19.2二次根式的乘法和除法 第1课时二次根式的乘法 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

19.2二次根式的乘法和除法 第1课时二次根式的乘法 知识分点练 夯基础 知识点1 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键． 二次根式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式即可． 【详解】解：． 故选B． 2． ______． 【答案】 【详解】解：根据二次根式的乘法法则，可得：． 3．_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，核心知识点为二次根式的乘法法则：．先利用法则将两个二次根式合并为一个二次根式，计算根号内的乘积后，再化简二次根式得到最终结果． 【详解】解：； 故答案为：． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算二次根式的乘法以及化简二次根式，即可解答； （2）先计算二次根式的乘法以及化简二次根式，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：． 知识点2 5．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)70 (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘法计算即可； （2）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴． 6．计算： （1）________． （2）________． 【答案】 60 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握此知识点是解题的关键． （1）利用二次根式的乘法运算法则，将被开方数拆成两个数的乘积，分别开方后相乘即可； （2）利用二次根式的乘法运算法则，将被开方数分别开方后相乘即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：． （2） ， 故答案为：． 7．化简的结果是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 根据二次根式的性质和绝对值的定义，二次根式的乘法，结合给定条件化简即可． 【详解】解： ． ，， ，， 原式， 故答案为：． 8．若，，则的值用，可以表示为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，化简二次根式，，而，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 9．化简： (1)． (2)（，）． 【答案】(1)120 (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，掌握相应的运算法则是关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 10．阅读下面的材料，并完成相应任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，所以 小明： 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 任务： (1)猜想：当时和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：． (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)24 (3)16 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键． （1）由题意可得，即可解答； （2）根据，即可求解； （3）由长方形的面积可求，再化简求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得； （2）解：； （3）解：长方形的长为，宽为， ， 答：这个长方形的面积为16． 能力综合练 练思维 11．化简与计算：_____，______，_____． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式的化简和计算，解题的关键是掌握以上运算法则． 第一题根据二次根式的化简法则进行化简即可；第二题先化简根号内的分数，再有理化分母；第三题应用积的乘方公式计算． 【详解】解： ； ； ． 故答案为：，，． 12．已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用算术平方根的非负性求出x、y值，估算的取值范围求得m值，进而可求解． 【详解】解：x，y满足等式，，， ∴，， 解得，， ∵m是的小数部分，， ∴， ∴． 13．小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算与化简，掌握好相关知识是关键． 先计算长方形的面积，再根据正方形面积相等求边长． 【详解】解：长方形的面积为， ∵正方形的面积与长方形相等， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 14．已知a，b都是实数，m为整数，若，则称a与b是关于m的一组“平衡数”．例如：与是关于1的“平衡数”．若，，则与_____________（填“是”或“不是”）关于某数的一组“平衡数”． 【答案】是 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，完全平方公式，对“平衡数”的定义的理解，读懂题意，理解“平衡数”的定义是解题关键． 计算，根据是否符合“平衡数”的定义即可判断． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， 其中为整数，故与是关于的一组“平衡数”． 故答案为：是． 15．某小区做园林规划设计时，将图纸上的一块长为，宽为的长方形的花坛改成等面积的圆形，则这个圆形花坛的半径是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、长方形和圆的面积公式，解题的关键是根据面积相等建立方程求解半径． 先计算长方形的面积，再根据圆的面积公式列出方程，求解半径． 【详解】解：长方形的面积为 设圆的半径为，则圆的面积为， 由题意可知，即， ， ∴（半径为正数，舍去负根） 故答案为：． 16．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】本题考查了整式的混合运算，二次根式的乘法，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据多项式除以单项式、完全平方公式化简式子，再代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 拓展探究练 提素养 17．我们知道，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．由算术平方根的意义，都是实数，二次根式也是实数，它满足实数的加、减、乘、除运算法则．二次根式的乘法法则是：．例如： ．反之 (1)若有意义，写出一个符合条件的的值_____； (2)计算：①，②． (3)化简：①，②． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①；② (3)①；② 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的乘法以及二次根式的性质； （1）根据二次根式有意义的条件可得，即可求解； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可求解； （3）根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得： ∴一个符合条件的的值可以是 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：① ② （3）解：① ②根据题意得：，故 20．【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 【答案】 【观察·发现】④；⑤；⑥ 【归纳·猜想】 【应用·运算】①，验证见解析；② 【分析】本题考查了实数的规律题． [观察·发现]由题干中的已知等式即可得出答案； [归纳•猜想]由已知等式总结规律即可； [应用•运算]①由所得规律即可求得答案，然后将原式计算并验证即可； ②由所得规律求得m，n的值后代入原式计算即可． 【详解】解：[观察·发现]由已知等式可得④，⑤，⑥， 故答案为：④；⑤；⑥； [归纳·猜想]如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为， 故答案为：； [应用·运算]①由所得规律可得，验证如下： ， 故答案为：； ②若， 则，， 解得：，， 则， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2二次根式的乘法和除法 第1课时二次根式的乘法 知识分点练 夯基础 知识点1 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2． ______． 3．_____． 4．计算： (1)； (2)． 知识点2 5．化简： (1)； (2)． 6．计算： （1）________． （2）________． 7．化简的结果是__________． 8．若，，则的值用，可以表示为___． 9．化简： (1)． (2)（，）． 10．阅读下面的材料，并完成相应任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，所以 小明： 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 任务： (1)猜想：当时和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：． (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 能力综合练 练思维 11．化简与计算：_____，______，_____． 12．已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 13．小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为________． 14．已知a，b都是实数，m为整数，若，则称a与b是关于m的一组“平衡数”．例如：与是关于1的“平衡数”．若，，则与_____________（填“是”或“不是”）关于某数的一组“平衡数”． 15．某小区做园林规划设计时，将图纸上的一块长为，宽为的长方形的花坛改成等面积的圆形，则这个圆形花坛的半径是_____． 16．先化简，再求值：，其中，． 拓展探究练 提素养 17．【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $