第2讲 三角函数的图象与性质-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

第2讲　 三角函数的图象与性质 备考指南 三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式，利用三角函数的性质可求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，试题主要以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏下. 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 一 典例·讲解 典例精析 强技提能 二 课后·训练 巩固强化 综合测评 三 目录 / CONTENTS 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 目 录 1. （2021·新高考Ⅰ卷4题）下列区间中，函数f（x）＝7 sin 的单调 递增区间是（　　） A. B. C. D. √ 函数y＝ sin x的单调递增区间为［－ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z），单调递减区间为［ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　令－ ＋2kπ≤x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z. 取k＝0，则－ ≤x≤ .因为 ⫋ ，所以 区间 是函数f（x）的单调递增区间.故选A. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. （2025·全国Ⅰ卷4题）已知点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x－ ）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A. B. C. D. √ 函数y＝tan x的对称中心为（ ，0），k∈Z； 单调递增区间为（－ ＋kπ， ＋kπ），k∈Z. 解析： 　令x－ ＝ ，k∈Z，得x＝ ＋ ，k∈Z，故y＝2tan（x－ ）的图象的对称中心为（ ＋ ，0），k∈Z，由题意知a＝ ＋ ， k∈N，其最小值为 .故选B. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 A. f（x）的一个周期为 B. f（x）的图象关于直线x＝ 对称 C. f（x）的一个零点是 D. f（x）的最大值为1，最小值为－1 3. 〔多选〕设函数f（x）＝ cos （2x－ ），则下列结论正确的是（　　） √ √ 函数y＝ cos x的对称轴为x＝ kπ，k∈Z；对称中心为 （kπ＋ ，0），k∈Z；零点 为x＝ ＋kπ，k∈Z. 解析： 　因为最小正周期T＝ ＝ ＝π，故A错误；因为f（ ） ＝ cos （2× － ）＝1，故B正确，C错误；因为f（x）＝ cos （2x－ ）中A＝1，所以f（x）的最大值为1，最小值为－1，故D正确. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 　 4. 要得到函数y＝ sin （4x－ ）的图象，只需将函数y＝ sin 4x的图象 向 平移 个单位长度. 右 ​ 平移变换：左“＋”右“－”， 一定要注意对x前的系数的处理. 解析：要得到y＝ sin （4x－ ）＝ sin ［4（x－ ）］的图象，只需将y ＝ sin 4x的图象向右平移 个单位长度即可. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 5. 已知函数f（x）＝ sin （2x＋φ）－ cos （2x＋φ）（0＜φ＜π）是定 义在R上的奇函数，则f（－ ）＝ 　　－ 　　. － y＝A sin （ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数；当φ＝kπ＋ （k∈Z）时为偶函数.　 解析：f（x）＝ sin （2x＋φ）－ cos （2x＋φ）＝2 sin （2x＋φ－ ），可得φ－ ＝kπ（k∈Z），又0＜φ＜π，∴φ＝ ，∴f（x）＝2 sin 2x，∴f（－ ）＝2 sin （－ ）＝－ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 典例·讲解 典例精析 强技提能 目 录 考点一　图象变换 【例1】　（1）把函数y＝ cos x图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵 坐标不变），再将图象上所有的点向右平移 个单位长度，得到函数y＝f （x）的图象，则f（x）＝（　　） A. cos （2x－ ） B. cos （2x－ ） C. cos （ x－ ） D. cos （ x－ ） √ 【易错提醒】　对于y＝ sin x（或y＝ cos x）的图象，变为y＝ sin ωx（或y＝ cos ωx）的图象时，x的变化量为原来的 倍. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 把函数y＝ cos x图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不 变）后的图象对应的函数为y＝ cos 2x，再将图象上所有的点向右平移 个单位长度后的图象对应的函数为y＝ cos ［2（x－ ）］＝ cos （2x－ ）.故选B. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）（2025·江苏南通二模）将函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）的 图象向左平移 个单位长度后与函数g（x）＝ cos （ωx＋ ）的图象重 合，则ω的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 √ 解析： 　将f（x）＝ sin （ωx＋ ）的图象向左平移 个单位长度，得 到y＝ sin ［ω（x＋ ）＋ ］＝ sin （ωx＋ ＋ ）＝ cos （ωx＋ ），则 ＝ ＋2kπ，k∈Z，所以ω＝3＋12k，k∈Z，又ω＞0，所以ω 的最小值为3.故选B. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练1】　（1）将函数y＝ sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后得到函 数y＝ cos 2x的图象，则φ可以是（　　） A. B. C. D. π √ 【易错提醒】　注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. 解析： 　因为y＝ cos 2x＝ sin （2x＋ ），将函数y＝ sin 2x的图象向 左平移φ个单位长度后得到函数y＝ sin [2（x＋φ）]＝ sin （2x＋2φ）的 图象，所以 sin （2x＋ ）＝ sin （2x＋2φ），则 ＋2kπ＝2φ，k∈Z， 所以φ＝ ＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝ ，k＝1时，φ＝ ，故选A. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）〔创新命题角度〕已知函数f（x）的部分图象如图1，则图2中的函 数图象对应的函数是（　　） A. y＝f（2x－ ） B. y＝f（ － ） C. y＝f（ －1） D. y＝f（2x－1） √ 解析： 　图2相对于图1进行了向右平移1个单位，再横向缩短为原来的 ，图2对应函数为y＝f（2x－1）.故选D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 考点二　图象与解析式 【例2】　（1）函数f（x）＝2 sin （2x＋φ）＋1（｜φ｜＜π）的部分图 象如图所示，则φ＝（　　） A. B. √ 【通性通法】　已知f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象求解析式，A易求，关键是求ω和φ，常有如下方法： （1）五点法：由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标x0，即可求出φ； （2）代入法：将一些已知点（最高点、最低点或“零点”）的坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ. C. D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 令f（x）＝2 sin （2x＋φ）＋1＝0，则 sin （2x＋φ）＝－ ， 根据图象得x＝－ 为函数零点，零点左右函数为上升趋势，则2×（－ ）＋φ＝2kπ－ ，k∈Z，则φ＝2kπ＋ ，k∈Z，因为｜φ｜＜π，则k＝ 0，φ＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝ sin x与y＝2 sin （3x－ ）的交点个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 √ 解析： 因为函数y＝ sin x的最小正周期为T＝ 2π，函数y＝2 sin （3x－ ）的最小正周期为T＝ ，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2 sin （3x－ ） 的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练2】　（1）〔创新交汇〕已知函数y＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0） 的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω＝ （　　） A. 1 B. C. π D. √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　连接BC交x轴于点E，由于A，B，C，D四点在同一个圆 上，且A，D和B，C均关于点E对称，故E为圆心，故｜AE｜＝｜ BE｜，｜AE｜＝ T＝ · ＝ ，｜BE｜＝ ＝ ，故 ＝ ，解得ω＝ ，故选D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）（2025·湖南长沙三模）已知函数f（x）＝2 sin x＋2 ｜ cos x｜， 若f（x）＝λ在［0， ］上有且仅有4个不相等的实数根，则λ的取值范 围为 ⁠. [2 ，4） 【瓶颈突破】　根据函数解析式作出函数图象，将方程的根的问题转化为f（x）的图象与直线y＝λ的交点个数的问题. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：由题意知，当x∈［0， ］时，f（x）＝2 sin x ＋2 ｜ cos x｜＝ 作 出f（x）在［0， ］上的图象，如图所示，结合图形可知，若f（x）＝λ在［0， ］上有且仅有4个不相等的实数根，则2 ≤λ＜4. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 考点三　三角函数的性质 【例3】　〔多选〕（2025·湖北武汉二调）函数f（x）＝ sin 2（x＋ ） ＋ sin 2（x＋ ），则下列关于f（x）的说法中正确的是（　　） A. 最小正周期是π B. 最大值是2 C. 在区间（ ， ）上单调递减 D. 图象关于点（ ，1）中心对称 √ √ 【通性通法】　研究三角函数的性质，首先化函数为f（x）＝A sin （ωx＋φ）＋B的形式，一定要保证ω＞0，否则易出错，然后结合正弦函数y＝ sin x的性质求f（x）的性质. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　f（x）＝ sin 2（x＋ ）＋ sin 2（x＋ ）＝ ＋ ＝ sin 2x－ cos 2x＋1＝ sin （2x－ ）＋1，则f （x）的最小正周期是 ＝π，故选项A正确；由三角函数的性质可知f （x）≤ ＋1，即f（x）的最大值是 ＋1，故选项B错误；x∈（ ， ）时，2x－ ∈（ ， ），因为y＝ sin z在z∈（ ， ）上单调递 减，故f（x）在区间（ ， ）上单调递减，故选项C正确； 高考专题辅导与测试·数学 目 录 令2x－ ＝kπ，k∈Z，解得x＝ ＋ ，k∈Z，故f（x）的图象的对称 中心为（ ＋ ，1），k∈Z，令 ＋ ＝ 得k＝ ∉Z，所以f（x）的 图象不关于点（ ，1）中心对称，故选项D错误.故选A、C. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练3】　（1）（2025·江西赣州一模）函数f（x）＝ 的最小正 周期是（　　） A. B. C. π D. 2π √ 【易错提醒】　易忽视函数的定义域致误. 解析： 　由f（x）＝ ＝tan 2x，可得x≠ ＋kπ，且x≠ ＋ π， k∈Z，故T＝π.故选C. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）已知函数f（x）＝（ sin x＋ cos x） cos x－ ，若f（x）在区间 ［－ ，m］上的值域为［－ ，1］，则实数m的取值范围是（　　） A. ［ ， ） B. ［ ， ］ C. ［ ， ） D. ［ ， ］ √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　依题意，函数f（x）＝ sin x cos x＋ cos 2x－ ＝ sin 2x＋ cos 2x＝ sin （2x＋ ），当x∈［－ ，m］时，2x＋ ∈［－ ，2m＋ ］，显然 sin （－ ）＝ sin ＝－ ， sin ＝1，且正弦函数y＝ sin x在 ［ ， ］上单调递减，由f（x）在区间［－ ，m］上的值域为［－ ，1］，得 ≤2m＋ ≤ ，解得 ≤m≤ ，所以实数m的取值范围 是［ ， ］. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）（2025·全国Ⅱ卷15题）已知函数f（x）＝ cos （2x＋φ）（0≤φ＜ π），f（0）＝ . ①求φ； ②设函数g（x）＝f（x）＋f（x－ ），求g（x）的值域和单调区间. 解：①因为f（0）＝ cos φ＝ ，且0≤φ＜π，所以φ＝ . ②g（x）＝f（x）＋f（x－ ）＝ cos （2x＋ ）＋ cos 2x＝ cos 2x cos － sin 2x sin ＋ cos 2x＝ cos 2x－ sin 2x＝ （ cos 2x－ sin 2x）＝ cos （2x＋ ）， 高考专题辅导与测试·数学 目 录 故函数g（x）的值域为[－ ， ]. 令2kπ－π≤2x＋ ≤2kπ（k∈Z），得kπ－ ≤x≤kπ－ （k∈Z）， 所以g（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ－ ］（k∈Z）. 令2kπ≤2x＋ ≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z）， 所以g（x）的单调递减区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 课后·训练 巩固强化 综合测评 （时间：45分钟，满分：79分） 目 录 一、单项选择题（每小题5分，共35分） 1. 函数f（x）＝x·tan x的奇偶性为（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　函数f（x）的定义域为{x｜x≠kπ＋ ，k∈Z}，关于原点对 称，又f（－x）＝（－x）tan（－x）＝xtan x＝f（x），故函数f（x） 为偶函数. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. （2025·湖南长沙模拟预测）函数f（x）＝｜ sin （2x＋ ）｜的最小 正周期是（　　） A. B. C. π D. 2π √ 解析： 　因为函数y＝ sin （2x＋ ）的最小正周期T＝ ＝ ＝π，所 以函数f（x）＝｜ sin （2x＋ ）｜的最小正周期为 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. 若f（x）＝ sin （2x＋ ）在区间[－t，t]上单调递增，则实数t的取 值范围为（　　） A. （0， ］ B. （0， ］ C. （0， ］ D. （0，π] √ 解析： 　∵0∈[－t，t]，∴只需考虑f（x）的含0的单调递增区间.由 － ≤2x＋ ≤ ，得－ ≤x≤ ，∴－ ≤－t＜t≤ ，解得0＜t≤ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. （2025·浙江名校协作体考试）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞ 0）满足f（ ）＝1，最小正周期为π，函数g（x）＝ sin 2x，则为得到g （x）的图象，需将f（x）的图象向左平移（　　） A. 个单位长度 B. 个单位长度 C. 个单位长度 D. 个单位长度 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　由题意知， ＝π，得ω＝2，所以f（x）＝ sin （2x＋φ），又 f（ ）＝1，所以2× ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，得φ＝－ ＋2kπ，k∈Z， 所以f（x）＝ sin （2x－ ＋2kπ）＝ sin （2x－ ）＝ sin ［2（x－ ）］，又g（x）＝ sin 2x，故为得到g（x）的图象，需将f（x）的图 象向左平移 个单位长度.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 5. （2025·天津河西一模）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）图 象的一条对称轴是x＝ ，且在[0，π]上有且仅有两个对称中心，则函数f （x）的解析式为（　　） A. f（x）＝ sin （ x＋ ） B. f（x）＝ sin （ x＋ ） C. f（x）＝ sin （2x＋ ） D. f（x）＝ sin （ x＋ ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）图象的一条对称轴 是x＝ ，则 ＋ ＝kπ＋ （k∈Z），解得ω＝2k＋ （k∈Z），当 0≤x≤π时， ≤ωx＋ ≤πω＋ ，因为函数f（x）在[0，π]上有且仅有 两个对称中心，则2π≤πω＋ ＜3π，解得 ≤ω＜ ，故ω＝ ，所以f （x）＝ sin （ ＋ ）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 6. （2025·浙江绍兴一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游 客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距 离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，均匀设置有48个座舱（按顺时针 依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到 距离地面最近的位置进舱，转一周需要30 min.甲、乙两户家庭去坐摩天 轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座 舱开始计时，10 min内（含10 min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一 样的情况，则k的最小值是（　　） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　设乙家庭转动t min出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，0＜ t≤10，只需考查旋转的第一周内即可，而摩天轮的座舱每分钟转动 ＝ ，则乙家庭的座舱t min转过的弧度数为 t，摩天轮的两个相邻座舱中 点间的圆弧所对圆心角为 ＝ ，甲家庭的座舱转过的弧度数为 ＋ t，依题意，甲、乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对 称，则 ＋ t＋ t＝2π，整理得k＝48－ t＋1≥17，当且仅当 t＝10时取等号，所以k的最小值是17.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 7. （2025·广东广州一模）已知ω＞0，曲线y＝ cos ωx与y＝ cos （ωx－ ）相邻的三个交点构成一个直角三角形，则ω＝（　　） A. π B. π C. π D. π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　法一　作出y＝ cos ωx与y＝ cos （ωx－ ）（ω＞0）的部分图象，如 图，设两个函数图象相邻的三个交点为 A，B，C，则易知∠ABC＝ .由 cos ωx＝ cos （ωx－ ）得，ωx＋ωx－ ＝2kπ，k∈Z，所以ωx＝ ＋kπ，k∈Z，x＝ ＋ ，k∈Z. 分别令k＝0，1，2可得A（ ， ），B（ ，－ ），C（ ， ），由 · ＝0可得（ ，－ ）·（－ ，－ ）＝0，所以 ＝3，所以ω＝ π.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法二　由题意，两曲线相邻的三个交点构成直角三角形，且直角边长度相 等.根据三角函数图象性质，相邻的两个交点横坐标差为 ，因此直角三角 形的斜边长度为 .利用勾股定理，可得：（ ）2＋（ ）2＝（ ）2， 解得ω＝ π.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 8. （2025·山东日照一模）已知函数f（x）＝ sin （2x＋ ），则下列说 法中正确的有（　　） A. f（x）的图象关于直线x＝ 对称 B. f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称 C. f（x）在（－ ， ）上单调递增 D. 若f（x1）－f（x2）＝2，则｜x1－x2｜的最小值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　A选项，x＝ 时，2x＋ ＝ π，因为x＝ π不是y＝ sin x的 对称轴，故A错误；B选项，x＝ 时，2x＋ ＝π，因为（π，0）是y＝ sin x的对称中心，故B正确；C选项，x∈（－ ， ）时，2x＋ ∈（－ ， ），因为y＝ sin x在（－ ， ）上单调递增，故C正确；D选项，因 为f（x）max＝1，f（x）min＝－1，由f（x1）－f（x2）＝2得f（x1）＝ 1，f（x2）＝－1，所以｜x1－x2｜的最小值即为两条相邻对称轴之间的距 离，即为 T，因为T＝ ＝π，所以｜x1－x2｜的最小值为 ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 9. （2025·辽宁二模）如图是不慎丢失部分图象后，函数f（x）＝2tan （ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜ ）的局部图象，则下列结论正确的是（　） A. f（x）的最小正周期为 B. （ ，0）是f（x）图象的一个对称中心 C. ｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z） D. f（x）的图象是由函数y＝2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再将得到的函数图象向右平移 个单位长度得到的 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　由图象可知f（x）的最小正周期为T＝ ［ －（－ ）］＝ ，故A正确；由T＝ ＝ ，则ω＝2，即f（x）＝2tan（2x＋φ），由图 象的对称性可知（ ，0）为函数f（x）的一个对称中心，且在函数图象 上，所以f（ ）＝2tan（ ＋φ）＝0，因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ，则f （x）＝2tan（2x－ ），因为f（ ）＝2tan（ － ）＝2≠0，所以 （ ，0）不是f（x）图象的一个对称中心，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 令2x－ ＝ ，k∈Z，解得x＝ ＋ ，k∈Z，所以函数f（x）的对称 中心为（ ＋ ，0），则｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝ ＋ ， k∈Z，故C正确；由函数y＝2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到y＝2tan 2x，再向右平移 个单位长度，得到y＝ 2tan［2（x－ ）］＝2tan（2x－ ）≠f（x），故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 10. （2025·浙江温州二模）已知函数f（x）＝ sin x，g（x）＝ cos x，则 以下两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（　　） A. y＝f（x）－g（x）与y＝ f（x） B. y＝[f（x）]2－[g（x）]2与y＝f（x）g（x） C. y＝f[f（x）]与y＝f[g（x）] D. y＝f[f（x）]与y＝g[f（x）] √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　对于A选项，f（x）－g（x）＝ sin x－ cos x＝ sin （x－ ），函数y＝ f（x）＝ sin x，所以这两个函数的图象能通过平移重 合，A正确；对于B选项，[f（x）]2－[g（x）]2＝ sin 2x－ cos 2x＝－ cos 2x，f（x）g（x）＝ sin x cos x＝ sin 2x，函数y＝[f（x）]2－[g （x）]2的振幅为1，函数y＝f（x）g（x）的振幅为 ，所以y＝[f （x）]2－[g（x）]2与y＝f（x）g（x）的图象不能通过平移重合，B错 误；对于C选项，因为f[f（x）]＝ sin （ sin x），f[g（x）]＝ sin （ cos x）＝ sin ［ sin （x＋ ）］，将函数y＝f[f（x）]的图象向左平移 个单 位长度可与函数y＝f[g（x）]的图象重合，C正确；对于D选项，g[f（x）]＝ cos （ sin x）＝ sin （ sin x＋ ），函数y＝f[f（x）]与y＝g[f（x）]的图象不能通过平移重合，D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 三、填空题（每小题5分，共15分） 11. 已知函数f（x）＝2 sin （ωx－ ）（ω＞0）的图象关于点（ ，0） 对称，则f（x）的最小正周期可能是 （写出一个满 足条件的答案即可）. 解析：∵函数f（x）＝2 sin （ωx－ ）（ω＞0）的图象关于点（ ，0） 对称，∴ ω－ ＝kπ，k∈Z，解得ω＝4＋6k，k∈Z. ∵ω＞0，∴ω＝4 ＋6k，k∈N，f（x）的最小正周期为T＝ ＝ ，k∈N，当k＝0 时，f（x）的最小正周期为T＝ . （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 12. 函数f（x）＝｜ sin x｜＋ cos x的最小值为 ⁠. 解析：法一（观察法）　因为当x＝2kπ＋π （k∈Z）时，函数y＝｜ sin x｜和y＝ cos x都取最 小值，且最小值分别为0和－1，所以函数f（x） ＝｜ sin x｜＋ cos x的最小值为0＋（－1）＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法二（利用周期函数的性质）　因为f（x＋2π）＝｜ sin （x＋2π）｜＋ cos （x＋2π）＝｜ sin x｜＋ cos x，所以2π是函数f（x）的一个周期，所以求函数f（x）的最小值，只需求出其在一个周期内的最小值即可.下面考虑x∈[0，2π）.f（x）＝｜ sin x｜＋ cos x＝ 作出函数f（x）在[0，2π）上的大致图象，如图，所以当x＝π时，函数f（x）＝｜ sin x｜＋ cos x取得最小值－1.故函数f（x）的最小值为－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 13. 已知函数f（x）＝ sin （2ωx＋ ）（ω＞0）的最小正周期为π，f （x）在（－ ， ）上的图象与直线y＝a交于点A，B，与直线y＝ a 交于点C，D，且｜AB｜＝2｜CD｜，则a＝ ⁠. ​ 解析：因为函数f（x）＝ sin （2ωx＋ ）的最小正周 期为π，且ω＞0，所以 ＝π⇒ω＝1.所以f（x）＝ sin （2x＋ ）.当x∈（－ ， ）时，2x＋ ∈（0， π），所以 sin （2x＋ ）∈（0，1].作函数f（x）＝ sin （2x＋ ），x∈（－ ， ）的草图如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称，设｜CD｜＝2t，则B（ ＋2t，a），D（ ＋t， a）.0＜t＜ ，所以 sin ［2（ ＋t）＋ ］＝ sin ［2（ ＋2t）＋ ］⇒ cos 2t＝ cos 4t⇒ cos 2t＝ （2 cos 22t－1）⇒2 cos 22t－ cos 2t－ ＝0，解得 cos 2t＝ 或 cos 2t＝－ （舍去）.所以a＝ sin ［2（ ＋2t）＋ ］＝ cos 4t＝2 cos 22t－1＝2× －1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【高考新风向】（14题6分，15题5分，共11分） 14. 〔创新考法〕〔多选〕设函数f（x）＝ ，则（　　） A. f（x）的图象有对称轴 B. f（x）是周期函数 C. f（x）在区间（0， ）上单调递增 D. f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　函数f（x）的定义域为x≠ ，k∈Z，关于原点对称.∵f （－x）＝ ＝ ＝ ＝f（x），∴f（x） 是偶函数，关于y轴对称，故A正确；∵f（x＋2π）＝ ＝ ＝f（x），∴T＝2π是函数f（x）的一 个周期，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 f（x）＝ ，∵f（ ）＝ ＝ ＞0，f（ ）＝ ＝0，显然 f（ ）＞f（ ），故f（x）在区间（0， ）上不单调递增，故C错误； f（ －x）＋f（ ＋x）＝ ＋ ＝ ＋ ＝0，∴f（x）的图象 关于点（ ，0）中心对称.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 15. 〔创新交汇〕如图，将绘有函数f（x）＝M sin （ x＋φ）（M＞0， 0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，此时A，B之间的距离为 ，则φ＝ 　​ 　. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：如图，设C，D分别为x轴上 的两点，且AC⊥x轴，BD⊥x轴， 因为f（x）的最小正周期T＝ ＝ 6，所以｜CD｜＝ ＝3，又｜AC｜ ＝M，｜BC｜＝ ＝ ，当折成直二面角时，因为 AC⊥x轴，AC⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，所以AC⊥ 平面BCD，又BC⊂平面BCD，所以AC⊥BC，所以｜AB｜＝ ＝ ＝ ，解得M＝1（负值已舍去）， 所以f（x）＝ sin （ x＋φ），所以f（0）＝ sin φ＝ ，因为0＜φ＜π，所以φ＝ 或 ，又因为函数f（x）在y轴右侧附近单调递减，所以φ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $