19.1二次根式及其性质 第2课时二次根式的性质 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

19.1 第2课时 二次根式的性质 知识分点练 夯基础 知识点1 1．计算： 2．计算： 3．化简： (1) (2) (3) (4) 知识点2 4．计算： （1）______； （2）______； （3）______． 5．化简： (1)_____； (2)_____； (3)_____； (4)_____． 6．若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 7．化简下列各式： (1) (2) (3) (4) (5) 知识点3 8．已知实数满足，求的值． 9．若，则的立方根是________． 能力综合练 练思维 10．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 11．已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 12．电流通过导线时会产生热量．电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足：．已知导线的电阻，1s的时间导线产生30J的热量，则电流为______A．（结果用二次根式表示） 13．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 14．解下列各题． (1)已知，求的平方根； (2)已知，求代数式的值． 拓展探究练 提素养 15．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 16．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1 第2课时 二次根式的性质 知识分点练 夯基础 知识点1 1．计算： 【答案】2 【详解】解 ：． 2．计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质将原式转化为绝对值形式，再根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解： ． 【点睛】根据二次根式的性质，，不能直接去掉根号，而应先转化为绝对值，因为，所以． 3．化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)7 (2) (3) (4)8 【分析】本题考查了二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． （2）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． （3）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． （4）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解： 知识点2 4．计算： （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质．根据公式，计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 5．化简： (1)_____； (2)_____； (3)_____； (4)_____． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简．根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）； （3）； （4）． 故答案为：，，； 6．若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 将代入中得：． ∴． 故选:C． 7．化简下列各式： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． （1）运用二次根式的性质化简； （2）运用二次根式的性质化简； （3）运用二次根式的性质化简； （4）运用二次根式的性质化简； （5）先逆用积的乘方法则和幂的乘方法则，再运用二次根式的性质化简． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． （5）解：原式． 知识点3 8．已知实数满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件得到，即，化简，整理后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴， 可化为， 整理得， ， 解得． 9．若，则的立方根是________． 【答案】2 【分析】根据平方、二次根式的非负性可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， ∴， ∴的立方根是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查平方、二次根式的非负性以及求立方根，得到，是解题的关键． 能力综合练 练思维 10．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴的定义得：， 则，， 因此 ， ． 11．已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 12．电流通过导线时会产生热量．电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足：．已知导线的电阻，1s的时间导线产生30J的热量，则电流为______A．（结果用二次根式表示） 【答案】 【分析】将已知量代入物理公式，即可求得电流的值． 【详解】解：电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足：， 将，，代入，得， 解得：或（负值，舍去） 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是将已知量代入公式计算，比较简单． 13．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）把转化为，再利用二次根式的性质解答即可； （）利用二次根式的性质解答即可； （）利用二次根式的性质解答即可； （）利用负整数指数幂把被开方数转化为，再利用二次根式的性质解答即可； 本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 14．解下列各题． (1)已知，求的平方根； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件及代数式的化简求值，解题关键是利用二次根式的被开方数非负确定未知数的值，通过代数式变形（降幂）简化求值过程． （1）根据二次根式被开方数非负，求出x的值，代入得y，计算后求平方根． （2）由变形得，两边平方得到降幂式，代入代数式逐步化简求值． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ， 的平方根为． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 拓展探究练 提素养 15．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键． （1）根据规律运算即可； （2）根据规律运算即可； （3）根据规律运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3） 解：原式 ． 16．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $