＋ . 解析： 　根据S3＝3a2＝6得a2＝2，根据S5＝5a3＝－5得a3＝－1，所以 {an}的公差d＝a3－a2＝－3，所以a6＝a3＋3d＝－10，所以S6＝S5＋a6＝ －5－10＝－15. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. （2025·山东山师附中一模）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 ＝1，a3－2a1＝a2，则S6＝（　　） A. 31 B. 32 C. 63 D. 65 √ 等比数列的前n项和公式： Sn＝ 解析： 　设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），则由a1＝1，a3－ 2a1＝a2，得q2－2＝q，解得q＝2（q＝－1舍去），所以S6＝ ＝63， 故选C. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－2 025，且 － ＝ 1，则S2 026＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 √ 若{an}是等差数列，则 也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的 . 解析： 易知 是等差数列，首项为－2 025，公差为1，所以 ＝－2 025＋（n－1）×1，所以 ＝－2 025＋（2 026－1）×1＝0，所以S2 026＝0. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；等比数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列（m为偶数时，q≠－1）. 5. （2025·全国Ⅰ卷13题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等 于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 ⁠. 2 解析：法一（基本量法）　设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为 Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q＞0，又S4＝4，S8＝68， 所以q≠1.由S4＝4得 ＝4　①，由S8＝68得 ＝68　 ②， 得 ＝ ，即 ＝1＋q4＝17，所以q4＝16，又q＞ 0，所以q＝2. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法二（性质法）　设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为 等比数列{an}的各项均为正数，所以q＞0，因为S4＝4，S8＝68，所以S8 －S4＝64，因为S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列，且公比为q4，所以 q4＝ ＝ ＝16，又q＞0，所以q＝2. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 典例·讲解 典例精析 强技提能 目 录 考点一　等差（比）数列的基本运算 【例1】　（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S9＝6a5＋ 27，则S5＝（　　） A. 25 B. 27 C. 30 D. 35 √ 【通性通法】　等差（比）数列基本量计算的解题策略 （1）抓住基本量，首项a1，公差d或公比q； （2）在进行等差（比）数列项与和的运算时，若条件和结论间 的联系不明显，则可转化成关于a1和d（q）的方程（组）求解， 但要注意使用消元法及整体计算，以减少计算量. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　设等差数列{an}的公差为d，则有 ＝6（a1＋ 4d）＋27，又a1＝1，则9（1＋4d）＝6（1＋4d）＋27，解得d＝2，则 S5＝ ＝25.故选A. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷9题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，q 为{an}的公比，q＞0.若S3＝7，a3＝1，则（　　） A. q＝ B. a5＝ C. S5＝8 D. an＋Sn＝8 √ √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　A. 根据S3＝a1＋a2＋a3＝ ＋ ＋a3＝ ＋ ＋1＝7，得6q2 －q－1＝0，即（2q－1）（3q＋1）＝0，因为q＞0，所以q＝ ，故A正 确；B. a5＝a3q2＝1×（ ）2＝ ，故B错误；C. a1＝ ＝4，所以S5＝ ＝ ＝ ，故C错误；D. an＝a1qn－1＝4×（ ）n－1＝ ＝23－n，Sn＝ ＝ ＝8［1－（ ）n］＝8－ ＝8－23－n，所以an＋Sn＝8，故D正确. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练1】　 （1）〔创新命题角度〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，数列{an}的公 差为d（d≠0），且{ }是等差数列，则 ＝（　　） A. B. √ 【瓶颈突破】　（1）等差数列的通项公式是关于项数n的一次函数；等比数列的通项公式是关于公比q的指数型函数； （2）前n项和为Sn＝an2＋bn（a，b为常数）形式的数列为等差数列. C. 1 D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　由题意，an＝a1＋d（n－1）＝dn＋a1－d，Sn＝na1＋ ＝ n2＋ n，所以Sn－an＝ n2＋ n＋d－a1， 因为{ }是等差数列，则{ }的通项是一次函数型，则 n2 ＋ n＋d－a1能整理成完全平方型，所以Δ＝ －4· （d－a1）＝0，化简得 ＝0，所以a1＝ ，即 ＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）（2025·黑龙江哈尔滨一模）已知数列{an}为等比数列，Sn为数列 {an}的前n项和.若3a4，a8，5a6成等差数列，则 ＝ 　　​ 　　. 解析：设数列{an}的公比为q，由3a4，a8，5a6成等差数列可得3a4＋5a6 ＝2a8，即3a4＋5a4q2＝2a4q4，因为a4≠0，所以2q4－5q2－3＝0，解得q2 ＝3或q2＝－ （舍），所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . ​ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 考点二　等差（比）数列的性质 【例2】　（1）已知等比数列{an}中，若an＝2·3n－1，则 ＋ ＋ ＋…＋ ＝（　　） A. （3n－1）2 B. （9n－1） C. 9n－1 D. （3n－1） √ 【常用结论】　若{an}，{bn}（项数相同）均为等比数列，则{λan}（λ≠0）， ，{ }，{an·bn}， 仍是等比数列. 解析： 　由题意可知，数列{ }是首项为4，公比为9的等比数列.因此 ＋ ＋…＋ ＝ ＝ （9n－1）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）〔多选〕（2025·黑龙江哈尔滨模拟）已知数列{an}是公差为d的等 差数列，Sn是其前n项和，若a1＜0，S2 000＝S2 024，则（　　） A. d＞0 B. a2 012＝0 C. S4 024＝0 D. Sn≥S2 012 √ √ √ 【通性通法】　等差（比）数列性质问题的求解策略 （1）抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系； （2）用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质.　 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 因为S2 000＝S2 024，所以a2 001＋a2 002＋…＋a2 024＝0，所以 ＝0，所以a2 001＋a2 024＝a2 012＋a2 013＝2a1＋4 023d＝ 0，又因为a1＜0，所以d＝－ a1＞0，故A正确；a2 012＝a1＋2 011d＝ a1－ a1＝ a1＜0，故B错误；S4 024＝ ＝2 012 （a2 001＋a2 024）＝0，故C正确；因为a2 012＜0，a2 013＝－a2 012＞0，所以 当n≤2 012时，an＜0，当n≥2 013时，an＞0，所以（Sn）min＝S2 012，所 以Sn≥S2 012，故D正确. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练2】　 （1）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n 都有 ＝ ，则 ＋ ＝（　　） A. B. C. D. √ 【常用结论】　若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则 ＝ . 解析： 　由等差数列的性质可得， ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .故选C. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）（2025·江苏南京、盐城一模）已知数列{an}为等比数列，公比为2， 且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是 （　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 √ 解析： 　因为数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3，所以a1＋ 2a1＝3，解得a1＝1，故an＝2n－1，因为ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak （1＋2＋22＋…＋29）＝2k－1· ＝2k＋9－2k－1＝214－24，解得k＝5，故 选B. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 考点三　等差（比）数列的判定与证明 【例3】　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＞0， ＝ － λSn＋1，其中λ为常数. （1）证明：Sn＋1＝2Sn＋λ； 解： 证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn， ＝ －λSn＋1， ∴ ＝（Sn＋1－Sn）2－λSn＋1， 则Sn＋1（Sn＋1－2Sn－λ）＝0. 由an＞0，知Sn＋1＞0， ∴Sn＋1－2Sn－λ＝0， 故Sn＋1＝2Sn＋λ. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）是否存在实数λ，使得数列{an}为等比数列？若存在，求出λ；若 不存在，请说明理由. 【通性通法】　等差数列、等比数列的判定方法 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q（an≠0，q≠0） 中项法 2an＝an－1＋an＋1 （n≥2） ＝an－1·an＋1（n≥2，an≠0） 提醒　（1） ＝an－1an＋1（n≥2，n∈N*）是{an}为等比数列的必要不充分条件，判断一个数列是等比数列时，还要注意各项不为0； （2）{an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解： 由（1）知，Sn＋1＝2Sn＋λ， 当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋λ， 两式相减得，an＋1＝2an（n≥2，n∈N*）， ∴数列{an}从第二项起成等比数列，且公比q＝2. 又S2＝2S1＋λ，即a2＋a1＝2a1＋λ， ∴a2＝a1＋λ＝1＋λ＞0，得λ＞－1. ∴an＝ 若数列{an}是等比数列，则a2＝1＋λ＝2a1＝2.∴λ＝1. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练3】　（2025·江苏南通模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn－ an＝n2＋1，n∈N*. （1）求a1，a2，并证明：数列{an＋an＋1}是等差数列； 解： 当n＝1时，由题意得a1－ a1＝2，所以a1＝4. 当n＝2时，由题意得（a1＋a2）－ a2＝5，所以a2＝2. 因为Sn－ an＝n2＋1，所以Sn－1－ an－1＝（n－1）2＋1（n≥2）， 两式相减得an－ an＋ an－1＝2n－1，即an＋an－1＝4n－2， 所以（an＋1＋an）－（an＋an－1）＝[4（n＋1）－2]－（4n－2）＝4， 所以数列{an＋1＋an}为等差数列. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）求S20. 解： 由（1）知数列{an＋1＋an}为等差数列，首项为a1＋a2＝6，公 差为4，所以an＋an＋1＝4n＋2， 所以S20＝（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋…＋（a19＋a20）＝ ， 又a19＋a20＝78，所以S20＝ ＝420. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 课后·训练 巩固强化 综合测评 （时间：60分钟，满分：92分） 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 1. （2025·浙江杭州质测）若等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a1－a3＝3， 则数列{an}的公比q＝（　　） A. － 或 B. 或－ C. － D. √ 解析： 　易知q≠－1，a1≠0，则 ＝ ＝1－q，又a1－ a3＝3，a1＋a2＝2，所以1－q＝ ，所以q＝－ ，故选C. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. （2025·安徽合肥一模）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＋a6 ＝9，则S9＝（　　） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 √ 解析： 　法一（通项公式法）　设等差数列{an}的公差为d，则a4＋a5 ＋a6＝a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＝3a1＋12d＝9，所以a1＋4d＝3，所以 S9＝9a1＋ ×d＝9（a1＋4d）＝27，故选C. 法二（性质法）　因为a4＋a5＋a6＝3a5＝9，所以a5＝3，所以S9＝ ＝9a5＝27，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. 已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数 列，则a10＝（　　） A. －20 B. －18 C. 16 D. 18 √ 解析： 　设等差数列{an}的公差为d（d≠0），因为a3，a4，a6成等比 数列，且a1＝－2，所以 ＝a3a6，即（－2＋3d）2＝（－2＋2d）（－2 ＋5d），解得d＝2或d＝0（舍去），所以a10＝a1＋9d＝－2＋9×2＝16. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. 在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2＞1，其前n项之积为Tn， 且T20＝T10，则Tn取得最大值时，n的值为（　　） A. 15 B. 16 C. 29 D. 30 √ 解析： 　由T20＝T10，得 ＝a11a12…a19a20＝（a15a16）5＝1，即a15a16 ＝1，则a1a30＝a2a29＝a15a16＝1，由于a2＞1，得0＜a29＜1，所以等比数 列{an}是递减数列，故a15＞1＞a16＞0，则Tn取得最大值时n＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 5. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且存在k∈N*，使得Sk＋3，Sk＋9， Sk＋6成等差数列.若对于任意的m∈N*，满足am＋2＋am＋5＝32，则am＋8＝ （　　） A. m＋32 B. m＋16 C. 32 D. 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　设等比数列{an}的公比为q，显然q＝1不满足题意，则q≠1， 因为Sk＋3，Sk＋9，Sk＋6成等差数列，所以2Sk＋9＝Sk＋3＋Sk＋6，所以 ＝ ＋ ，化简得：2q6－q3－1＝0， 即（q3－1）（2q3＋1）＝0，由于q≠1，则q3＝－ ，因为对于任意的 m∈N*，满足am＋2＋am＋5＝32，则am＋2（1＋q3）＝32，所以am＋2＝64， 所以am＋8＝am＋2q6＝64× ＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 6. 已知数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝6，an＋1＝2an，bn＋1＝2bn－an， 若am＝bm，则m＝（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是以2为首项，2为公比 的等比数列，所以an＝2n.因为bn＋1＝2bn－2n，所以 ＝ － ，所以 数列 是等差数列，且公差为－ ，因为b1＝6，所以 ＝3，所以 ＝3 ＋（n－1） ＝ ，所以bn＝（7－n）·2n－1.因为am＝bm，所以2m ＝（7－m）·2m－1，即7－m＝2，解得m＝5.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 二、多项选择题（每小题6分，共12分） 7. （2025·东北四市联合体考试）已知数列{an}满足an＋1＋an＝f（n）， 则下列说法中正确的是（　　） A. 若a1＝2，f（n）＝2n，则{an}是等差数列 B. 若a1＝1，f（n）＝2n＋1，则{an}是等差数列 C. 若a1＝2，f（n）＝4，则{an}是等比数列 D. 若a1＝1，f（n）＝3×2n－1，则{an}是等比数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　当an＋1＋an＝f（n）＝2n时，若a1＝2，则a2＝0，a3＝4， a4＝2，a5＝6，…，所以数列{an}不是等差数列，故A错误；a1＝1，an＋1 ＋an＝2n＋1，则an＋2＋an＋1＝2n＋3，所以an＋2＝an＋2，所以{an}的奇 数项、偶数项分别成等差数列，公差都是2，又a2＝2×1＋1－1＝2，所以 a2n－1＝1＋2（n－1）＝2n－1，a2n＝2＋2（n－1）＝2n，故an＝n，从 而{an}是等差数列，故B正确；a1＝2，an＋1＋an＝4，则an＋2＋an＋1＝4， 所以an＋2＝an，又a2＝4－2＝2，所以{an}是常数列，an＝2，故{an}是等 比数列，故C正确；a1＝1，an＋1＋an＝3×2n－1，则an＋1－2n＝－（an－ 2n－1），又a1－1＝0，所以{an－2n－1}是常数列，an－2n－1＝0，所以an ＝2n－1，所以{an}是等比数列，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 8. {an}是各项均为正数的等差数列，其公差d＞0，{bn}是等比数列，若 a1＝b1，a2 024＝b2 024，则（　　） A. a100＞b100 B. a100＜b100 C. a2 025＞b2 025 D. a2 025＜b2 025 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　等差数列{an}的通项公式an＝dn＋a1－ d，因为d＞0，所以a2 024＞a1，y＝dx＋a1－d是关 于x的增函数.等比数列{bn}满足b1＝a1＞0，b2 024＝ a2 024＞0，设{bn}的公比为q，则bn＝b1qn－1，所以q2 023＝ ＞1，所以q＞1，所以y＝b1qx－1是关于x 的增函数.作出直线y＝dx＋a1－d及y＝b1qx－1的大致图象，如图，则数列{an}中的各项是直线y＝dx＋a1－d上离散的点对应的纵坐标，数列{bn}中的各项是曲线y＝b1qx－1上离散的点对应的纵坐标.由图可知，a100＞b100，a2 025＜b2 025，故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 三、填空题（每小题5分，共10分） 9. （2025·辽宁部分重点中学协作体考试）记Sn为正项数列{an}的前n项 和，a3＝2S2， 为等比数列，则 ＝ ⁠. 解析：因为a3＝2S2，则S3＝3S2，可得 ＝2 ，可知等比数列 的 公比为2，则 ＝ 2n－1＝a12n－1，即Sn＝na12n－1，所以 ＝ ＝ ＝3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 10. （2025·北京市第35中学一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来 健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分， 以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分.若某天未打卡， 则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始.某会员参与打卡活 动，若连续打卡5天，则共获得积分为 ；若该会员从3月1日开 始到3月20日共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是 3月 日. 25 8或13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：连续打卡的积分规律为：第1天得1分，第2天得3分，第3天得5分， 依此类推.这实际上是一个首项为1，公差为2的等差数列.前5天的总积分 为：S5＝1＋3＋5＋7＋9＝25.若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日 所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第n天所得积分为2n－ 1.假设他连续打卡n天，第n＋1天中断了，则他所得积分之和为（1＋3 ＋…＋2n－1）＋[1＋3＋…＋2（20－1－n）－1]＝ ＋ ＝193，化简得n2－19n＋84＝0，解得n＝7或12， 所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 四、解答题（共28分） 11. （13分）（2024·全国甲卷文17题）已知等比数列{an}的前n项和为 Sn，且2Sn＝3an＋1－3. （1）求{an}的通项公式； 解： 因为2Sn＝3an＋1－3，所以2Sn＋1＝3an＋2－3， 两式相减可得2an＋1＝3an＋2－3an＋1， 即an＋2＝ an＋1，所以等比数列{an}的公比为 . 因为2S1＝3a2－3＝5a1－3， 所以a1＝1，故{an}的通项公式为an＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）求数列{Sn}的前n项和. 解： 因为2Sn＝3an＋1－3， 所以Sn＝ （an＋1－1）＝ ， 设数列{Sn}的前n项和为Tn， 则Tn＝ × － n＝ × － n－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 12. （15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn－nan＝ n.　 （1）求证：{an}是等差数列； 解： 证明：由题意知，2Sn－nan＝ n　①， 则有2Sn＋1－（n＋1）an＋1＝ （n＋1）　②， ②－①得2an＋1－（n＋1）an＋1＋nan＝ ， 即nan＝（n－1）an＋1＋ 　③， 则（n＋1）an＋1＝nan＋2＋ 　④， ④－③得2an＋1＝an＋2＋an，所以{an}是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若当且仅当n＝6时，Sn最大，比较 与－1的大小. 解：设等差数列{an}的公差为d，当n＝1时，2a1－a1＝ ，即a1＝ . 由题意可知 即 解得－ ＜d＜－ ， 则a9＋a5＝2a1＋12d＝1＋12d＜0（另解：a5＋a9＝2a7＜0），且a5＞0， 所以 ＜－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【高考新风向】（每小题6分，共12分） 13. 〔创新考法〕〔多选〕意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问 题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三项起，每 个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an} 称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的 是（　　） A. a7＝13 B. S8＝97 C. ＋ ＋…＋ ＝a2 024a2 025 D. a1＋a3＋a5＋…＋a199＝a200 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　对于A，由题意，数列的前7项为：1，1，2，3，5，8，13， 故a7＝13，故A正确；对于B，S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，故B 错误；对于C，由题意a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，所以an＋1＝an＋2 －an， ＝a1a2， ＝a2（a3－a1）＝a2a3－a1a2， ＝a3（a4－a2） ＝a3a4－a2a3，…， ＝an（an＋1－an－1）＝anan＋1－an－1an，所以 ＋ ＋…＋ ＝a1a2＋（a2a3－a1a2）＋（a3a4－a2a3）＋…＋（a2 025a2 026－a2 024a2 025）＝a2 025a2 026，故C错误；对于D，由C可知，a1＋a3 ＋a5＋…＋a199＝a2＋（a4－a2）＋（a6－a4）＋…＋（a200－a198）＝ a200，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 14. 〔创新考法〕〔多选〕线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在 几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边 形的线性分形图如图所示，若图1中正六边形的边长为1，图n中正六边形 的个数记为an，所有正六边形的周长之和、面积之和分别记为Cn，Sn，其 中图n中每个正六边形的边长是图n－1中每个正六边形边长的 ，则下列 说法正确的是（　　） A. a4＝343 B. C3＝ C. 存在正数m，使得Cn≤m恒成立 D. Sn＝ ×（ ）n－1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　A选项，题图1中正六边形的个数为1，题图2中正六边形的个 数为7，题图3中正六边形的个数为49，由题意得数列{an}为首项为1，公 比为7的等比数列，所以an＝7n－1，故a4＝73＝343，故A正确；B选项，由 题意知C1＝6，C2＝ ×6＝14，C3＝（ ）2×6＝ ，故B错误；C选项，数列{Cn}是首项为6，公比为 的等比数列，故Cn＝6×（ ）n－1，因为 ＞1，所以Cn＝6×（ ）n－1单调递增，不存在正数m，使得Cn≤m恒成立，故C错误；D选项，分析可得，图n中的小正六边形的个数为an＝7n－1，每个小正六边形的边长为（ ）n－1，故每个小正六边形的面积为6× ×（ ）2n－2，则Sn＝7n－1×6× ×（ ）2n－2＝ ×（ ）n－1，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $