第七章 复数单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数单元测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 2．“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 3．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 4．已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 5．复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 6．已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 7．设复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 8．著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 10．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（　　） A．z的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 11．关于非零复数，及其共轭复数，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数，为纯虚数，则实数________. 13．复数满足，则___________. 14．下列命题，其中正确的是________（填序号） ①已知 为实数，若 ，则 ②已知 为复数，若 ，则 ③已知 为向量，若 ，则 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．实数取何值时，复数是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 16．已知复数，. (1)若，求； (2)若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 17．欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，并建立了三角函数与指数函数的关联.在复变函数领域具有非常重要的地位.依据欧拉公式，解答下列问题： (1)求复数的模长； (2)求的共轭复数. 18．已知复数. (1)若是关于的方程的一个根，求的值； (2)若复数满足，且是纯虚数，求复数. 19．已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. (1)求的值； (2)求的值； (3)若复数满足，求的最大值. 2 / 3 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数单元测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先化简复数，再求． 【解析】， ， ，故B正确． 故选：B． 2．“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【解题思路】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【解析】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：B 3．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合向量的线性运算，利用复数的线性运算求解即可. 【解析】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 所以向量对应的复数为． 4．已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据点对应的复数求出其坐标，再利用等边三角形的性质求出点的坐标，最后根据复数的几何意义得到点对应的复数，进而求出其虚部. 【解析】已知点对应的复数为，根据复数的几何意义，所以点的坐标为. 所以向量.又因为为等边三角形， 所以，且. 又因为，所以，即. 设，则. 又因为 而，联立方程组可得 或. 由题可知点在第二象限，所以即点的坐标为. 即点对应的复数为.所以虚部为. 故选：C. 5．复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【解题思路】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状. 【解析】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中： ，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 6．已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【解题思路】求出对应的坐标，消去，即可得到点的轨迹. 【解析】设对应点的坐标为，则， 消去得，则点的轨迹为圆． 故选：B． 7．设复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值. 【解析】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示： 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，又， 故选：A. 8．著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用题设定义得，进而可得，结合条件，即可求解. 【解析】因为，则， 又，所以， 由，得到，又，且， 则，所以， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 【答案】AD 【解题思路】根据复数的概念逐项判断即可. 【解析】由题意可得， 所以的实部为，虚部为，， 复数对应的点为，在第一象限， 故选：AD 10．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（　　） A．z的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BD 【解题思路】先将的分母实数化，再求出的共轭复数，虚部，模长，点的坐标. 【解析】， ，故选项A错误；的虚部为，故选项B正确； ，故选项C错误； 在复平面内对应的点为，在第一象限，故选项D正确. 故选：BD. 11．关于非零复数，及其共轭复数，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】本题可根据复数的运算法则，分别对选项进行分析判断. 【解析】因为，，所以，. ， ， 则，选项A正确. ， ，所以，选项B正确. ， 显然，选项C错误. ， 则 则, 所以，选项D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数，为纯虚数，则实数________. 【答案】 【解题思路】根据纯虚数的概念得解. 【解析】因为复数，为纯虚数， 所以且， 解得， 故答案为： 13．复数满足，则___________. 【答案】 【解题思路】先设复数，再根据复数相等的定义可得. 【解析】设，则. 由，所以，根据复数相等的定义可得， ，解得，即. 故答案为：. 14．下列命题，其中正确的是________（填序号） ①已知 为实数，若 ，则 ②已知 为复数，若 ，则 ③已知 为向量，若 ，则 【答案】①③ 【解题思路】对于①两边平方化简即可判断，对于②设，，计算和进而判断，对于③由两边平方化简即可判断. 【解析】对于①：由两边平方有：，故①正确； 对于②：设，， 所以， 由平方得：，化简得； 又，若与不等价，故②错误； 对于③：由两边平方化简有：，故③正确. 故答案为：①③. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．实数取何值时，复数是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【解题思路】（1）根据复数为实数的性质进行求解即可； （2）根据虚数的定义进行求解即可； （3）根据纯虚数的定义进行求解即可. 【解析】（1）的实部为，虚部为． （1）复数是实数的充要条件是：， 所以当时复数为实数． （2）复数是虚数的充要条件是：且， 所以当且时复数为虚数 （3）复数是纯虚数的充要条件是：， 所以当时复数为纯虚数． 16．已知复数，. (1)若，求； (2)若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）应用复数的除法、加法运算求； （2）根据已知得，进而有，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【解析】（1）由题意得，， 所以，则； （2）设复数， 因为复数在复平面内对应点位于实轴上， 所以，即，则 所以， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值是. 17．欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，并建立了三角函数与指数函数的关联.在复变函数领域具有非常重要的地位.依据欧拉公式，解答下列问题： (1)求复数的模长； (2)求的共轭复数. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据欧拉公式结合复数模的计算公式计算即可； （2）根据欧拉公式结合共轭复数的概念计算即可. 【解析】（1），， 所以，所以复数的模长为. （2），复数的共轭复数为， 所以的共轭复数为 18．已知复数. (1)若是关于的方程的一个根，求的值； (2)若复数满足，且是纯虚数，求复数. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）将代入方程中，结合复数乘法运算法则计算即可得； （2）设，结合复数模长公式及复数乘法运算法则计算即可得. 【解析】（1）由是关于的方程的一个根， 所以，即有， 化简得，则； （2）设，所以， 又，且是纯虚数， 所以，解得或， 所以或. 19．已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. (1)求的值； (2)求的值； (3)若复数满足，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据条件，得，即可求解； （2）利用虚数单位的性质，即可求解； （3）设，根据条件，利用复数的几何意义和圆的性质，即可求解. 【解析】（1）因为复数是纯虚数， 则，解得，所以的值为. （2）由（1）知，又， 则， 所以. （3）设，由（1）知， 又，即，所以，即， 所以对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 又，其表示点到点的距离， 又，所以的最大值为. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $