解三角形微专题——10与基本不等式、三角函数等交汇问题讲专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版高中数学必修二解三角形微专题——10 与基本不等式、三角函数等交汇问题 一、题型梳理 题型1：解三角形与诱导公式、同角三角函数基本关系交汇问题 题型2：解三角形与和差角（倍角）公式、三角变换等交汇问题 题型3：利用基本不等式、辅助角公式解决面积最值或范围问题 题型4：利用基本不等式、辅助角公式解决周长最值或范围问题 题型5：利用基本不等式解决有关角的最值或范围问题 题型6：利用基本不等式、辅助角公式解决有关边的最值或范围问题 二、典例讲解 题型1：解三角形与诱导公式、同角三角函数基本关系交汇问题 例1．在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 例2．在中，已知，若最长的边长为，则最短的边长为（    ） A． B． C． D． 例3．在中，已知，，，则 ． 例4．在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为______． 题型2：解三角形与和差角（倍角）公式、三角变换等交汇问题 例5、在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 例6．在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（    ） A． B． C． D． 例7．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 例8．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 题型3：利用基本不等式、辅助角公式解决面积最值或范围问题 例9．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 例10．在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 例11．在锐角中，分别是角所对的边，已知，且则锐角面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型4：利用基本不等式、辅助角公式解决周长最值或范围问题 例12．在中，已知，，则周长最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 例13．记锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.则周长范围为 （    ） A． B． C． D． 例14．在中，角，，的对边分别为，，.若；且，则周长的范围为__________. 例15．已知的内角的对边分别为，且的面积为 (1)求；(2)求周长的最小值. 题型5：利用基本不等式解决角度最值或范围问题 例16、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 例17、在中，已知，则内角的最大值为（    ） A． B． C． D． 例18、已知满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型6：利用基本不等式、辅助角公式解决有关边的最值或范围问题 例19、的内角所对的边满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例20．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 例21．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某条直线对折．现有一张边长为2的等边三角形纸，点分别在边和上，现将三角形纸沿对折，点恰好落在边上且记为，当最短时， ． 【跟踪训练】 专题10 与基本不等式、三角函数等交汇问题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 2、在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 3、在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则的周长为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 5．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边.若为锐角三角形，，，则周长的取值范围为（ ）. A． B． C． D． 6．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则边上中线长的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 7．在中，，若最大边的边长为，则最小边的长为（    ） A． B． C． D． 8．在中，分别为内角所对的边，已知.设为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 10．记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（ ） A． B． C．的周长为 D．的面积为5 11．已知三个内角的对边分别是，且满足，则面积可能是（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，已知，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为 . 13．在中，，，最长边的边长为1，则最短的边长为 . 14．在平面四边形ABCD中，，，，当AC的长度最小时，的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求，长度大于1，且比长0.5米， （1）设，求长？ （2）为了广告牌稳固，要求的长度越短越好，求最短为多少米？且当最短时，长度为多少米？ 16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求a； (3)若，求△ABC面积的最大值. 17．设的内角的对边分别为，且的最大边的边长为 （1）求角； （2）求的取值范围. 18．在中，. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高中数学必修二解三角形微专题——10 与基本不等式、三角函数等交汇问题 一、题型梳理 题型1：解三角形与诱导公式、同角三角函数基本关系交汇问题 题型2：解三角形与和差角（倍角）公式、三角变换等交汇问题 题型3：利用基本不等式、辅助角公式解决面积最值或范围问题 题型4：利用基本不等式、辅助角公式解决周长最值或范围问题 题型5：利用基本不等式解决有关角的最值或范围问题 题型6：利用基本不等式、辅助角公式解决有关边的最值或范围问题 二、典例讲解 题型1：解三角形与诱导公式、同角三角函数基本关系交汇问题 例1．在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】先求出，再由正弦定理求出角B即可得解. 【详解】由题，所以，又，所以， 所以且由正弦定理，所以由得或，故三角形解的个数为2.故选：C. 例2．在中，已知，若最长的边长为，则最短的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意求得，求出，判断出最短边和最长边，利用正弦定理求得答案. 【详解】在中，， 由， 于是，即C为最大角， 故有，，又，最短边为， 于是由正弦定理 ，故选：D. 例3．在中，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解． 【详解】在中，，，．，． ．由正弦定理知，． 例4．在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为______． 【答案】 【分析】由条件结合三角形面积公式和正弦定理可得，结合两角和余弦公式求，再结合余弦定理及三角形面积公式求，由此可求的周长. 【详解】因为的面积，，所以， 所以，又，所以，又， ，所以， 又，所以，由余弦定理可得， 由，，可得，所以，所以， 所以，所以的周长为. 题型2：解三角形与和差角（倍角）公式、三角变换等交汇问题 例5、在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式和诱导公式得到，解得，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以.因为，所以，可得，解得.因为，，所以.由正弦定理得，故，解得.故选：C 例6．在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理及，对题干式子进行化简得到，即，再利用余弦定理即可求出. 【详解】因为，由正弦定理得， 又，所以， 即，因为为钝角三角形，则，所以，由正弦定理得，又，则，又因为，由余弦定理得.故选：A. 例7．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】由同角三角函数的基本关系及正余弦定理即可求出，由两角差的余弦公式和辅助角公式求出，从而可判断的形状. 【详解】，，即，由正弦定理及余弦定理得，，∵，∴，又，，整理得，因为，，所以，所以，为等腰三角形．故选：C． 例8．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，1；(2) 【分析】（1）利用正弦定理与和角的正弦公式求出角，再由条件求出边； （2）利用正弦定理求出边，代入所求式，经过三角恒等变换化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其范围. 【详解】（1）由和正弦定理可得， 化简得，即 因，则，即，因，故． 又由且，可得． （2）由正弦定理，，可得，， 则，（*），因，将其代入（*）， 可得． 因，则，故，则的取值范围是． 题型3：利用基本不等式、辅助角公式解决面积最值或范围问题 例9．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理角化边求出，然后利用基本不等式求出的范围，最后根据面积公式即可求解. 【详解】因为，所以，整理得， 则，解得.因为，所以，取等条件为， 则的面积.故选：A 例10．在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，根据三角形等面积可得；再根据基本不等式可得出，进而可求出面积的最小值. 【详解】 因为，，所以.又因为，所以，.根据等面积法可得：，即，整理得.由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立.则，解得：，此时，时等号成立.故.故选：D 例11．在锐角中，分别是角所对的边，已知，且则锐角面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理进行边角转化，求得，再用角表示三角形面积，利用正弦函数的性质，结合二倍角公式和辅助角公式化简求值域即可. 【详解】且根据正弦定理得整理得解得 的面积， 为锐角三角形且，，则， ，则故选：C. 题型4：利用基本不等式、辅助角公式解决周长最值或范围问题 例12．在中，已知，，则周长最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理角化边，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】在中，由及正弦定理，得，整理得，而，因此，解得，当且仅当时取等号，所以当时，周长取得最大值6.故选：B 例13．记锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.则周长范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用射影定理和余弦定理对题目条件进行化简，可得；再根据正弦定理进行边角转化得，由两角差的正弦公式得；最后根据已知条件求出角的范围，进而求出的取值范围即可得出答案. 【详解】 在中，由射影定理得，则题目条件可化简为：.由余弦定理得：，则.因为，所以.因为，所以在中，由正弦定理得， 则周长， 因为 ，所以.因为为锐角三角形，， 则，解得所以.所以所以.故选：A 例14．在中，角，，的对边分别为，，.若；且，则周长的范围为__________. 【答案】 【解析】先求角，再用余弦定理找到边的关系，再用基本不等式求的范围即可. 【详解】，，，，，所以三角形周长。 例15．已知的内角的对边分别为，且的面积为 (1)求；(2)求周长的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）已知条件结合余弦定理求出，得角； （2）由的面积求出，余弦定理得，由基本不等式求周长的最小值. 【详解】（1）由，得， 即，则，由，得. （2），得，由余弦定理，有，得，周长， 当且仅当时取等号，所以周长的最小值为. 题型5：利用基本不等式解决角度最值或范围问题 例16、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由余弦定理及基本不等式计算可得. 【详解】由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为．故选：A. 例17、在中，已知，则内角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由定义法用边和角表示已知条件中的向量数量积，利用余弦定理化简，再利用不等式的性质求的最小值，可得角的最大值. 【详解】中，A，B，C的对边分别为a，b，c，由，得，由余弦定理得，即 则，当时，取到最小值，所以角的最大值为.故选：C 例18、已知满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义结合余弦定理得，再根据余弦定理求解，结合基本不等式即可得最值. 【详解】由，可得， 由余弦定理得，整理得， 则，当且仅当时取等， 所以的最小值为.故选：C. 题型6：利用基本不等式、辅助角公式解决有关边的最值或范围问题 例19、的内角所对的边满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件变形结合余弦定理可得，再利用均值不等式即可求解. 【详解】由得，根据余弦定理可得，所以，解得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故选：D 例20．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理对已知式化简变形可求得，再利用正弦定理表示出，，从而可得，求出的取范围，可求得范围． 【详解】因为所以由正弦定理得，，所以， 因为，所以．因为，所以，， 所以 ． 因为，所以，．故．故选：C． 例21．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某条直线对折．现有一张边长为2的等边三角形纸，点分别在边和上，现将三角形纸沿对折，点恰好落在边上且记为，当最短时， ． 【答案】 【分析】设，，在中利用余弦定理求出，再结合基本不等式可求. 【详解】设，，因为，所以在中利用余弦定理可得，，得，令，则，且，当且仅当，即时，等号成立，当最短时，． 【跟踪训练】 专题10 与基本不等式、三角函数等交汇问题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理整理等式，解得角，可得答案. 【详解】由，根据正弦定理可得，则，由，则，可得，由，解得.故选：D. 2、在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先求出，再由正弦定理即可求解. 【详解】因为，所以，由正弦定理可知.故选：C 3、在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】在中，由余弦定理结合得，当且仅当，即时等号成立，由此可知A为锐角，而在上单调递减，故，所以的最大值为.故选：D 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则的周长为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式求出，再利用二倍角的正弦及正弦定理求出，进而利用正弦定理、余弦定理求出即可. 【详解】在中，由，得，而，则，由，得，由正弦定理得，则，，由正弦定理得，由余弦定理得，整理得，而，解得，所以的周长为18.故选：B 5．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边.若为锐角三角形，，，则周长的取值范围为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ,故， 所以，则，故, 故周长的取值范围为. 6．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则边上中线长的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】，根据正弦定理有， ，又，，可得，设中点为D，则边上中线长为，平方可得 ，当且仅当时取等号，故的最小值为12，即边上中线长的最小值为.故选：C. 7．在中，，若最大边的边长为，则最小边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分为锐角、为钝角讨论，求出，利用正切的两角和的展开式求出可判断出，从而找到最小角、边，再由正弦定理可得答案. 【详解】，若为锐角，则由，所以， 此时，因为，所以，所以为钝角，可得，因为，所以为最小角，边长最小，由正弦定理得，解得；若为钝角，则由，所以，此时，因为，所以为钝角，这样内角和大于，故不是钝角，综上所述，.故选：A. 8．在中，分别为内角所对的边，已知.设为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件恒等式，求得，然后设，则，利用面积关系可以得到，从而求得；再利用面积关系可以得到，再利用基本不等式求出的取值范围，再根据面积公式计算可得. 【详解】由正弦定理可得,又，所以，由两角和正弦公式可得，，又，所以，所以，即，又，所以，所以即，设，则， ∵，，∴，即，化简得，即，又，解得或（舍去）， 所以，又，所以， 即，即，所以，当且仅当时取等号， 所以，即面积的最小值为.故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出，即可判断A，根据正弦定理和解三角形知识即可判断B，根据和差角公式求解，可判断C，根据余弦定理和三角形的面积公式求解，可判断D. 【详解】由，则， 则，由于，所以，，，故A正确；由正弦定理得，即，又有唯一解，所以或，故B错误；由，则，， 则，即，,所以，则，所以，故C正确；若，则由余弦定理得，所以有，即，当且仅当时取等号，的面积为，故D正确.故选：ACD. 10．记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（ ） A． B． C．的周长为 D．的面积为5 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理进行边换角，再利用三角恒变换判断A；根据同角三角函数关系结合A选项即可求出，再利用正弦定理和两角和的正弦公式求得，最后即可求出，即可判断B；利用勾股定理和面积公式即可判断CD． 【详解】对A，因为，所以由正弦定理得， 因为，代入上式可得：，即，因为，所以，得到，则，正确； 对B，由，且，因为，，所以， 可得，又，由正弦定理得，则，所以，则， 因为，所以，边上的高为，因为，，又，，则，，正确；对C，因为，，根据勾股定理， 的周长为，错误；对D，的面积，正确． 故选：ABD 11．已知三个内角的对边分别是，且满足，则面积可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】取特值可判断A；由余弦定理以及三角形的面积公式可得，再利用两次基本不等式得到，可得面积的最大值为可判断B；由，，可判断CD . 【详解】对于A，因为，当时可得：，所以， 所以面积为：，故A正确； 对于B，因为，则，，即，由余弦定理可得：，又，所以①，②， ①＋②可得，又，即，则，即，即，解得，当且仅当时，即，时，等号成立，所以面积的最大值为，故B正确；对于CD，因为，，故CD错误；故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，已知，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为 . 【答案】 【分析】不妨设a为最大边，c为最小边，根据正弦定理可得,化简即可求解. 【详解】不妨设a为最大边，c为最小边，由题意，即， 整理，得．所以，所以． 13．在中，，，最长边的边长为1，则最短的边长为 . 【答案】 【分析】利用两角和正切公式求得，根据小角对小边确定最小边长，再由正弦定理计算即可. 【详解】，，因为，即边是最小边长，因为，，解得，由正弦定理得. 14．在平面四边形ABCD中，，，，当AC的长度最小时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最小值，再在中，利用正弦定理求出，再结合三角函数即可得解. 【详解】在平面四边形ABCD中，，，在中，由余弦定理得，当且仅当时取等号，所以的最小值为，在中，，由正弦定理得，则，， 故，因为，所以，所以，所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求，长度大于1，且比长0.5米， （1）设，求长？ （2）为了广告牌稳固，要求的长度越短越好，求最短为多少米？且当最短时，长度为多少米？ 【答案】（1）；（2）最短为米，当最短时，长度为米. 【分析】（1）运用余弦定理建立函数表达式；（2）分拆分式型函数式，用基本不等式求最值. 【详解】设，则， ∵，∴，整理得 （2）令，∴，∴ (当且仅当，即时取等号)综上，当米时最短，为米. 【点睛】分式型函数分拆后能否用基本不等式，要遵循“一正、二定、三相等”，如果不能取等则转化为函数求最值. 16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求a； (3)若，求△ABC面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化简，再由求解即可. （2）由余弦定理求解即可. （3）由余弦定理以及基本不等式求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得，． 因为，所以，则，即．因为，所以． （2）根据余弦定理得，即，解得或（舍去），故． （3）由余弦定理得，∴， 解得，当且仅当时取等号， 的面积，所以面积最大值为. 17．设的内角的对边分别为，且的最大边的边长为 （1）求角； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由已知条件，结合余弦定理求，即可求角； （2）由（1）知，应用正弦定理可得，进而由三角形内角性质及三角恒等变换可得，即可求的范围. 【详解】（1）由题意得，， 由余弦定理得，即. （2）由（1）可知，中角为最大角，由大角对大边知：， 由正弦定理知，，∴， 即， 而，又， ∴，可得，∴. 18．在中，. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即， 由余弦定理，，. （2）因为，即， ，当且仅当时取等号， ，即， 又，所以，当且仅当时取等号， 周长，即周长的最大值为 19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角； （2）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【详解】（1）由已知及正弦边角关系得，因为，所以，而，所以，，，所以，，故，即； （2）因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以，设，，在中，由正弦定理，所以，即，，所以 ，因为，为锐角三角形，所以，即，所以，即， 则，所以面积的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $