19.2二次根式的乘法与除法 第2课时二次根式的除法 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

19.2二次根式的乘法与除法 第2课时 二次根式的除法 知识分点练 夯基础 知识点1 1．计算的结果为（   ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法．二次根式相除，把系数相除作为商的系数，被开方数相除，作为商的被开方数，并化为最简二次根式． 【详解】解：． 故选：B． 2．______． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是掌握相应的运算法则，根据二次根式的除法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 3．__________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的除法计算，直接根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）直接计算二次根式的除法即可； （2）直接计算二次根式的除法即可； （3）直接计算二次根式的除法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 知识点2 5．化简： （1）__________． （2）__________． （3）__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．正确化简二次根式是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （2）先将被开方数化为正分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （3）先将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简． 【详解】解：（1）∵ = ，而 ，， ∴原式 = . 故答案为： . （2）， . 故答案为：． （3）， . 故答案为：． 6．化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的除法，熟练掌握二次根式的性质以及运算法则是解答的关键． （1）根号内分子、分母乘以即可求解． （2）分母乘以即可求解； （3）根号内的分数先化为假分数，即可求解． （4）根号内分子、分母乘以即可求解． （5）根据二次根式的除法进行计算，再根据二次根式的性质化简，即可求解； （6）根据二次根式的除法进行计算，再根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 知识点3 二次根式的除法的应用 7．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 【答案】(1) (2)0.27m． 【分析】（1）已知摆长，直接代入周期公式​​计算即可； （2）已知周期，通过公式变形求解摆长． 【详解】（1）解：已知，，，代入公式： ． （2）解：已知，对公式变形得： 代入、、： ． 【点睛】本题考查了二次根式的实际应用，解题关键是熟练代入公式计算，并根据已知量对公式进行合理变形，同时注意近似值的计算精度． 能力综合练 练思维 8．计算： （1）_____； （2）__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）应用二次根式的除法法则，将除法转化为被开方数的除法即可； （2）应用二次根式的除法法则，先计算被开方数的除法，再开方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 故答案为：，，． 9．三角形的面积为，底边长为，则底边上的高为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式乘除法的应用，三角形的面积公式，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． 利用三角形面积公式求解即可. 【详解】解：设底边上的高为 ， 由题意，得 ， 化简得 ， 解得 . 故答案为：. 10．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握算理是解决问题的关键．将代入进行计算即可；将代入进行计算，再计算与的比值即可得出结论． 【详解】解：当时，（秒； 当时，（秒； ， 故答案为：． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则计算即可； （2）利用二次根式的除法法则计算即可； （3）利用二次根式的除法法则计算即可； （4）利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 12．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． （1）先化简，再根据二次根式乘除法法则计算即可得答案； （2）先化简各二次根式、将除法转化为乘法，再计算乘法即可； （3）先将二次根式化简，然后计算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的长、宽分别是，．现将一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了． (1)求玻璃容器的容积； (2)求玻璃容器的底面半径（π取）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、长方体体积公式、圆柱体体积公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据长方体体积公式计算即可； （2）根据（1）算出的体积，再运用圆柱体体积公式计算即可解答． 【详解】（1）解：， 答：玻璃容器的容积为； （2）设玻璃容器的底面半径为， 则， 因为π取，则， 解得：（取正值）， 答：玻璃容器的底面半径为． 拓展探究练 提素养 14．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，二次根式的运算． （1）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a与是关于8的共轭二次根式， ∴． ∴． （2）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 15．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． (1)下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）； (2)写出根分式中的取值范围______； (3)已知两个根分式，．若，求的值； 【答案】(1)③ (2)且 (3) 【分析】（1）根据根分式的定义可得答案； （2）由二次根式与分式有意义的条件可得答案； （3）根据列分式方程，再解方程并检验即可． 【详解】（1）解：①的分子不是二次根式，不是根分式， ②的分母不是整式，不是根分式， ③是根分式， 故答案为：③ （2）由题意得：且， 解得：且， 故x的取值范围是：且； 故答案为：且； （3）当，时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解； 【点睛】本题考查的是根分式的含义，二次根式有意义的条件，分式方程的解法，理解题意，根据新定义的含义作答是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2二次根式的乘法与除法 第2课时 二次根式的除法 知识分点练 夯基础 知识点1 1．计算的结果为（   ） A．9 B．3 C． D． 2．______． 3．__________． 4．计算下列各式： (1) (2) (3) 知识点2 5．化简： （1）__________． （2）__________． （3）__________． 6．化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 知识点3 二次根式的除法的应用 7．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 能力综合练 练思维 8．计算： （1）_____； （2）__________． 9．三角形的面积为，底边长为，则底边上的高为__________． 10．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为________． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．计算： (1)； (2)； (3)． 13．一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的长、宽分别是，．现将一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了． (1)求玻璃容器的容积； (2)求玻璃容器的底面半径（π取）． 拓展探究练 提素养 14．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 15．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． (1)下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）； (2)写出根分式中的取值范围______； (3)已知两个根分式，．若，求的值； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $