云南省/丽江市华坪县第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

云南省华坪县第一中学2025-2026学年上学期期末考试 高二 数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则“”是“”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 2.设，则双曲线的离心率的取值范围是（） A. B. C. D. 3.现计划将某山体的一面绿化，自山顶向山底栽种10排塔松，第1排栽种6棵，第2排比第1排多栽种2棵，第3排比第2排多栽种4棵，···，第n排比第n－1排多栽种棵且，则第10排栽种塔松的棵数为（） A.90棵 B.92棵 C.94棵 D.96棵 4.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包部边界）的动点．则的最小值为（） A.-1 B. C. D. 5.直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（） A.直线过圆心 B.直线与圆相交，但不过圆心 C.直线与圆相切 D.直线与圆无公共点 6.已知函数，则（） A.6 B.3 C. D. 7.已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（） A. B. C. D. 8.若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（） A.C的离心率为2 B. C.的面积为4 D.的周长为18 10.若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数a的值为（ ） A.1 B.3 C.0 D.4 11.已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的是（） A.数列是等比数列 B.数列是等差数列 C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12.如图，平行六面体中，，，，，则的长为                   ． 13.二项式的展开式的二项式系数和为256，则等于                   ． 14.近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田（如图所示），计划从黄、白、紫、黑、绿五种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有                   种不同的种法．（用数字作答） 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15.（13分） 已知. （1）已知角的终边过点，求的值； （2）若，且，求的值. 16.（15分） 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，E，F，G分别为PA，BC，CD的中点． （1）证明：平面PBC． （2）求直线EC与平面EFG所成角的正弦值． 17.（15分） 已知直线，圆 (1) 若，求直线l截圆M所得的弦长; (2) 已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 18.（17分） 数列的前项和为，且满足；递增的等差数列满足，． （1）求数列、的通项公式； （2）若是、的等比中项，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围． 19.（17分） 已知且是上的奇函数，且. （1）求的值； （2）设.求的解析式，并求其值域； （3）在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 高二数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.C【解析】由可得两边平方后相等，即， 展开得， 消去相同项得， 即， 显然,所以,说明条件必要. 反之，若,则与同号或至少一个为零，此时成立，说明条件充分. 综上所述，两者互为充要条件. 2.B【解析】双曲线的标准方程为,其中. 由双曲线的性质可知，焦距平方为,其中,所以有离心率定义为,因此 令,由于,则,所以是关于的二次函数，且在区间内单调递增. 当时,,此时; 当时,,此时. 因此,,即. 3.D【解析】由题意可知，第排塔松的数量为,从第排到第排，每相邻两排之间的数量差依次为,共9项，构成一个首项为2,公差为2的等差数列. 设第排的数量为,则有:， 即:， 其中，增量部分的和为等差数列前9项的和，记为,则:， 因此:. 4.B【解析】考虑表达式的几何意义，它表示点与定点之间的连线斜率. 由于点在阴影区域内（包含边界）,结合图形可知，当该点位于以为圆心、半径为1的下半圆弧上时，斜率取得最小值. 设过点的直线方程为,将其整理为一般式. 若该直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径1,即满足 化简得, 解得 其中,对应水平直线，不满足最小值要求; 而对应斜率最小的切线. 因此的最小值为. 5.A【解析】设原直线方程为,其斜率为,对应倾斜角为.将该直线绕原点顺时针旋转,旋转后的直线倾斜角变为,即直线水平，斜率为.由于旋转中心为原点，旋转后的直线仍过原点，因此直线的方程为. 考虑圆的方程,其圆心为,半径为.显然，圆心在直线上，说明直线经过圆心. 由此可得，直线与圆有公共点，并且经过圆心，因此直线与圆相交且过圆心. 6.D【解析】由题意给出的函数表达式为, 对其求导可得, 将代入上式，得到, 即, 由此解得, 得, 再代入,计算得. 7.C【解析】对于数列,其通项公式为. 对于选项A,若,解得,符合题意，因此是数列中的项. 对于选项B,若,解得,符合题意，因此是数列中的项. 对于选项D,若,解得,符合题意，因此是数列中的项. 对于选项C,若,解得,不是正整数，因此不是数列中的项. 综上所述，选项C中的数不是该数列中的项. 8.B【解析】圆的方程为,可知其圆心坐标为,半径为. 双曲线的渐近线方程为. 由于圆与其中一条渐近线相切，利用点到直线的距离公式，圆心到渐近线的距离应等于半径. 取渐近线中的一条,其一般形式为. 圆心到该直线的距离为，解得, 又因为双曲线的离心率定义为, 所以离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ABD【解析】设双曲线的标准方程为,其中,焦距为,焦点分别为、. 由双曲线定义可知，对右支上的点,有. 又已知,设,则,代入上式得,解得,所以,. 由题设,结合三角形相似判定条件，可得. 根据相似三角形对应边成比例，有, 由此可得,所以. 再由双曲线定义，对点,有,代入得. 由相似三角形比例关系, 得,即焦距为4,故. 对于选项A,双曲线的离心率,所以A正确. 对于选项B,由上述推导知,所以B正确. 对于选项C,考虑,三边分别为,利用海伦公式或余弦定理可得面积为, 与题设中面积为4不符，所以C错误. 对于选项D,的三边长分别为,周长为,所以D正确. 10.AB【解析】由题意知直线的斜率,且,因此直线的斜率存在，记为,满足关系， 直线经过点和点,由此可得， 将和代入垂直条件中，得， 化简得， 两边同乘,整理得， 进一步化简为， 解该方程得， 所以符合条件的实数的值为1或3,对应选项AB. 11.ACD【解析】由题意知，数列的前项和为. 当时,,代入得,解得. 当时，由和,可得所以, 由此可知，数列是以为首项,为公比的等比数列. 因此通项公式为, 前项和为, 综上，选项A、C、D均正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12.【解析】由平行六面体性质得, 故, 由,,,， 得,,, 代入得,即． 13.8【解析】由二项式展开式的二项式系数和为,得, 故． 14.【解析】区域的颜色有种选择，区域与相邻故有种选择, 区域与、相邻，故有种选择. 若区域与颜色相同，则区域与、相邻，故有种选择; 若区域与颜色不同, 则区域有种选择，区域与、相邻，故有种选择. 两种情况的区域、选择数共种, 故总的颜色选择种数为. 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15.解：（1）利用诱导公式化简. 由诱导公式得，，，，. 代入原式化简得. 角的终边过点. 由任意角三角函数的定义得点到原点的距离. 所以. 因为，故. （2）法1：. 由得. 对等式两边平方得. 整理得. 因为，且，所以，. 从而. 代入数值计算得. 联立得方程组，解得，. 故. 法2：. 由得. 联立同角三角函数平方关系得，解得或. 因为，所以，舍去第二组解. 由此可得，. 故. 16.解：（1）由平面，平面，平面，得，. 因为四边形为正方形，所以. 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 由，，，分别为，，的中点，得，，，，. 计算得，，. 设平面的法向量为. 结合，，得. 令，则，，故. 计算得. 因为平面，且，所以平面. （2）由已知得，. 计算得，. 设平面的法向量为. 结合，，得. 令，则，，故. 设直线与平面所成角为. 根据线面角的向量公式，得. 计算得. 计算得. 计算得. 代入得. 17.(1)解：由得直线的方程为, 即. 圆的圆心为,半径. 圆心到直线的距离. 由弦长公式得弦长为. (2)解：由直线的方程得, 故定点的坐标为. 设过点的切线方程为, 即. 因为圆心到切线的距离等于半径, 所以, 即. 由得, 解得. 故切线方程为或, 即或. 18.解：（1）当时，，解得； 当时，，可得， 相减即有，即为， 所以，数列是首项和公比都为的等比数列，故. 设递增的等差数列的公差为，则， 因为，，即，整理得，解得或（舍去）， 则． （2）由是、的等比中项，可得， ， ， 相减可得 ． 化简可得． （3）不等式对一切正整数恒成立，即为恒成立． 由， 当时，；当时，，即， 可得数列从第二项起单调递减，即有最大值为， 则，整理得，解得或， 即实数的取值范围为． 19.解：（1）是定义在上的奇函数，，解得：； 当时，， 则，满足为奇函数； ，，又且，； 综上所述：，. （2）由（1）得：， ， ，，定义域为， . ，， （当且仅当时取等号），， ，，的值域为. （3）由题意知：， ， ； 为奇函数，图象关于中心对称， 图象关于中心对称，， ； 若存在正整数，使不等式有解，则， ，解得：， 存在正整数或，使不等式有解. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $