第二章 二次函数 冲刺名校培优训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

《二次函数》 冲刺名校培优训练 班级：________姓名：_________ 一．选择题（每题3分，满分30分） 1．已知抛物线y＝（x+1）2﹣4，则该抛物线的对称轴为（　　） A．y轴 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝1 D．直线x＝2 2．要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 3．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）都在二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 4．观察下列表格，则一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解a所在的范围是（　　） x 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 x2﹣x ﹣0.24 ﹣0.09 0.24 0.75 1.44 2.3 A．0.9＜a＜1.2 B．1.2＜a＜1.5 C．1.5＜a＜1.8 D．1.8＜a＜2.1 5．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 6．若一个点的坐标满足（m，3m），我们将这样的点定义为“倍数点”．若关于x的二次函数y＝x2+x+n（n为常数）总有两个不同的倍数点，则n的取值范围是（　　） A．n＜1 B．n＜0 C．0＜n＜1 D．﹣1＜n＜0 7．如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（　　） A．8cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．32cm2 8．竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球达到最高度的是（　　） A．第2.5秒 B．第3秒 C．第3.5秒 D．第4秒 9．如图，玻璃水杯截面图的左右轮廓线AC，BD可看作某抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，该抛物线的顶点在y轴上．将盛有部分水的该玻璃水杯倾斜45°时，水面正好经过点B（即∠ABP＝45°）．下列结论中，错误的是（　　） A．此抛物线的解析式为y＝x2﹣16 B．直线PB的解析式为y＝x﹣4 C．点P到杯口AB的距离为5cm D．点P到点D的距离为cm 10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③3a+c＝0；④对于任意实数m，都有m（am+b）≥a﹣b；其中说法正确的是（　　） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 二．填空题（每题4分，满分24分） 11．抛物线y＝x2﹣6x+c与x轴只有一个交点，则c＝　 　 ． 12．某二次函数的图象如图所示，已知图象过点（0，0）和点（2，0），则该二次函数的对称轴为直线x＝　 　 ． 13．已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 　 　 ． 14．如图，函数y＝ax2+c与y＝mx+n的图象交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 　 　 ． 15．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60tt2．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是 　 　 m． 16．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，若点P（2023，m）在某段抛物线上，则m＝　 　 ． 三．解答题（共6小题.共66分） 17．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点的坐标为（1，0），抛物线与y轴交于点C（0，3），O为坐标原点． （1）求抛物线的解析式； （2）若该抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积是△AOC面积的，请求出点P的坐标． 18．某种杂交柑桔新品种，皮薄汁多，口感细嫩，风味极佳，深受人们喜爱，某果农种植销售过程中发现，这种柑桔的种植成本为6元/千克，日销量y（kg）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）直接写出y与x之间的函数关系式　 　 ； （2）设该果农每天销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式； （3）若果农每天销售这种柑桔不低于30kg且不超过60kg，求出每天的最大利润． 19．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．已知某函数的图象G由抛物线（y轴左侧的部分）与抛物线（y轴右侧部分）组合而成，此函数的函数表达式也可以表示为，点A、B均在此函数图象上，横坐标分别为m，﹣m． （1）当m＝1时，求点A与点B纵坐标的差； （2）当m≠0时，连接AB，过线段AB的中点P作垂直于y轴的直线l，当直线l与该函数的图象G有三个交点时，请画出图象，并结合图象，求m的取值范围； （3）当m＞0时，函数图象G在﹣m≤x≤m时，有最高点和最低点，把最高点和最低点纵坐标的差记作f（m），若f（m）≤5，求m的取值范围． 20．综合与实践 问题情境：飞碟射击，是一项兼具竞技性与观赏性的射击运动．在飞碟射击运动开始时，飞碟从地面上的发射器发射出去，在飞碟落地前，运动员用枪械（子弹沿直线运动，且飞行时间极短，可忽略不计）射击空中的飞碟．飞碟在空中的飞行路线可近似看作抛物线． 数学建模：某次训练中，运动员站在地面上的点A处，飞碟从发射器射出后，教练通过运动捕捉设备记录了飞碟的位移数据．如图1，以飞碟发射器所在位置为原点O，以AO所在直线为x轴，以过点O且与AO垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系．当飞碟距发射器的水平距离为40m时，到达最高点P，此时距离地面的高度为4m． 问题解决： （1）求抛物线的函数表达式； （2）若运动员水平持枪械射击（子弹沿水平方向运动），想在飞碟距发射器的水平距离为8m时将其击中，则她需要将枪械抬高到距离地面多少米的位置？ （3）如图2，若运动员倾斜持枪械射击（子弹运动方向与水平线呈一定角度），想在飞碟距离地面3m高的点F处将其击落，第一次瞄准后没有击中，该运动员表示飞碟运动到距点F水平距离为30m处的位置时重新射击，仍然可以将其击落．已知子弹射出时的位置点E距飞碟发射器的水平距离为20m，距地面的竖直高度为2m，请判断她的说法是否正确？并说明理由． 21．某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响． 添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内（0﹣120mg/kg），其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：dB＝0.05c+3． 在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：mg/kg），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度c（mg/kg） 0 20 40 60 80 100 120 保质期d（天） 3 5 8 10 9 7 4 （1）以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接． （2）①工厂分析发现，每增加10mg/kg添加剂，成本增加2元；而每延长1天/kg保质期，可减少5元的损失．若增加10mg/kg添加剂能使保质期延长超过　 　 天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）． ②若1kg面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为40mg/kg时，总成本（添加剂成本与损失之和）为　 　 元． （3）①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省　 　 mg/kg的添加剂（保留整数）． ②当浓度c在　 　 ≤c≤　 　 范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）． 22．已知直线y＝﹣x+3分别交x轴、y轴于点B、C，抛物线y＝﹣x2+bx+c过B、C两点，交x轴负半轴于点A． （1）如图1，求抛物线解析式； （2）如图2，横坐标为t的点D在第三象限抛物线上，过点D作y轴平行线，交过点C且与BC垂直的直线于点E，DE＝d，求d与t之间的函数关系式（不用写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，DE交x轴于点F，点G在OB上，OG＝EF，连接EG并延长交射线CB于点H，以EH为底边，在EH的上方作等腰直角△EHI，连接IG并延长交y轴于点K，点M在IG左侧的线段BC上，连接GM、IM，IMMG，连接EM交y轴于点N，连接DK、DN、KH，S△DKN，连接KH交抛物线于点P，求点P的横坐标． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C B A B D C D 二．填空题 11．9． 12．1． 13．a≤2． 14．x＜﹣1或x＞3． 15．600． 16．﹣1． 三．解答题 17．解：（1）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点的坐标为（1，0），抛物线与y轴交于点C（0，3），O为坐标原点． ∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（1，0）和C（0，3）， ∴将C（0，3）代入解析式，得c＝3， 将A（1，0）代入解析式，得1+b+3＝0，解得b＝﹣4 ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）∵A（1，0），O（0，0），C（0，3）， ∴OA＝1，OC＝3， ∴． ∵，∴． 令y＝x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3， ∴B（3，0），则AB＝3﹣1＝2． 设点P的坐标为（x，y）， ∵， ∴，得|y|＝1． 当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，即x2﹣4x+2＝0，解得， ∴或； 当y＝﹣1时，x2﹣4x+3＝﹣1，即x2﹣4x+4＝0，解得x＝2， ∴P（2，﹣1）． 综上，点P的坐标为． 18．解：（1）设y＝kx+b， ∵一次函数的图象过（8，120），（12，80）， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+200， 故答案为：y＝﹣10x+200； （2）设该果农每天销售利润为w元， 根据题意得，w＝（x﹣6）（﹣10x+200）＝﹣10（x﹣13）2+490； （3）∵w＝﹣10（x﹣13）2+490，30≤﹣10x+200≤60， ∴14≤x≤17， 当x＝14时，W最大＝480， 故答案为：480． 19．解：（1）把x＝m＝1代入y＝﹣x2+4x﹣3（x≥0），得，， 把x＝﹣m＝﹣1代入y＝x2+2x﹣3（x＜0），得， ∴yA﹣yB＝0﹣（﹣4）＝4； （2）当m＞0时； ∴A（m，﹣m2+4m﹣3），B（﹣m，m2﹣2m﹣3）， 过线段AB的中点P作y轴的垂线PQ， ∴， 由图可知，当m＞0时；图象最高点为（2，1）， 当m＜0时：图象最低点为（﹣1，﹣4）， ∴当直线PQ与抛物线G的函数图象有三个交点时，﹣4＜m﹣3＜1， 解得﹣1＜m＜4， ∴0＜m＜4； 当m＜0时， ∵A（m，m2+2m﹣3），B（﹣m，﹣m2﹣4m﹣3）， ∴， 由图可知，当直线PQ与抛物线G的函数图象有三个交点时，﹣4＜﹣m﹣3＜1， ∴解得：﹣4＜m＜1， ∴﹣4＜m＜0， 综上所述：当直线PQ与抛物线G的函数图象有三个交点时，﹣4＜m＜0或0＜m＜4； （3）当0＜m＜1时，A点纵坐标大于﹣3小于0，B点纵坐标小于﹣3大于﹣4， 此时，最高点为A点，最低点为B点，由函数图象知最高点和最低点纵坐标的差小于5； 当1≤m＜2时，最高点为A点，最低点为（﹣1，﹣4），A点纵坐标小于1， ∴f（m）＜1﹣（﹣4）＝5； 当2≤m＜3时，最高点为（2，1），最低点为（﹣1，﹣4）， ∴f（m）＝1﹣（﹣4）＝5； 当B点纵坐标为1时，m2﹣2m﹣3＝1， 解得． ∴m的值为； 当时，最高点为（2，1），最低点为（﹣1，﹣4）， ∴f（m）＝1﹣（﹣4）＝5； 当A点纵坐标为﹣4时，﹣m2+4m﹣3＝﹣4， 解得， ∴m的值为； 当时，最高点为B点，最低点为（﹣1，﹣4）， ∴f（m）＞1﹣（﹣4）＝5； 当时，最高点为B点，最低点为A点，此时f（m）＞1﹣（﹣4）＝5； 综上，当时，f（m）≤5． 20．解：（1）由题意得抛物线的顶点P（40，4）， 设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣40）2+4（a≠0）， ∵抛物线经过原点O（0，0）， ∴0＝1600a+4， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）当x＝8时，， 答：她需要将枪械抬高到距离地面1.44m的位置． （3）正确，理由如下： 如图，连接EF交抛物线于另一点Q， 由题意得E（﹣20，2）， 当y＝3时，， 解得x1＝20，x2＝60（舍去）， ∴F（20，3）， 设直线EF的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将E（﹣20，2），F（20，3）代入， 得， 解得， ∴直线EF的函数表达式为y， ∵点Q在y的图象上， ∴设Q（m，）， 又∵点Q在y4的图象上， ∴， 解得m1＝50，m2＝20（舍去）， ∴， ∵50﹣20＝30（m）， ∴她的说法正确． 21．解：（1）描点并连线为： （2）①设增加10mg/kg添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，则5x＞2， 解得x＞0.4， 即增加10mg/kg添加剂能使保质期延长超过0.4天，增加浓度是有利的， 故答案为：0.4； ②由题意可得，当c＝40时，d＝8， 即当添加剂A浓度为40mg/kg时，保质期为8天， 此时总成本为：2×（40÷10）+5×（10﹣8）＝8+10＝18（元）． 故答案为：18； （3）①由表格可知，若选择添加剂A，当dA≥8时，c≥40， 即当保质期至少为8天时，添加剂A至少需要40mg/kg； 若选择添加剂B，当dB≥8时，0.05c+3≥8，解得c≥100， 即当保质期至少为8天时，添加剂B至少需要100mg/kg， 所以选择添加剂A比选择添加剂B可以节省添加剂为100﹣40＝60（mg/kg）， 故答案为：60； ②当c＝120时，dA＝4，dB＝0.05×120+3＝9，dA﹣dB＝﹣5； 当c＝100时，dA＝7，dB＝0.05×100+3＝8，dA﹣dB＝﹣1； 当c＝80时，dA＝9，dB＝0.05×80+3＝7，dA﹣dB＝2； 当c＝60时，dA＝10，dB＝0.05×60+3＝6，dA﹣dB＝4； 当c＝40时，dA＝8，dB＝0.05×40+3＝5，dA﹣dB＝3； 当c＝20时，dA＝5，dB＝0.05×20+3＝4，dA﹣dB＝1； 当c＝0时，dA＝3，dB＝0.05×0+3＝3，dA﹣dB＝0； 由上可知，当20≤c≤80时，dA﹣dB≥1， ∴当浓度c在20≤c≤80范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天． 故答案为：20；80． 22．解：（1）∵直线y＝﹣x+3分别交x轴、y轴于点B、C， 当y＝0时，得：﹣x+3＝0， 解得：x＝3； 当x＝0时，得：y＝3， ∴B（3，0），C（0，3）， 抛物线y＝﹣x2+bx+c过B、C两点，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图2，B（3，0），C（0，3），作EJ⊥y轴于点J， ∴OB＝OC＝3，且∠BOC＝90°， ∴∠OCB＝45°， ∵CE⊥CB， ∴∠ECG＝90°﹣45°＝45°， ∴△ECG是等腰直角三角形， ∵DE∥y轴，且点D的横坐标为t， ∴OF＝EJ＝CJ＝﹣t， 由题意得，点D的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， ∴OJ＝3+t， ∴点E的坐标为（t，t+3）， ∴d＝DE＝t+3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t； （3）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/12 21:20:24；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $