第2章 二次函数 冲刺名校培优训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

第2章《二次函数》 冲刺名校培优训练 姓名：_________班级：____________ 一．选择题 1．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝x2﹣3 C．y＝2x+1 D． 2．二次函数y＝（x+1）2+2的顶点坐标为（　　） A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2） 3．将抛物线y＝x2﹣3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x﹣3）2﹣1 B．y＝（x+3）2﹣5 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2 4．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）在二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象上，若a＞2，则下列判断正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 5．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0），下列说法不正确的是（　　） A．若该二次函数的图象经过点（﹣1，4），则 B．该二次函数图象的顶点坐标是（2，﹣a） C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标为（3，0）和（1，0） D．若点（﹣3，y1）和（﹣2，y2）都在该函数的图象上，则y1＞y2 6．设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），下表列出了x与y的6对对应值： x ﹣1 0 1 2 3 4 y ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　） A．﹣7＜x＜﹣5 B．1＜x＜2 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0 7．一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离4m处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　） A．抛物线表达式为y＝﹣0.2x2+3.5 B．篮球框中心坐标是（4，3.05） C．抛物线顶点坐标是（3.5，0） D．篮球出手时离地面高度是2m 8．在平面直角坐标系中，线段PQ的端点为P（4，5），Q（8，5），抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与线段PQ有交点时，a的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 9．家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A．30° B．35° C．38° D．46° 10．如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，点C为y轴上一动点，A，B为抛物线上的动点，C在y轴上运动时，始终保持∠ACB＝90°．且AC＝BC，当点A的横坐标为时，点B的横坐标为（　　） A． B． C． D． 二．填空题 11．若y＝（a+2）x|a|+3x﹣1是二次函数，则a的值为　 　 ． 12．已知（﹣3，m），（1，m）是抛物线y＝﹣x2+bx+3上的两个点，则b的值为　 　 ． 13．已知二次函数y＝x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的根为　 　 ． 14．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价x元时，日盈利为w元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价x＝　 　 元时，超市的日盈利最大． 15．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线向下移动一定距离，使其过（0，0）点，得到一条新的抛物线，过点A（1，﹣3）作直线l∥y轴，交抛物线y2于点B，交抛物线y1于点C，则以下结论： ①BC＝4a+k； ②若点D（﹣1，m）及点E（7，n）均在抛物线y1上，则m＞n； ③4a+2b≤m（am+b）； ④4a+b＝0； ⑤a+k+3＞a+b+3＞0． 其中结论正确的是　 　 ． 三．解答题 16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 1 0 1 m … （1）m＝ 　 　 ； （2）求该二次函数的表达式； （3）当y＜4时，x的取值范围是 　 　 ． 17．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（﹣3，4）和（1，﹣4）． （1）求b，c的值； （2）若点A（﹣1，m）在函数y＝﹣2x2+bx+c的图象上，求m的值． 18．某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？ 19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点A（﹣3a，m）和点B（a，m）． （1）用含a的式子表示b； （2）点C（t﹣1，n）在抛物线上，且m＞n．过点D（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线y＝﹣ax于点Q，PQ的长随着t的增大而增大，求a的取值范围． 20．某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响． 添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内（0﹣120mg/kg），其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：dB＝0.05c+3． 在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：mg/kg），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度c（mg/kg） 0 20 40 60 80 100 120 保质期d（天） 3 5 8 10 9 7 4 （1）以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接． （2）①工厂分析发现，每增加10mg/kg添加剂，成本增加2元；而每延长1天/kg保质期，可减少5元的损失．若增加10mg/kg添加剂能使保质期延长超过　 　 天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）． ②若1kg面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为40mg/kg时，总成本（添加剂成本与损失之和）为　 　 元． （3）①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省　 　 mg/kg的添加剂（保留整数）． ②当浓度c在　 　 ≤c≤　 　 范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）． 21．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数），图象经过点A（k，2），且k≥0． （1）若k＝0，二次函数对称轴为直线x＝1， ①求二次函数的表达式； ②若点B为二次函数图象上一点，且点B到x轴，y轴的距离相等，求点B的坐标； （2）若A为该二次函数图象的顶点，P（m，n）为图象上一动点，且点P到y轴的距离不大于1，n的最大值与最小值的差为6，求k的值． 22．综合与实践 如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，且OB＝3OA，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）点Q是抛物线上任意一点，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为　 　 ； （3）如图2，点P为直线BC下方抛物线上一动点，连接OP交BC于点H，当的值最大时，求△BCP面积； （4）如图3，点D（4，1）与动点N在直线BC上，点E（1，2）与动点M在抛物线的对称轴上，则DM+MN+NE的最小值为　 　 ． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D D B A C C B 二．填空题 11．2． 12．﹣2． 13．x1＝1，x2＝﹣3． 14．10． 15．①③④⑤． 三．解答题 16．解：（1）∵抛物线经过点（1，1），（3，1）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵（0，4）和（4，m）关于直线x＝2对称， ∴m＝4； 故答案为：4； （2）把（0，4），（1，1），（2，0）分别代入y＝ax2+bx+c得， 解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+4； （3）∵抛物线开口向上，x＝0时，y＝4；x＝4，y＝4， ∴当y＜4时，x的取值范围是0＜x＜4． 故答案为：0＜x＜4． 17．解：（1）将点（﹣3，4）和（1，﹣4）代入y＝﹣2x2+bx+c得： ， 解得：； （2）由（1）知抛物线方程为y＝﹣2x2﹣6x+4， ∵点A（﹣1，m）在函数y＝﹣2x2+bx+c的图象上， ∴若点A（﹣1，m）在函数y＝﹣2x2+bx+c的图象上，m＝﹣2×（﹣1）2﹣6×（﹣1）+4＝﹣2+6+4＝8． 18．解：（1）根据题意可得单件利润为16+x﹣10＝（6+x）元，销量为（100﹣10x）件， 可得函数关系式为y＝（6+x）（100﹣10x）＝﹣10x2+40x+600， ∵每件售价不能高于20元， ∴0≤x≤20﹣16，即0≤x≤4且x为整数， ∴y＝﹣10x2+40x+600（0≤x≤4且x为整数）； （2）y＝﹣10x2+40x+600＝﹣10（x﹣2）2+640， 因为a＝﹣10＜0， 所以当x＝2时，有最大值640，此时售价为16+2＝18元， 答：每件商品的售价为18元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元； （3）当y＝550时，可得﹣10x2+40x+600＝550， 解得x1＝5，x2＝﹣1， ∵0≤x≤4且x为整数， ∴得x1＝5，x2＝﹣1均不符合自变量的取值范围， ∴不存在符合条件的售价． 19．解：（1）由题意可得： 点A、B关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为， ∴，则b＝2a2； （2）由（1）得y＝ax2+2a2x， ∵点C（t﹣1，n）在抛物线上，且m＞n，a＞0， ∴﹣3a＜t﹣1＜a，则﹣3a+1＜t＜a+1， 由题意，P（t，at2+2a2t），Q（t，﹣at）， ∴PQ＝|at2+2a2t+at|＝a|t2+（2a+1）t|， 解方程t2+（2a+1）t＝0得t1＝0，t2＝﹣（2a+1）， ∵PQ的长随着t的增大而增大， ∴或， 解得：无解或， 故满足条件的a的取值范围为． 20．解：（1）描点并连线为： （2）①设增加10mg/kg添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，则5x＞2， 解得x＞0.4， 即增加10mg/kg添加剂能使保质期延长超过0.4天，增加浓度是有利的， 故答案为：0.4； ②由题意可得，当c＝40时，d＝8， 即当添加剂A浓度为40mg/kg时，保质期为8天， 此时总成本为：2×（40÷10）+5×（10﹣8）＝8+10＝18（元）． 故答案为：18； （3）①由表格可知，若选择添加剂A，当dA≥8时，c≥40， 即当保质期至少为8天时，添加剂A至少需要40mg/kg； 若选择添加剂B，当dB≥8时，0.05c+3≥8，解得c≥100， 即当保质期至少为8天时，添加剂B至少需要100mg/kg， 所以选择添加剂A比选择添加剂B可以节省添加剂为100﹣40＝60（mg/kg）， 故答案为：60； ②当c＝120时，dA＝4，dB＝0.05×120+3＝9，dA﹣dB＝﹣5； 当c＝100时，dA＝7，dB＝0.05×100+3＝8，dA﹣dB＝﹣1； 当c＝80时，dA＝9，dB＝0.05×80+3＝7，dA﹣dB＝2； 当c＝60时，dA＝10，dB＝0.05×60+3＝6，dA﹣dB＝4； 当c＝40时，dA＝8，dB＝0.05×40+3＝5，dA﹣dB＝3； 当c＝20时，dA＝5，dB＝0.05×20+3＝4，dA﹣dB＝1； 当c＝0时，dA＝3，dB＝0.05×0+3＝3，dA﹣dB＝0； 由上可知，当20≤c≤80时，dA﹣dB≥1， ∴当浓度c在20≤c≤80范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天． 故答案为：20；80． 21．解：（1）①∵二次函数过点（0，2）， ∴c＝2， ∵对称轴为直线x＝1， ∴，即b＝﹣2， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+2． ②设B（m，m2﹣2m+2）， 由题意得，点B的横坐标与纵坐标相等或互为相反数， a．当m＝m2﹣2m+2时， 解得：m1＝1，m2＝2，即点B的坐标为（1，1）或（2，2）； b．当﹣m＝m2﹣2m+2时， 则Δ＝1﹣8＝﹣7＜0，即方程无解． 综上所述，点B的坐标为（1，1）或（2，2）． （2）∵点A为该函数图象的顶点，P（m，n）为图象上一动点，且点P到y轴的距离不大于1， ∴设n＝（m﹣k）2+2，|m|≤1，即﹣1≤m≤1 当0≤k＜1时， ∵﹣1≤m≤1， ∴函数在m＝k处取到最小值2，在m＝﹣1处取到最大值（k+1）2+2， ∴（k+1）2+2﹣2＝6， 解得：（舍）； 当k≥1时， ∵﹣1≤m≤1， ∴函数在m＝1处取到最小值（k﹣1）2+2，在m＝﹣1处取到最大值（k+1）2+2， 则（k+1）2+2﹣（k﹣1）2﹣2＝6， 解得：． 综上所述，． 22．解：（1）∵A（﹣1，0），OB＝3OA， ∴B（3，0）， 抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A，B两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴y＝x2﹣2x﹣3， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标（1，﹣4）； （2）①如图1.1，此时，BQ⊥BC，交y轴于点E， 由y＝x2﹣2x﹣3得，C（0，﹣3）， ∴OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝45°， ∴∠OBE＝90°﹣∠OBC＝45°， ∴△OBE为等腰直角三角形， ∴OE＝OB＝3， ∴E（0，3）， 假设直线BQ的解析式为y＝kx+b，将点B，点E的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴y＝﹣x+3， 联立得：， 解得：或， ∴Q（﹣2，5）； ②如图1.2，此时，BQ1⊥BC， ∴CQ1∥BQ， 设CQ1的解析式为y＝﹣x+b1，将点C的坐标代入得：b1＝﹣3， ∴y＝﹣x﹣3， 联立得：， 解得：或， ∴Q1（1，﹣4）； 综上所述，点Q的坐标为（﹣2，5）或（1，﹣4）， 故答案为：（﹣2，5）或（1，﹣4）； （3）如图2，过点P作PI∥OC，交BC于点I， ∴∠HOC＝∠HPI，∠HCO＝∠HIP， ∴△HOC∽△HPI， ∴， 当IP的值最大时，的值最大， 假设直线BC的解析式为y＝k2x+b2，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴y＝x﹣3， 设P（x，x2﹣2x﹣3），则I（x，x﹣3）， ∴， 当时，IP的值最大，最大值为， ∴； （4）如图3，令抛物线对称轴与直线BC交于点G，过点G作GH⊥BC，过点G作GK⊥GE，在射线GK上截取GE′＝GE，连接DE′，交抛物线对称轴于点M，交GH于点N′，连接N′E，过点E′作E′L⊥BC于点L， ∵△OBC为等腰直角三角形， ∴∠OCB＝45°， ∴∠EGB＝∠EGH＝∠HGK＝∠E′GL＝45°，△E′GL为等腰直角三角形， 又∵GN′＝GN′， ∴△GN′E′≌△GN′E（SAS）， ∴N′E＝N′E′，且存在MN′＝MN，N′E＝NE， ∴DM+MN+NE的最小值为线段DE′的长度， ∵E（1，2）， ∴当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2， ∴G（1，﹣2）， ∴GE′＝GE＝2+2＝4， ∴， ∵G（1，﹣2），D（4，1）， 由勾股定理得：， ∴， 在直角三角形DE′L中，由勾股定理得：， 即DM+MN+NE的最小值为， 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/16 19:33:37；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $