7.1.1角的推广课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第七章 三角函数 7.1.1角的推广 《人教B版2019高中数学必修第三册》 知识点 1.角的概念 2.角的推广：正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角的定义（未旋转） 3.象限角（坐标系研究）、终边相同角的概念与判定。 4.会用集合表示终边相同的角 1.角的概念的推广 在小学和初中，我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，这个公共端点称为角的顶点，这两条射线称为角的边.同时我们还知道，角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．例如，图7-1-1所示的大小为120°的角，用以前的观点来看，既可以认为是OA旋转到OB所形成的，也可以认为是OB旋转到OA所形成的.  我们以前所学过的角，大小一般不会超过一个周角（360°）的大小． 情景与问题 如图7-1-2所示，当摩天轮在持续不断地转动时， （1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？ （2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两面观察，那么他们 所看到的摩天轮旋转方向（顺时针/逆时针）相同吗？如果不同， 你能用合适的数学符号表示这种不同吗？ 从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？ 探究新知 显然，上述情境中，只要时间足够长，摩天轮所转过的角的大小会超过360°.而且，甲、乙两人所观察到的摩天轮旋转方向相反：如果其中一人观察到的是逆时针旋转，则另一人观察到的是顺时针旋转.由于相反意义的量可以用正负数表示，因此不难想到这种不同可以用正负号来区分. 由此就可以将角的概念进行推广：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边.射线的旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角称为正角；按照顺时针方向旋转而成的角称为负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角.这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角. 探究新知 值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量(角的大小）可以是任意的.因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概念推广到了任意角. 作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．如图7-1-3(1）（2）表示的两个转角中，射线OA绕端点O旋转到OB时，旋转的绝对量都超过了一个周角的大小，按照图中箭头所指的旋转方向和弧线所表示的周数，可知 探究新知 类似地，如图7-1-4(2）所示，射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90°,OB顺时针方向旋转到OC所形3成的角为-30°，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为 90∘−30∘=60∘ 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义．例如，对于60°＋90°来说，如图7-1-4(1）所示，射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为60°,OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为 60∘+90∘=150∘ 2.象限角 为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上.这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限. 例如，图7-1-5(1）中的45°,-315°,405°角都是第一象限角；图7-1-5(2）中的126°角是第1    象限角，210°角是第三象限角，-60°角是第2   象限角，-90°角不是象限角，其终边在y轴的负半轴上． 二 四 尝试与发现 图7-1-5(1）中三个角的终边相同．那么，终边相同的角有没有一个共同的表示方法呢？ 图7-1-5(1) 一般地，角α+k·360∘(k∈Z) 与角α的终边相同，这只需把k·360°看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可.任意两个终边相同的角，它们的差一定是360°的整数倍．因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为 S={β|β=α+k·360∘,k∈Z} 即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同， k=0时对应元素为3    α 探究新知 例1 如图7-1-6所示，已知角α的终边为射线OA，分别作出角α+90∘,α-90∘,α+180∘的终边. 解由角的定义可知，把角α的终边OA逆时针方向旋转90°可得角α+90∘的终边OB，把角α的终边OA顺时针方向旋转90°可得角α-90∘的终边OC，把角α的终边OA逆时针方向旋转4     可得角α+180∘的终边OD，如图7-1-6所示． 180∘ 探究新知 例2 分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式−360∘≤β<720∘的元素β写出来. (1)60°; (2)-21°. 解   (1)S={β|β=60∘+k·360∘, k∈Z}. 解不等式−360∘≤60∘+k·360∘<720∘，得 −1−≤k<2−，所以 k可取-1,0或1．因此S中满足-360°≤β<720° 的元素是 60∘+(−1)×360∘=−300∘, 60∘+0×360∘=60∘, 60∘+1×360∘=420∘.   （2）S={β|β=−21∘+k·360∘,k∈Z} 解不等式−360∘≤−21∘+k·360∘<720∘，得 −1+≤k<2+，所以 k可取5 因此S中满足-360°≤β＜720° 的元素是 −21∘+0×360∘=-21∘, −21∘+1×360∘=339∘, −21∘+2×360∘=699∘. 0,1或2 探究新知 例3  写出终边在第一象限内的角的集合． 解 因为大于0°且小于90°的角的终边一定在第一象限，而且如果一个角的终边在第一象限，那么这个角的终边一定与大于0°且小于90°的某个角的终边相同，因此终边在第一象限内的角的集合为 {α|k·360∘<α<90∘+k·360∘,k∈Z} 探究新知 例4   写出终边在x轴上的角的集合． 解 在0°~360°内，终边在x轴上的角有两个，即0°和180°,与这两个角终边相同的角组成的集合依次为 S1={α|α=k·360∘,k∈Z} S2={α|α=180∘+k·360∘,k∈Z} 为简便起见，我们把集合S1和S2的表示方法改为 S1={α|α=2k·180∘,k∈Z} S2={α|α=(2k+1)·180∘,k∈Z}, 因为{m|m=2k,k∈Z}∪{m|m=2k+1,k∈Z}=Z，所以 S=S1∪S2={α|α=m·180∘,m∈Z} 即集合S是终边在x轴上的角的集合. 小结 定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形 分类 （1）按旋转方向分为正角、负角和零角； （2）按终边位置分为象限角和轴线角 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角a在内，构成的角的集合是 S={β|β=α+k·360∘,k∈Z} 微提醒(1）相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2）终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍． 练习A ①求下列各式的值，并作图说明运算的几何意义. （1）90°+(−60°); （2）60°-180°; （3）−60°+270°. ②在平面直角坐标系中作下列各角的终边. （1）855°； （2）-750°. ③在0°∼360°内，找出与下列各角终边相同的角，并说明它们所在的象限. （1）-45°； （2）760°； （3）-480°. ④ 分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式-360°≤α＜720° 的元素α写出来． （1）100°； （2)-120°; (3)-380°20′. ⑤ 判断以下说法是否正确（均指在平面直角坐标系中，始边在x轴正半轴上）. （1）第一象限角一定是锐角； （2）终边相同的角一定相等； （3）小于90°的角一定是锐角； （4）钝角的终边在第二象限． 练习A ①求下列各式的值，并作图说明运算的几何意义. （1）90°+(−60°); （2）60°-180°; （3）−60°+270°. 练习A ②在平面直角坐标系中作下列各角的终边. （1）855°； （2）-750°. 练习A ③在0°∼360°内，找出与下列各角终边相同的角，并说明它们所在的象限. （1）-45°； （2）760°； （3）-480°. 练习A ④ 分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式-360°≤α＜720° 的元素α写出来． （1）100°； （2)-120°; (3)-380°20′. 练习A ⑤ 判断以下说法是否正确（均指在平面直角坐标系中，始边在x轴正半轴上）. （1）第一象限角一定是锐角； （2）终边相同的角一定相等； （3）小于90°的角一定是锐角； （4）钝角的终边在第二象限． 练习B ①分别写出终边在y轴正半轴、y轴负半轴和y轴上的角的集合. ②分别写出终边在直线y=x上和终边在直线y=-x上的角的集合. ③在平面直角坐标系中，集合S={β|β=k·90∘,k∈Z}中的元素所表示的角的终边在哪些位置？ ④ 分别写出终边在第二、第三、第四象限的角的集合. ⑤今天是星期一，那么从明天算起，第7k(k∈N+)天是星期几？第100天是星期几？ 练习B ①分别写出终边在y轴正半轴、y轴负半轴和y轴上的角的集合. 终边在y轴正半轴的角，与90°终边相同，集合为： S={α|α= 90°+ k·360°,k∈Z} 终边在y轴负半轴的角，与270°终边相同，集合为： S={α|α= 270°+ k·360°,k∈Z} 终边在y轴上的角，是y轴正半轴和负半轴的并集，可合并为 S={α|α= 90°+ k·180∘,k∈Z} 练习B ②分别写出终边在直线y=x上和终边在直线y=-x上的角的集合. 终边在y=x上的角，与45°终边相同，集合为： S={α|α= 45°+ k·180°,k∈Z} 终边在y=-x上的角，与135°终边相同，集合为： S={α|α= 135°+ k·180°,k∈Z} 练习B ③在平面直角坐标系中，集合S={β|β=k·90∘,k∈Z}中的元素所表示的角的终边在哪些位置？ 当k=0时, β=0°，终边在x轴正半轴； 当k=1时, β=90°，终边在y轴正半轴； 当k=2时, β=180°，终边在x轴负半轴； 当k=3时, β=270°，终边在y轴负半轴； 当k=4时,β=360°，与0°终边相同，循环。 所以，集合S中的角的终边在x轴正半轴、y轴正半轴、x轴负半轴、y轴负半轴上（即坐标轴上）。   练习B ④ 分别写出终边在第二、第三、第四象限的角的集合. 第二象限：角度范围是90∘+ k·360∘<α<180∘+ k·360∘ 集合为：S={α|90∘+ k·360∘<α<180∘+ k·360∘,k∈Z} 第三象限：角度范围是180∘+ k·360∘<α<270∘+ k·360∘ 集合为：S={α|180∘+ k·360∘<α<270∘+ k·360∘,k∈Z} 第四象限：角度范围是270∘+ k·360∘<α<360∘+ k·360∘， 集合为：S={α|270∘+ k·360∘<α<360∘+ k·360∘,k∈Z} 练习B ⑤今天是星期一，那么从明天算起，第7k(k∈N+)天是星期几？第100天是星期几？ ·第7k天 (k∈N):  一周有7天，7k天是整数周(周期），所以从明天（星期二）算起，第7k天是星期二。 ·第100天：  计算100÷7的余数: 100-14×7+2，余数为2。  从明天（星期二）开始数2天：星期二（第1天）、星期三（第2天），所以第100天是星期三。（从明天开始算起，第2天是星期几） 巩固练习 1.在下列说法中：（1）[0°，90°）的角是第一象限角；（2）第二象限角大于第一象限角；（3）钝角都是第二象限角；（4）小于90°的角都是锐角。其中说法错误的序号为： . 解析：（1）0°不属于任何象限 （2）120°是第二象限390°是第一象限 （3）钝角的范围是（90°，180°）都在第二象限 （4）锐角的范围是（0，90），小于90的角也可以是零角或负角 （1）、（2）、（4） 巩固练习 2.求终边与直线y=x重合的角的集合 解析：因为直线y=x 与x轴非负半轴所成的最小正角为60°，在第三象限与x轴非负半轴所成的最小正角为180°+60°，所以 终边与直线y=x重合的角的集合为 {β|β= 60∘+ k·360∘或β= 240∘+ k·360∘, k∈Z} ={β|β= 60∘+ 2k·180∘或β= 60∘+ （2k+1）·360∘, k∈Z} ={β|β= 60∘+ n·180∘ ,n∈Z } 提升练习 1.写出终边落在图中阴影部分的角的集合 解析：设阴影部分的角为α，则角α的取值集合由两部分组成： ①{α| k·360∘+30∘≤α< k·360∘+105∘,k∈Z} ②{α| k·360∘+210∘≤α< k·360∘+285∘,k∈Z} ∴角α的取值集合应当是①与②的并集 {α| k·360∘+30∘≤α< k·360∘+105∘,k∈Z}∪{α| k·360∘+210∘≤α< k·360∘+285∘,k∈Z} ={α| 2k·180∘+30∘≤α< 2k·180∘+105∘,k∈Z}∪ {α| （2k+1）·180∘+30∘≤α< （2k+1）·180∘+105∘,k∈Z} ={α| n·180∘+30∘≤α< n·180∘+105∘,n∈Z} 提升练习 2.已知α是第一象限角，求2α，所在的象限 解析：因为α是第一象限角，所以k·360∘<α<k·360∘+90∘,k∈Z （1）2k·360∘<2α<2k·360∘+180∘,k∈Z.则2α是第一或第二象限角或是终边在y轴的非负半轴上的角。 （2）k·180∘<<k·180∘+45∘,k∈Z.当k为偶数时，令k=2n（n∈Z）得 n·360∘<<n·360∘+45∘,（n∈Z）,所以第一象限角；当k为奇数时，令 k=2n+1（n∈Z）得 n·360∘+180∘<<n·360∘+225∘,（n∈Z），所以为第三象限，综上，为第一或三象限角 （3）k·120∘<<k·120∘+30∘,k∈Z.令k=3n,3n+1,3n+2讨论，方法如上，可得为第一或第二或第三象限角 提升练习 2.已知α是第一象限角，求2α，所在的象限 解析二：（2）求所在象限时，将每个象限平均分成2份，从x轴正半轴开始逆时针依次标上1，2，3，4，再循环一遍，直到填满为止.因为α为第一象限角，就找标号为1的即可，如图1所示，由图可知，为第一或第三象限角。 （3）求所在象限时，将每个象限平均分成3份，从x 轴正半轴开始逆时针依次标上1，2，3，4，再循环一 遍，直到填满为止.因为α为第一象限角，就找标号为 1的即可，如图2所示，由图可知，为第一或第二或第三象限角. 图1 图2 $