第3章 圆 冲刺名校培优训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

第3章《圆》 冲刺名校培优训练 姓名：_________班级：____________ 一．选择题 1．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A．B． C． D． 2．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为5cm，那么点A与⊙O的位置关系是（　　） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 3．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　）cm． A． B．6 C．8 D．10 4．半径为r的正六边形的周长是（　　） A．r B．2πr C．6r D．6πr 5．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径（　　） A．9米 B．米 C．米 D．10米 6．如图，点A，B，C在⊙O中，若∠ACB＝50°，则∠ABO的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 7．如图，无人机巡检基站时，以基站中心O为圆心作圆形巡检区域，按八个方位将圆八等分（等分点为A∼H），连接AF，AB，FC，则∠FAB﹣∠AFC的度数为（　　） A．60° B．50° C．45° D．30° 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，动点P从点B出发沿BC运动到点C（端点B，C除外），以BP为直径作⊙O，交AB于点M，连接CM交⊙O于点N，连接BN，在运动过程中，同学们得到以下两个结论，关于这两个结论下列判断正确的是（　　） 结论1：∠BNC＝150°； 结论2：点N的运动路径长为． A．只有结论1正确 B．只有结论2正确 C．结论1、2均正确 D．结论1、2均不正确 9．如图，△ABC，以点A为圆心分别AB、AC长为半径画弧BGH、弧FCN，延长BC交弧BGH于点E，再以点E为圆心BC长为半径画弧交弧FCN于点D连接AE、AD，若∠BAC＝30°，∠BAD＝110°，则∠BEA的度数为（　　） A．40° B．50° C．55° D．80° 10．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以等边△ABC的边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形称为“莱洛三角形”．若AB＝6，则该“莱洛三角形”的周长等于（　　） A．6π B．4π C．2π D． 二．填空题 11．如图，点A、点B、点C在⊙O上，∠BAC＝130°，那么∠1的度数为　 　 ． 12．若某圆弧所在圆的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则这条弧长为 　 　 ． 13．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是　 　 ． 14．已知⊙O的半径为3cm，若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　 　 cm． 15．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，∠B+∠E＝154°，则所对的圆周角度数为　 　 ． 16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，，则阴影部分图形的面积为　 　 ． 17．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AB＝5，点E、F分别是BC、AD上的点，连接AE、BF交于点M，以AE为直径的圆O交BM于点G，且，∠DAE+∠C＝180°，则GE＝　 　 ；若BE＝6，BG＝　 　 ． 三．解答题 18．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是BC的中点，AC与半圆O相切于点D，BC与半圆O交于E，F两点． （1）求证：AB与半圆O相切； （2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求OA的长． 20．文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧AB，设圆弧所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB于D，连接OB．已知 AB＝12cm，CD＝2cm，求盏口半径OB的长度． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC于点F． （1）判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为4，∠C＝67.5°，求阴影部分的面积． 22．一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图所示方式摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线PB重合，边PG与量角器180°刻度线PA重合（∠DPC＝30°），将三角尺PDC绕量角器中心点P以每秒5°的速度按逆时针方向旋转，当边PC与180°刻度线PA重合时停止转动，设三角尺PDC转动的时间为t． 解答下列问题： （1）当t＝4时，边PD恰好与量角器　 　 度的刻度线重合； （2）在三角尺PDC的转动过程中： ①用含有t的代数式表示：∠BPC＝　 　 ；∠APC＝　 　 ； ②当t为何值时，边PC平分∠GPQ？ （3）在三角尺PDC的转动过程中，是否存在某一时刻t，使∠BPD＝2∠CPQ？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 23．在圆O中，直径AB交弦CD于E，连接AC和AD，点B是弧CD的中点． （1）如图1，∠C和∠D的数量关系是：　 　 ； （2）如图2，在（1）的条件下，点H在弧AC上连接HE并延长，交圆O于点G，连接AG，交CD于点F，若BE＝FE，求∠HAB的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若3HE＝5EG，，则线段AD的长为　 　 ． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C D C C C B A 二．填空题 11．100°． 12．． 13．60°． 14．3． 15．26°． 16．6π． 17．，． 三．解答题 18．证明：如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC平分∠DAC， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， ∵C在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线． 19．（1）证明：如图，连接OD、OA，过点O作OH⊥AB于点H， ∵AB＝AC，点O是BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， 由切线性质可知OD⊥AC， 而OH⊥AB， ∴OH＝OD， ∴AB与半圆O相切； （2）解：由（1）可知：OD⊥AC， ∴∠ODC＝90°， 在Rt△OCD中，CD＝4，CF＝2， ∴OC＝OF+CF＝OD+2， ∴OD2+42＝（OD+2）2， 解得：OD＝3， ∴OC＝OD+2＝3+2＝5， 由（1）可得：AO⊥BC， ∴∠AOC＝90°， ∴∠AOC＝∠ODC， 又∵∠ACO＝∠OCD， ∴△AOC∽△ODC， ∴， 即：， ∴， ∴OA的长为． 20．解：设OB＝OC＝rcm． ∵OC⊥AB， ∴AD＝DBAB＝6（cm）， 在Rt△ODB中，则有r2＝62+（r﹣2）2， 解得r＝10， 答：盏口半径OB的长度为10cm． 21．解：（1）DF与⊙O相切，理由如下： 连接OD，如图所示： ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B（等边对等角）， 又∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B（等边对等角）， ∴∠ODB＝∠C（等量代换）， ∴OD∥AC（同位角相等，两直线平行）， ∵DF⊥AC， ∴DF⊥OD， ∵点D在⊙O上， ∴DF是⊙O的切线； （2）连接OE，如图所示： ∵∠C＝67.5°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝67.5°（等边对等角）， ∴∠A＝45°， 又∵OA＝OE＝4， ∴∠OEA＝45°， ∴∠AOE＝90°， ∴， 所以阴影部分的面积为4π﹣8． 22．解：（1）∠BPD＝5°×4＝20°， 当t＝5时，边PD恰好与量角器20度的刻度线重合． 故答案为：20． （2）①由题意得∠BPD＝5°t， 则∠BPC＝∠DPC+∠BPD＝60°+5°t＝（60+5t）°，∠APC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（60+5t）°＝（120﹣5t）°， 故答案为：（60+5t）；（120﹣5t）； ②当边PC平分∠GPQ时，则∠APC＝45°， ∴180°﹣45°﹣60°＝5°t， ∴t＝15， ∴当t为15时，边PC平分∠GPQ； （3）当PC在PQ左侧时，如图， 则∠BPD＝5°t，∠CPQ＝∠BPQ﹣∠BPD﹣∠DPC＝90°﹣5°t﹣60°＝（30﹣5t）°， ∵∠CPQ＝2∠BPD ∴30﹣5t＝2×5t， 解得t＝2， 当PC在PQ右侧时，如图， 则∠BPD＝5°t，∠CPQ＝∠BPD+∠DCP﹣∠BPQ＝5°t+60°﹣90°＝（5t﹣30）°， ∵∠CPQ＝2∠BPD， ∴5t﹣30＝2×5t， 解得t＝﹣6（舍去）， 综上，在三角尺PDC的转动过程中，存在当t＝2时，使∠CPQ＝2∠BPD． 23．解：（1）在圆O中，直径AB交弦CD于E，连接AC和AD，点B是弧CD的中点， ∵B是弧CD的中点， ∴， ∵AB是直径， ∴， ∴， ∴∠C＝∠D． 故答案为：∠C＝∠D． （2）在（1）的条件下，点H在弧AC上连接HE并延长，交圆O于点G，连接AG，交CD于点F，若BE＝FE， 连接BG，过点E作EM⊥AG于点M，EN⊥BG于点N， ∴∠EMF＝∠ENG＝90°， ∵AB是直径， ∴∠AGB＝90°， ∴四边形EMGN是矩形， ∴∠MEN＝90°， ∵B是弧CD的中点， ∴CD⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∴∠MEN＝∠BED＝90°， ∴∠MEF＝∠NEB， 又∵∠EMF＝∠ENB＝90°，BE＝FE， ∴△MEF≌△NEB（AAS）， ∴EM＝EN， ∴矩形EMGN是正方形， ∴∠NGE＝45°， ∴∠HAB＝45°； （3）连接OD，OH，CH，DG， 设⊙O的半径为r，EH＝5x，则3×5x＝5EG， ∴EG＝3x， 由（2）知，∠HAB＝45°， ∴∠HOB＝90°， ∴OH2+OE2＝EH2， ∴， 化简得， ∵∠HEC＝∠DEG，∠CHE＝∠GDE， ∴△HEC∽△DEG， ∴， ∴CE•DE＝EH•EG＝5x•3x＝15x2， ∵直径AB⊥CD， ∴CE＝DE， ∴DE2＝EH•GH＝5x•3x＝15x2， ∴， ∵DE2+OE2＝OD2， ∴， 化简得， 解方程组， 得，（不合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/16 19:42:34；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $