19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

19.1二次根式及其性质（第1课时�二次根式的概念） 知识分点练 夯基础 知识点1 二次根式的定义 1．下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 2．下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义（形如且的式子），逐一判断每个式子是否符合二次根式的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：根据二次根式的定义是形如（）的式子，需满足根指数为2且被开方数非负， ①：被开方数，根指数为2，是二次根式， ②：被开方数，无意义，不是二次根式， ③：，，根指数为2，是二次根式， ④：根指数为3，是三次根式，不是二次根式， ⑤：被开方数，根指数为2，是二次根式， ⑥：被开方数的取值随变化，可能小于0，不满足被开方数非负的确定性，不是二次根式， ⑦：，，，根指数为2，是二次根式， ∴符合条件的二次根式有①③⑤⑦，共4个． 故选：C． 3．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 知识点2 二次根式有意义的条件 4．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴二次根式的被开方数需满足非负条件，即， 解得． 5．若二次根式有意义，则负整数的值可以是（填一个即可）____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数为非负数，列出不等式求出x的取值范围，再选取符合要求的负整数即可. 【详解】解：根据二次根式的定义，二次根式有意义时被开方数为非负数， 因此对于，可得， 移项得， 系数化为，不等号方向改变，得， ∵要求为负整数， ∴所有负整数都满足条件，任写一个即可，例如． 6．当为何值时，下列各式有意义？ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)且 (4)取任意实数 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0． （1）根据被开方数非负得到不等式求解即可； （2）根据被开方数非负和分母不为0得到不等式求解即可； （3）根据被开方数非负和分母不为0得到不等式求解即可； （4）根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】（1）解：， 即， 所以当时，有意义； （2）解：，即， 所以当时，有意义； （3）解：，即且， 所以当且时，有意义； （4）解：因为，所以取任意实数，都有意义． 知识点3 二次根式的值 7．当时，二次根式的值为__． 【答案】1 【分析】直接把代入，进而求出答案． 【详解】解：当时，二次根式． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，直接代入x的值是解题关键． 8．已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是__________． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的非负性，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点． 能力综合练 练思维 9．若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是________． 【答案】2 【分析】此题考查了二次根式的性质，由是正整数，可知是完全平方数，设（为正整数），则，为使为正整数，需为偶数，令（为正整数），代入得，当时，取最小值2． 【详解】解：因为是正整数， 所以是完全平方数． 设（为正整数），则． 由于是正整数， 因此必须被2整除，即为偶数． 令（为正整数），则． 当时，， 此时，为正整数，满足条件． 故正整数的最小值为2． 故答案为：2． 10．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 11．若式子的值等于0，则x的值为________． 【答案】 3 【分析】根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），结合二次根式有意义的条件（被开方数非负），联立求解x的值． 【详解】解：要使式子的值为0，需满足以下条件： 1. 分子为0且二次根式有意义：，即，解得， 2. 分母不为0：， 当时，，满足二次根式有意义的条件，且，满足分母不为0的条件， 因此，x的值为3． 12．若x，y为实数，且，则_____． 【答案】4 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值， 再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得， 解得， 把代入， 得， 将，代入，得． 13．当x取何值时，下列二次根式有意义？ (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)x为任意实数 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、解不等式，熟知二次根式的被开方数为非负数是解答的关键． （1）根据二次根式的被开方数为非负数得到，进而解不等式即可； （2）根据二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为零得到，然后解不等式即可； （3）根据x为任意实数时，，即可解答． 【详解】（1）解：要使有意义，则，解得， 即当时，有意义； （2）解：要使有意义，分母，且被开方数， ∴，解得． 即当时，有意义； （3）解：因为，所以， 即无论x取何实数，都大于0，所以对任意实数x都有意义． 即当x为任意实数时，有意义． 14．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 拓展探究练 提素养 15．利用所学知识完成以下两题． (1)已知： 有意义，求的值． (2)已知，求： ①k、m、n的值是多少？ ②的值． 【答案】(1)5 (2)①4；5；1  ②3 【分析】本题考查了二次根式有意义，积的乘方，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据有意义，求出，再求出，然后代入进行计算，即可作答． （2）①因为，故，则，即可作答． ②把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：①∵， ∴， 即， ∴， 则， 解得， ②由①得， ∴． 16．已知，求的平方根. 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为． 17．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． (1)下列各式中，是根分式的是_______； A．    B．    C．    D． (2)写出根分式中的取值范围_______（直接写出答案）； (3)已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数x的值． 【答案】(1)B (2)且 (3)①不存在，经检验，是方程的增根；② 【分析】本题考查了二次根式的性质，解分式方程，正确的计算是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件进行计算即可求解； （3）①根据题意列出方程，解方程即可求解，最后要检验； ②先计算，根据是一个整数，求得的值，最后检验即可求解． 【详解】（1）解：A．的分子不是二次根式，不是根分式， B．的分母是整式，是根分式， C．的分母不是整式，不是根分式， D．不符合根分式的形式，不是根分式， 故选：B； （2）由题意得：且， 解得：且， 故x的取值范围是：且， 故答案为：且， （3）当与时， ①不存在的值使得，理由如下： ， ， ， ， 解得：， 经检验，是增根，原方程无解； 即不存在的值使得； ② ， ∵是一个整数， ∴是一个整数， 或， 解得：或或或1， 当时，意义；当或1时。不是无理数；当时，符合题意． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1二次根式及其性质（第1课时�二次根式的概念） 知识分点练 夯基础 知识点1 二次根式的定义 1．下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 知识点2 二次根式有意义的条件 4．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若二次根式有意义，则负整数的值可以是（填一个即可）____________． 6．当为何值时，下列各式有意义？ (1) (2) (3) (4) 知识点3 二次根式的值 7．当时，二次根式的值为__． 8．已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是__________． 能力综合练 练思维 9．若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是________． 10．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 11．若式子的值等于0，则x的值为________． 12．若x，y为实数，且，则_____． 13．当x取何值时，下列二次根式有意义？ (1) (2) (3) 14．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 拓展探究练 提素养 15．利用所学知识完成以下两题． (1)已知： 有意义，求的值． (2)已知，求： ①k、m、n的值是多少？ ②的值． 16．已知，求的平方根. 17．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． (1)下列各式中，是根分式的是_______； A．    B．    C．    D． (2)写出根分式中的取值范围_______（直接写出答案）； (3)已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数x的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $